Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

элмат. алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

a1 x

a2 y

...

an z

1 y

...

1 z

или с учѐтом новых обозначений:

...

1 y

...

1 z

Таким образом, переменная х исключена из всех уравнений, начиная со

второго . Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы,

которая выделена жирным шрифтом.

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет ид:

a1 x a2 y

...

an z

b 1 y

...

b 1 z

b 1

...

n-1

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем z из

пп

последнего уравнения как z =

, с помощью полученного значения z из

пп

предпоследнего уравнения вычисляется значение другой неизвестной, и так

далее, из первого уравнения находится х.

те

еz t

Решим систему уравнений

в виде

и начнѐм прямой ход

Перепишем системут

метода Гауссас. Умножаем первое уравнение системы на (– 1) и складываем с

. Складываем второе

третьимс и четвѐртым уравнениями:

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили х через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения.

и третье уравнения:

3 . Складываем третье и четвѐртое

уравнения:

. Начинаем обратный ход метода Гаусса и

получаем: t = – 2, z = 1, y = 5, x = – 2.

Ответ. x = – 2, y = 5, z = 1, t = – 2.

Тестовые задания (по 10 баллов).

101. Корни квадратного уравнения х

3).

+ aх = b равны (–.1) и (–

а) а = – 4, b = – 3

в) а = – 4, b = 3Н

б) а = 4, b = – 3

г) а = 4, b =н3

102. Уравнение 6х3 – х2

– 20х + 12 = 0 имеет м

а) три действительных корня, один из которых

травен 2

б) три действительных корня, один из которыхтеравен (– 2)

в) один действительный корень равный 2

г) один действительный корень равный (–р2)

103. Уравнение х3 – 6х2

+ 5х +и12 = 0 имеет

а) три действительных корня, одинуиз которых равен 1

из которых равен (– 1)

б) три действительных корня, одинй

в) один действительный коре ь равный 1

равный (– 1)

г) один действительный кореньн

104. Уравнение х

– 5х

+ 8х

– 5х + 1 = 0

а) не имеет действительныхр

корней

б) имеет два различных действительных корня, один из которых равен 1

в) имеет дей твительный двукратный корень равный 1

действительных корня, один из которых равен 1

г) имеет четырег

неравенства

– 3х

– 15х

+ 19х + 30 > 0

является

105.и

Решением

множество чисел

)

о(– ; 2)

(5; +

)

в) (–

; – 3)

(– 1; 2) (5; +

)

(–

; – 1) (2; + )

г) (–

; – 1)

(2; 5) (6; +

)

б)

х4 + 4х3 + 12х2 + 23х + 14 < 0

106.

Решением

неравенства

является

множество чисел

а) (–

; – 2)

(– 1; +

)

в) (–

; 1)

(2; + )

б) (– 2; – 1)

г) (1; 2)

107. Решением неравенства 3х3 + 4х2 + 5х – 6 > 0 является множество чисел

а) (–

; – 2/3)

б) (– 2/3; +

)

в) (–

; 2/3)

г) (2/3; +

)

108.

Значением

неизвестной

системах

является число

а) – 2

б) – 1

в) 1

г) 2

109.

Значением

неизвестной

системах

yрz

Ч3y

является число

а) 1

б) 3

в) 5

г) 7

те

110. Сумма

значений

системе

7 и

неизвестнойр

y 2z

неизвестной у в системе

xыy

равна

а) 10

в) 4

г) 0

б)

Задачи I

(по 20 баллов). Решите уравнения

ровняд

111. х

+ 7х

+ 8

112. х(х

+ 12х + 1) = 2(х

+ 3х

+ 1)

+с6х = 6х

114. (х – 1) (х +3) (х + 4) (х + 8) = – 96

113. (2х

+ 3х – 1)

= 10х

+ 15х – 9

115. (х

– 12х + 32) = 4х

116. (х

– 16)(х – 3)

+ 9х

= 0

– 3х + 2)(х

к2

(3х

+ х + 1)

