Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

элмат. алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

IV. Дробно-рациональные уравнения, неравенства и системы

Уравнения / неравенства вида	F(x)	= 0,	F(x)	< 0,	F(x)	> 0, где F(x) и

	G(x)		G(x)		G(x)

G(x) – многочлены, называются дробно-рациональными.

Найдя корни уравнения F(x) = 0 необходимо проверить,

какие из них нео

являются

корнями

уравнения

G(x) = 0.

Эти

корни

и только они будутс

решениями дробно-рационального уравнения.

Теорема (о равносильном дробно-рациональному):

F(x)

= 0

, где F(x) и G(x)

– многочлены.р

G(x)

Теорема (о равносильном рациональному):

F(x)

G(x)= F(x)

Н(x)

F(x)

, где F(x), G(x),

Н(х) – многочлены.

G(x)

Н(x)

K(x)

H(x)

В общем случае решение уравнений

= Н(x),

и т.п.,

L(x)

J(x)

L(x)

сводится

решению соответствующего

тедробно-рационального уравнения

F(x)

= 0.

где F(x),

G(x),

Н(х), J(x),

K(x),р

L(x) – многочлены, по теореме

G(x)

о равносильном

то есть,

по

сути,

нахождению

дробно-рациональн ому,

корней многочлена F(x),

Дробно-рациональные неравенства решаются методом интервалов.

Теорема (о равносиль ых неравенствах):

F(x)

> 0

тF(x) G(x) > 0, где F(x) и G(x) – многочлены.

G(x)

Тестовые за ания (по 10 баллов).

дробно-рационального уравнения являются числа (–1) и 2

301. Корнямис

2х

2г

2х

а)

2и

в)

3х

хк

в3

4х

3х

бт)

г)

х2

3х

х2

302. Корнями дробно-рационального уравнения являются числа (–3) и 1

а)

1 2 х

в)

3х

х 3

х3

х2

9х 9

б)

х 1 2

х 3

г)

х 1 2 х 3 2

х2

2х 3

х4

х3

9х2

11х 4

303. Уравнение

х2

2х

имеет

2х

х2

а) два иррациональных корня, сумма которых равна 5, и два рациональных

корня, произведение которых равно

;

б) два

иррациональных

корня,

произведение

которых

равно 26, и

два

рациональных корня, сумма которых равна

;

в) два иррациональных корня, сумма которых равна (– 5), и два рациональныхе

корня, произведение которых равно

г) два

иррациональных

корня,

произведение

два

которых равно (– 26), и

рациональных корня, сумма которых равна

5 .

х2

304. Уравнение

имеет

те

а) два иррациональных корня, сумма которых равна (– 3), и два рациональных

корня, произведение которых равно 12;

б) два

иррациональных

корня,

которых

равно

12, и

два

произведение

рациональных корня, сумма которых равнае

в) два иррациональных корня, суммаи

которых равна 3, и два рациональных

корня, произведение которых равноу

(–

12);

г) два

иррациональных корняй,

произведение

которых

равно

12, и

два

равна (– 4).

рациональных корня, сумма которыхы

(х – 5) (х

+ 12х + 20) = (х – 10) (х

+ 7х + 10)

305. Корни уравнения

образуют множество

а) {0}

в) {– 2}

г) {– 2; – 2; 0}

б) {– 2; 0}

х 5

(х – 3х – 10) =

(х – 8х – 20)

306. Корни уравнения

образуют множество

а) {0}

б) {– 2; 0}

в) {– 2}

г) {– 2; – 2; 0}

х2

5х

307. Решением неравенства

3х

< 0 является множество

ачисел

а) (–

; – 2)

(1; 2)

(4; +

)

б) (–2; – 1)

(2; 3)

(4; +

)

в) (–

; – 1)

(2; 3)

(4; +

)

г) (–2; – 1)

(1; 2)

(4; +

)

308.

Решением

неравенства

х2

1 2 х 3 4

< 0

является

2х

3 3 2х 2

6 2

множество чисел

а) (–

; – 2)

(–1; 1)

(1,5; 3)

б) (–2; – 1)

(1; 1,5)

(3; +

)

в) (–

; – 1)

(1,5; +

)

г) (1,5; +

)

309.

