элмат. алгебра

Используя метод неопределѐнных коэффициентов, разложить многочлен

на множители.

37. 3х4 + 7 х3 + 7х2 + 5х + 2

38.

х4+ х3 – х2 + 6

39. х4– 3х3 + 5х2 – 4х + 2

40.

2х4– х3 + 7х2 – 3х + 3

41. 2х4+ х3 + 5х2 + 3х – 3

42. 2х4+ х3 – 11х2 – 5х + 5

43. 2х4+ 5х3 +7х2 + 4х + 2

44. х4– 6х2 + 8х – 3

г

45. х4– х3 – 5х2 – 6х – 4

46.

3х4+ х3 + 19х2 + 6х + 6

к

о

Задачи

I

уровня

(по

20

баллов).

Иногда многочлены записаны

нео

в

в стандартном виде, а в виде некоторой комбинации относительно дейстсий

сложения и умножения алгебраических выражений, например,

е

ы

F4(х) = (х + 1) (х + 3) (х + 5) (х + 7) – 1920.

р

ш

В

этом

случае

не

всегда

целесообразно

приводить

нмногочлен

е

к стандартному виду и затем действовать по известным предписаниям. Можно

.

попытаться разложить его на множители, произведя замену и,Чтаким образом,

понизить его степень:

Г

.

F4(х) = (х + 1) (х + 3) (х + 5) (х + 7) – 1920 =

Н

и

= (х2 + 8х + 15) (х2 + 8х + 7) – 1920

н

е

у

х

2

8х

11

2

м

у

х

8х 11

F2 ( y)

у

4

у

4

1920

F2 ( y)

у

2

и

т1936

у

х2

8х

11

2

те

2

и

р

+ 8х + 33)

F4(х) = (х с+ 8х + 55) (х

F2 ( y)

у

44

у

44

е

в

Разложить на множители.

и

н

й

47. (х2 + х + 1) (х2 + х + 2) – 12

у

48.

(х + 1) (х + 2) (х + 4) (х + 5) – 18

н

49. (х + 1)4+ 2(х + 1)3+ х(х +ы2)

50. (х – 5) (х – 3) (х + 2) (х + 4) – 176

е

51. (х2 + х – 1) (х2 + 3х – 1)н+ х2

52. (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х + 6) + х2

т

53. (х2 – 3х + 2) (х2

– 8хв+ 20) – 10

54. (х2 – 4х – 12) (х2 + 2х – 3) + 39х2

с

Задачи

I

р

(по

20

баллов).

Для разложения на

множители

уровня

д

многочленов с двумяа

и более переменными применимы все методы и приѐмы,

с

что в случае многочленову

с одной переменной.

о

Разложим на множители многочлен:

2г

2

й

F2(х,у) = х – 3ху + 2у – 2х + 4у =

к

2

2

+ 4у =

=их

– 2х – 3ху + 2у

с

в

= (х

2

2

+ 4у – 2ху) =

т

– 2х – ху) + (2у

р

о

= х(х – 2 – у) + 2у(у + 2 – х) =

С

а

= х(х – 2 – у) – 2у(–у – 2 + х) =

а

= (х– 2у) (х – 2 – у).

Разложить на множители.

55. 2х2 + 2у2 – 5ху

56. 3х3 + 9х2у – ху – 3у2

57. х3 + 2у3 – 3ху2

58. 2х2 – 21xу – 11y2 – x + 34у – 3

59. (х + у + z)3– x3– y3– z3

60. (х – у)3+ (y – z)3+ (z – x)3

Задачи II уровня (по 30 баллов). Докажите следующие утверждения:

61.

Fп(х) = хп+ х2 + 3х – 5 при любом натуральном п делится на (х – 1).

62.

Многочлен Fп(х) = х72+ 1 делится на многочлен Gп(х) = х16– х8+ 1.

63.

Среди

корней

многочлена

F3(х) = х3+ ах2+ bх + с

имеются

два

противоположных числе тогда и только тогда, когда аb = с, b

0

64.

Если многочлен Fп(х) с целыми коэффициентами при трѐх различных

о

целых значениях переменной принимает одно и то же значение равное 1, то

г

он не имеет целых корней.

о

к

65.

Сумма

всех

коэффициентов

любого

многочлена

Fп(х) равна

с

его

в

значению при х = 1.

е

ш

п

66.

Если

многочлен

F (х)

с

рациональными

ы

и

коэффициентами

р

Fп( a

b

c ) = p + q

c , где а, b, с, p, q –

рациональны,

c – ир ациональноен

е

число, то Fп( a

b

c ) = p – q

c .

Ч

.

67.

2

+ y

2

ху

.

Г

x

Н

68.

х4 + х2 у2 + у4=(х2 + ху + у2)( х2 – ху + у2).

и

69.

2

+ y

2

+ z

2

> ху + уz + хz .

н

x

70.

х2 + 2ху + 3у2 + 2х + 6у + 3 >0.

е

71.

8

– х

5

+ х

2

– х + 1 >0.

м

х

и

т

72.

2

+ 2y

2

+ 2ху + у + 10 >0.

те

x

и

п

п

п

п

73.

(х

) для любых положительных х и у и натуральных п.

(х + у) < 2

+ у

с

р

Задачи II уровня (по 30 баллов). Найдите:

в

74.

остаток от деления многочленаеF2013(х) = х2013+ х201 + х13 + 2 на (х2 –1).

75.

параметры a и b, при которыхи

многочлен

6

+ах

5

н 4

+27 х

3

2

+ b – 31

F6(х) = х

+у11 х

+ 32х

й

2

2

ы