118. (х + 3)4

+ (х + 5)4 = 16

117. (сх

+ х + 1) = х

+ 4х

+ 4х + 12= 41х

+ 32х

+ 96х

119.о12х

120. 16 х

+ 144= 369х

Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите неравенства

а121. 6х4 + 3х + 2> 9х3 + 8х2

122. 4х4 + 4х3 + 3х2 < х + 1

123. х4 + 2 > 22х2 + 5х

124. х4 + 3x < х3 + 2х2 + 3

125. х4 + х3 + 50 < 15х2 + 10x

126. х5 + х3 + х2 + 1 < 3х4 + 3x

127. х3 + х2 + x

– 1/3

128. х4 + (х – 4)4

129. (х – 1) (х –3) (х – 4) (х – 8)

130. 36 х4 + 60х + 36

47х2 + 60х3

Задачи I уровня (по 20 баллов). Основной метод решения рациональных

уравнений / неравенств с модулем

– подведение

под понятие

абсолютной

величины – состоит в разбиении множества действительных чисел на

подмножества, где каждое из выражений, стоящих под знаком модуля, либо

положительно, либо отрицательно, в «избавлении» выражений от модуля на

каждом из таким подмножеств и решении получившейся совокупности систем.

Решим неравенство х

7 – х

+ 2 х – 2

< 4.

Множество

действительных чисел разбиваем на подмножества точками:

х = 0,

х = 7,

х = 2

(х = 0,

7 – х = 0,

х – 2 = 0)

переходим

к решениюо

x 7

совокупности неравенств:

. Все систем совокупности – пустые множества.

те

Ответ. .

Решите уравнения и неравенства с модулеми

131.

х – 1 + х – 2 = х + 2

р132. х2 + 4

3х + 2 – 7х

133. 2

+ 2х – 5 = х – 1

( х – 1

– 3)(

х + 2

– 5) < 0

134.

135.

х –

4 – х – 2х = 4

136.

х – 1 + х + 2 –

х – 3

> 4

137.

х – 4х + 3

+ (х

– 5х + 6 ) = 1

138.

х – 1

– 5

139. х

+ 2 х

140.

– 3х + 2 – 1

х – 2

+ 1 = 6ых

Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите систему уравнений

x y 1 z

x у z 2

x у z 4с

141.

142.

2х

143.

с8z

xу

уz

xу

x2 у 2

144.

3х

145.

146.

2yz

x у

3xz

2x y 8

x у хуz

x z 2у

147.

2у

148.

хуz

149.

1,5x

2z x 18

y z хуz

4 x у

150.

ху

у 2

ху

Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите систему уравнений

151.

2x у 7

152.

3x у 1

153.

x у 1

154.

2x у 1

x у

x 2у

х 1

x 1

155.

156.

x 1

у 2

157.

у 2

3 0

7x 5у 2

x 1

у 3

х 3 0

xу 4

8 у 2

x 3

х 2

у 2

xу

2 0

158.

159.

160.

с2

ху

818

137х

135х

2 у

8вх

Задачи II уровня (по 30 баллов). Докажите следующие утверждения:

161. Уравнение

(a2 + b2 + c2)х2 + 2(a + b + c)х + 3 = 0

имеет

действительные корни только при a = b = c

162. Уравнение aх + bх + с = 0

имеет два различных.действительных

корня при условии a > 0, b > a + c.

– 3х

– 4х

– 2х +4 = 0 не

163. Уравнение

меет отрицательных

корней.

164. Все корни уравнение (х + 1)(х + 2)(х + 3)…(х + 2013) = 2013 меньше

числа

те

2012 !

165. Если

уравнение

+ bх

п – 1

ип – 2

+…+ cх

+ bх + a = 0

имеет

aх

с+ cх

корень х = , то оно имеет и корень х =е1/ .

166. Если х

+ у

= 1, то

2 .

2нх + у

у4

167. Если х + у = 2, то х

+ у

168. Для любых положительныхы

чисел х и у и любого натурального п

(х

выполняется неравенствон(х + у) < 2

+ у

е2

169. Если х

+ у

> 0, то х

+ 19у + 6z – 8ху – 4хz + 12уz > 0.