На координатной

плоскостиг

выделите ту еѐ часть, которая являеткя

графической моделью функции

х х2

f(x) =

310. Решением системы

х 2 х 3

х 2 х 5 х 3Г

25 0

является множество

а) {– 5}

в) {– 5; – 3; 3}

те

б) {– 5; – 3}

г) {– 5; – 3; 3; 5}

Задачи I уровня (по 20 баллов).вИспользуя различные методы (например,

методы

группировки,

овой

переменной),

способы

(например,

введения

разнообразные

способы

записи одного

того

же

выражения)

приѐмы

(основанные на свойствах нулевого и единичного многочленов) сложные

дробно-рациональные уравнения и неравенства сводят к более простым.

Решим уравнение

ех

2х х

12х 35 х

4х 3 х

10х 24

ряд

Проведѐм

апреобразований:

;

у х

х 5 х 7

х 1 х 3

х 4 х 6

х х 2г

х и1

;

вх х 2

х 5 х 7

х 1 х 3

х 4 х 6

2х 2

2х 12

2х 4

2х 10

;

х х 2

х 5 х 7

х 1 х 3

х 4 х 6

х х 2 х 5 х 7

х 1 х 3

х 4 х 6

;

х х 2

х 5 х 7

х 1 х 3

х 4 х 6

х 5

х х 2 х х 2

х 5 х 7

х 3

х 4

;

х 1 х 3

х 4 х 6

х 2 х х 7 х 5 х 3 х 1 х 6 х 4 ;

;

х х 7

х 2 х 5

х 3 х 4

х 1 х 6

;

2х 7

х2

7х х2

7х 10 х2

7х 6 х2

7х 12

2х

0;.

7х х

7х 10 х

7х 6 х

7х 12

2х

х2

7х х2

7х 10 х2

7х 6 х2

7х 12

Первое уравнение совокупности даѐт корень х = – 3,5.

Второе уравнение преобразуем:

те

х 7х х 7х 10 х 7х 6 х

е7х 12

х 7х х 7х 6 х 7х 10 х 7х 12

Заменим у = х

+ 7х + 3, получим уравнение относительно переменной у:

у 3 у 3

у 9 у 7

у 3

16 у 63

16 у

3 у

16 у

8 у

9йу2

16 у

Преобразуем числитель и сравним его с нулѐм: 11у

+ 48у + 117 = 0, получим

дискриминант

которого

отрицателен.

Следовательно,

ни

уравнение,

относительно неизвестной у,

ни соответствующее ему уравнение

ур внение

ротносительно неизвестной х не имеют решения.

Ответ.

х = – 3,5.

					Решите уравнения
		311.			1									1							1									1							1						0
		311.				х					х					1				х		2						х			3					х			4				0
						х					х					1				х		2						х			3					х			4
		312.				х				4						х		4					х			8							х			8						8
		312.				х				1						х		1					х			2							х			2					3																																					г
						х				1						х		1					х			2							х			2					3

						х2						х 1 х2													2х 2 х2															3х 3 х2												4х 4																											о
		313.																																																																												о
		313.																																																																												с
								х						1									х			2												х			3									х			4																									к
																																																																													в
												4х																3х																																																е
		314.										4х																3х											1																																				ш
		314.				4х2								8х				7				4х2								10х						7			1																																				ш
									2																			2																																2									2		р			ы
		315.						х							х			2								х							х			6										316.								х											х				е				45
		315.				3х2								5х 14 3х2																		5х 10														316.							х 1										х 1Ч									16
						3х2								5х 14 3х2																		5х 10																					х 1										х 1Ч									16
																																																																		.
							х х								1		2					2																																		2х								Г				3х							5
							х х								1							2																																		2х						.						3х							5
		317.																																												318.																Н																0
		317.																2				9																								318.						х	2				4х					Н					2		х			2 4						0
						х		2					х 1																																															и
																																																						м					н
								24												12										2																								х		2	е					2
		319.																									х							х												320.							и								х						1
		319.				х	2					2х						х		2			х				х							х												320.							и						2		х						1
						х						2х						х					х																												тх					1
																																																	те
							2										5									3										4											и						1								1							1							1
							2										5									3										4										с							1								1							1							1			0
		321.																																												322.																																0
						х 8 х 9 х 15 х 6																																							р								8									6							6						8
																																									и			е							1									1							1							1
																																																			1				х					1		х					1			х				1		х

