§3. Последовательности точек пространства Rm

Отображение множества натуральных чисел N в называют последовательностью в. Значение этого отображения в точкеобозначим, а саму последовательность.

Определение 1. Последовательность называется сходящейся к точке, если

.

Для обозначения предела используется прежняя символика:

или

при .

Теорема 1.(о координатной сходимости)

Последовательность сходится к точкетогда и только тогда, когда числовые последовательностикоординат сходятся соответственно к координатамточки.

Доказательство.

Необходимость.

, т.о. .

Тогда в силу (1) . Иными словами.

Достаточность.

Пусть указанные последовательности координат сходятся к числам . Тогда для любогоможно указать номератакие, что присоответственно выполняются неравенства. Тогда прив силу неравенства (1) выполняется неравенство, то есть.

Теорема 1 доказана.

Определение 2. Последовательность называется фундаментальной, если. В полной аналогии с теоремой 1 может быть доказано следующее утверждение:

Теорема 2.(о координатной фундаментальности)

Последовательность является фундаментальной тогда и только тогда, когда последовательностиявляются фундаментальными.

С помощью теорем 1 и 2 и критерия Коши сходимости числовой последовательности доказывается теорема (критерий Коши сходимости последовательности в ). Для того чтобы последовательностьбыла сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Задание. Провести доказательство самостоятельно.

Определение 3. Последовательность точек вназывается ограниченной, если, где- точка, все координаты которой равны 0.

Теорема 3. (Больцано – Вейерштрасса)

Из любой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство.

Поскольку , то в силу неравенства (1). Иными словами, последовательностиограничены. В силу теоремы Больцано – Вейерштрасса для числовых последовательностей из последовательностиможно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу. Рассмотрим соответствующую подпоследовательностьпоследовательности вторых координат точек. В силу той же теоремы из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу. Заметим, что последовательность. Итак, подпоследовательностиисходятся к числамисоответственно. Продолжая эти рассуждения, мы получим сходящуюся к некоторому числуподпоследовательностьпоследовательностиm – ых координат точек , причем подпоследовательности,…,сходятся к числамсоответственно. Тогда в силу теоремы 1 подпоследовательностьсходится к точке. Теорема 3 доказана.

Над последовательностями в можно производить те же операции, которые можно производить над векторами этого пространства; а именно: сложение, умножение на скаляр и скалярное произведение. Следующая теорема говорит о непрерывности этих операций.

Теорема 4.

Пусть ,- числовая последовательность,. Тогда.

Доказательство.

В силу теоремы 1 . Тогда по свойствам числовых последовательностей,. Последнее соотношение выражает непрерывность скалярного произведения. Из первых двух соотношений на основании теоремы 1 приходим к выводу. Теорема4 доказана.