+вz

170. х – 1 +

х с– 2

Задачи II

(по 30 баллов). Найдите:

ровняд

ау

171. всег a при которых система уравнений

имеет

2х

2 а

1 у

един твенное решение (какое?).

в172. наименьшее целое

х для которого выполняется равенство:

х – 3 + 2 х + 1 = 4

173. все a при которых уравнение (х – а – a2)2 = х имеет два различных

действительных корня.

174. решение уравнения aх2 + bх + с = 0 при условии

a + c

= b .

175. все a при которых уравнения х2 – ах + 1 = 0 и х2 – х + а = 0 имеют

общий корень.

176. корни уравнения х3 – 2х2 – (a2 – а – 1)х + a2 – а = 0.

177. все a при которых уравнение (х2 – 3х + 2)(х2 + 7х + 12) = 0 имеет решение.

178. решение уравнения х4 – 2ах2 – х + a2 – а = 0.

аx2

179. критерий разрешимости системы уравнений

bx2

0 .

cx 2

180. все a при которых уравнение х х + 2а + 1 = а

имеет два различныхо

действительных корня.

Задачи II уровня (по 30 баллов). Решите систему уравнений:

xу

2у

3х 18

7 х у

181.

182.

3ху 6 у 5х 24

13 х у

9 х 10 4у

7ху 18у

xу

у 6

183.

184.

2у

ху

185. x

8 х

у 2

2 х

те

Задачи III уровня (по 40 баллов). Решите задачи.

186.

Ученик,

решая

квадратное уравнение,

допустил

ошибку при

переписывании, переставив местами старший коэффициент и свободный член

уравнения. При этом оказалось, чтои

один найденный им корень является

корнем исходного уравнения,

аувторой корень,

равный (–3) –

не является.

Найдите исходное уравнение.

187. Учитель предложил задачу: я загадал два числа, квадрат первого

в сумме со вторым даѐт 13,н

шестая степень первого в сумме с кубом второго

даѐт 793; какие числа явзагадал? Через какое-то время ученик отвечает: х = 2,

у = 9. Учитель сказал, что он загадал совсем другие числа. Как такое могло

случиться? Какимиаусловиями нужно дополнить задачу, чтобы в результате

получилась единственнаяу

пара чисел?

188. Учитель предложил трѐм группам учащихся придумать уравнение

с тремя неизвестными

степени

не

ниже

Первая

группа

учащихся

предложила уравнение х + у = z , вторая группа,

взяв за основу это уравнение

и у еличивс

степень каждого неизвестного на

единицу,

получила «своѐ»

уравнение, которое в свою очередь третья группа преобразовала по тому же

лгоритму

получила

новое

уравнение.

Учитель

весьма

недовольный

отсутствием творческого подхода учащихся к конструированию задач, дал

задание: решить систему из составленных учащимися уравнений. Весь класс тут же дал ответ: х = у = z = 0. «А где же вы потеряли ещѐ шесть решений?» – спросил учитель и дал на поиски пропавших результатов 5 минут. Найдите и Вы не более чем за 5 минут 6 других решений получившейся систему уравнений.

189. Одну и ту же площадку можно покрыть плитками трѐх цветов тремя способами. При первом способе покрытия потребуется по 100 плиток белого, чѐрного и серого цветов, при втором способе – по 150 белых и чѐрных плиток и всего 50 серых, при третьем – 200 белых, 50 чѐрных и 60 серых плиток. Во сколько раз площадь серой плитки больше площади чѐрной плитки?

Задачи III уровня (по 40 баллов). Решите задачи из различных учебных

пособий прошлых лет.

190. Лесопромышленник заплатил за три лесные дачи поровну; десятинаг

лесу в первой даче обошлась ему 64 рублей, во второй – 80 рублей, в третьейк

– 90 рублей. Сколько десятин в каждой из этих трех дач, если во всех втрех

6780 десятин лесу?

191. Чайный торговец купил 3 ящика чая, всего 13/4 пуда, и за один ящик

заплатили 72 рубля, за второй – 66 рублей, за третий – 40 рублей. Сколькон

чая

было в каждом ящике,

если 1,1 фунта из первого ящика стоилие

столько,

сколько 9/5 фунта из второго, а 20/3 фунта из второго столько же,

сколько

11/2 фунта из третьего?