																																					у						в
											1										4										9								н
		323.				х											х									х									ы		х				1 х						2				х		3
		323.				х						х					х				х					х							х		ы		х				1 х						2				х		3
												х									х												х			й
																			2												н
								9х2																		в							н
		324.				х					3							х				40							е
						х					3				2											т
																								с
																						р
																					а																															х 1							5		81
						х х 1 х 3 х 4 1																																														х 1									81
		325.																	д																	3										326.
		325.													2				д																	3										326.												5			11
																		у																																											11
						х					2					с				1		х				5					2																				1					х
						х					2					х				1		х				5					2																				1					х
							4									о																																					2
						х	4							г2						36 1																																х	2				х 1 7 х 1
						х						13х								36 1																																х					х 1 7 х 1
								и
		327.									й																																			328.
		327.							2																	2																				328.						х	2				х 1 9 х 1
						кх						х					36									2																										х					х 1 9 х 1
						с
				о			5										4							21										5							4					21
				в			5										4							21										5							4					21
			т
		329.
		а				х 1 х 2 х 3 х 1 х 2 х 3
	р					х 1 х 2 х 3 х 1 х 2 х 3
	р
а																					2																				2							2
С						х				6						х		4			2					х				6						х	9				2					х		2			36
		330.				х				6						х		4								х				6						х	9							2		х					36
		330.				х 6 х 4																				х 6 х 9																		2		х2					36
						х 6 х 4																				х 6 х 9																				х2					36

Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите неравенства

331.

х3

2х 1 11х х 1 3

332.

х3

х2

8х 12

х2 2х2

1 9х х2

2 8

х4

5х3

х2

21х 18

333.

334.

5х

х2

4х

2х

335.

336.

х2

625

337.

338.

1 4

1 2

х х

112

3 х 2

х 1 х 2 х 3 х 4

Г6 х 6

339.

х 3

340.

Н7

х 3

4х

х 1

х е

2х 1 4 х

341.

342.

м2

х 2

х 1 х

х 8

6их х

ричность дробно-рациональных

Задачи I уровня (по 20 баллов). Симмет

уравнений

системы

(или

части

суравнений)

позволяет

перейти

к соответствующим симметрическим алг браическим уравнениям.

н1

Решим систему

ы1

в данную систему – симметрические.

Уравнения, входящиев

Преобразуем каждоес

уравнение системы в алгебраическое:

да

ху

5х

5у

2ху

0; 3

новые неизвестные:

a = х + у

b = ху, и решим относительно этих

введѐмв

неизвестных систему алгебраических уравнений:

Решением этой системы будет пара чисел: a = b = 4, зная которые, легко

вычислить х и у. Ответ: х = 2, у = 2.

Аналогично действуют и в ряде других случаев.

Решите системы уравнений:

ху

х3

343.

344.

х2

у 2

у3

ху

2 у

3у

345.

346.

2х

1 .

347.

348.

еу

те

у 2

1 7

349.

350.

х3

4у у3

16х

x y z 2

хуz

Задачи

уровня

(по

решении

систем дробно-

20 баллов). При

рациональных

уравнений

применяется

замена переменных;

некоторые

системы решаются

помощьюн

исключения неизвестных; если уравнения

системы представлены

евиде пропорции, то целесообразным бывает переход

дробно-рациональных

к обратным

величинамт ; к

ряду

систем

уравнений

применяются методы решения систем рациональных уравнений.

Решите системы уравнений:

5ху

ху

6уz

351.

сх

352.

уz

7ху

хz

х2

х у 2

353.

354.

х2

у 2

х2

у х2

х2

у 2

хуz

2у 2

z 2

355.

хуz

356.

2z 2

хуz

2х2

ху

2у

ху

357.

358.

ху

2у

ху

2у

ху

Н2

xу

359.

360.

еyz

xz 3

те

следующие утверждения:

Задачи II уровня (по 30 баллов). Докажитер

361.

2 для любых положительных a и b.

а2

0,01

362.

для любого неравного нулю значения переменной.

1000

в1

363.

для

любых

различных

положительных

рa

a, b и с.

о1

364.

для любых натуральных n.

в365.

...

для любых натуральных n.

1 2

366.

Если

сумма

не

равных

нулю

чисел a

b неотрицательна, то

a 2

367. Если a

2, то

a 2

4а

368. 1

для любых положительных чисел a, b и с.

c a

369. Если сумма квадратов положительных чисел a, b и с равна 2, то

abc

370.

Если

сумма положительных

чисел

равна

то

b b

c с

Задачи II уровня (по 30 баллов). Найдите:

371. решение уравнения с параметром a:

3 х

3х

;

3х а 3х2

2ах а2

х а

372. решение уравнения с параметрами a и b:

На

;

373. дробно-рациональное уравнение,

в левой части которого – дробь

х1

х2

в числителе которой –

и.

1 ,

квадратное уравнение с корнями

х2

х1

те

в знаменателе

квадратное уравнение с корнямии

и.

;

в правой части

х2

х1

и.

1 ;

где х1, х2

–

уравнения квадратный трѐхчлен с корнями

х1

х2

корни уравнения 4х

– 6х – 1 = 0;

374. задачу, решение

нкоторой приводит к уравнению / системе уравнений:

(а)

1в;

(б)

1 ;

д30

(в)

1 ;

(г)

2 2

;

375. наименьшее значение каждого выражения на множестве [0; +

х 3 х 12

х 2 4

х2

4 х 5

(а)

вх

;

(б)

;

(в)

;

4 х

376. наибольшее значение каждого выражения на множестве [0; +

24х

х2

6 х

(а)

16 х 2 ;

(б)

х 2

2 х 25 ;

(в)

4 х 3 4

9 ;

377. множество значений аргумента,

при

которых

график функции

не выходит за пределы полосы 0

х2

378. значение выражения при указанных значениях переменной х

(а)

, х = –

;

(б)

2 х

, х = –

;

(в)

х =

2ах

х2

а2

379. все целые значения х, для которых не выполняется неравенство

3х

2 ;

2х

380. при каких значениях параметра a неравенство:

7a 2

те

т7a

не имеет решений, больших 1;

381. все

неположительные

рa,

при

которых

неравенство

имеет решениеи

;

ах

1 ах

+ 3х + а = 0

382. значения параметра a, при которых корни уравнения х

х н

1 0 ;

удовлетворяют условию

вх2

х1

383. множествосточек в координатной плоскости, координаты которых

(х, у) удовлетворяюта

условиям:

(а)

, (б) х

, (в)

, (г)

построения сформулируйте обобщающие выводы.

по результатами

3у

384. дробь

такую, что

1 и

1 ;

385. правильную положительную дробь

такую, что

z .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.04.2019246.34 Кб61Экономика_1_часть.docx
#
30.08.2019125.44 Кб1экономическая и практика менеджмента 2011.doc
#
29.03.20161.21 Mб25ЭЛ.МАТ.-комбинаторика.pdf
#
22.12.201880.9 Кб25Электр_хим_процессы.doc
#
07.12.2018827.39 Кб12Элементы аналитической геометрии.doc
#
29.03.20161.72 Mб14элмат. алгебра.pdf
#
09.06.20152.75 Mб96ЭЛМАТ.практикум_по_геометрии.pdf
#
09.06.20151.36 Mб11ЭЛМАТ.хрестоматия.pdf
#
11.11.201983.46 Кб8Этика студ.doc
#
23.11.2019347.65 Кб7Эфирные масла2.doc
#
09.06.2015136.7 Кб13Юные лидеры Поволжья.doc