192. Древнекитайская задача о слитках золота.

Имеется 9 слитков

золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес как рази

совпал. Переложили

слиток

золота

слиток

серебра,

золото

стало

легче

на

ланов.

Спрашивается,

какой

вес

слитка

золота

мслитка

серебра

каждого

в отдельности?

те

193. Задача из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий торговец купил

112 баранов, старых и молодых, дал 49 рублеви

20 алтын, за старого платил

по 15 алтын и по 2

деньги, а за молодогор

по 10 алтын,

и ведательно есть,

колико старых и молодых баранов купил он.

194. Задача Л.Н. Толстого. Артелии

косцов надо было скосить два луга,

один вдвое больше другого. Половинуу

дня артель косила большой луг. После

этого артель поделилась пополамй : первая половина осталась на большом лугу

и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на

котором к вечеру

еще

осталсян

участок,

скошенный

на

другой

день одним

косцом за один день работыв

. Сколько косцов было в артели?

195. Задача из

с«Арифметики» Диофанта. Найти три числа так, чтобы

наибольшее превышало среднее на данную часть 1/3 наименьшего, чтобы

чтобы

наименьшее

среднее превышало меньшее на 1/3 наибольшего и

превышало числос

10 на данную часть 1/3 среднего числа.

196. Творческое задание (100 баллов). При решении систем уравнений

широко

иприменяется метод замены

переменных.

Своеобразная

замена

переменныхс

встречается при решении систем с помощью симметрических

мног членов

(симметрическим

многочленом

двумя переменными х

ан зывается многочлен, который не меняет своего значения при замене х на

аи у

на

х).

Опишите

решение

систем

уравнений,

образованных

симметрическими многочленами.

197. Творческое задание (100 баллов). При доказательстве неравенств часто используются так называемые теоретические неравенства. Одно из них

– неравенство Коши – устанавливает взаимосвязь между средним арифметическим нескольких неотрицательных чисел и средним геометрическим этих чисел. Что Вам известно об истории этого неравенства,

методах его доказательства? Подберите ряд неравенств, доказательство которых опирается на неравенство Коши, приведите доказательства этих неравенств.

198. Творческое задание (100 баллов).

При

доказательстве

неравенств

часто

используются

так

называемые

теоретические неравенства. Одно из них –

неравенство

Бернулли

–

устанавливает

взаимосвязь между натуральной степеньюкN

суммы некоторого числа А и единицы и

суммой единицы и произведения числаеАN.

Что

Вам

известно

об

историишэтого

неравенства,

методах

его доказательства?

Подберите ряд неравенств, доказательство

которых

опирается

на

неравенство

Бернулли,

приведите

доказательства этих

неравенств.

199. Творческое задание (100 баллов).

При доказательстве

неравенств

часто

используются

так

называемые

Коши-

теоретические

неравенства. Одно

из них

–

векторноем

неравенство

Буняковского – позволяет не только доказыва ь неравенства, но и решать

те

уравнения

системы

уравнений.

Что

Вам

известно

об

истории

этого

неравенства, методах его доказательства?иПодберите ряд уравнений, систем

уравнений, задач на доказательство

не

авенств, решение которых опирается

на неравенство Коши-Буняковского, приведите их решения.

200.

Творческое

задание

баллов). Разработайте в

среде

(100

электронных таблиц компьютерные модели ряда задач данной темы, а также

генераторы этих задач.

III. Функциональный подход к решению уравнений, неравенств, их систем и совокупностей

Полезно в ходе решения уравнения / неравенства / системы построить их

графическую (геометрическую) модель, позволяющую оценить возможные

пути алгебраического решения поставленной задачи.

Графическая

модель

строится,

как

правило,

тогда когда

решается

уравнение / неравенство / система уравнений или система неравенств с однимо

неизвестным.

В этом

случае опираются

на

понятие

функции

свой тва

функции. Иногда знаний свойств функций позволяет,

не строя графич скую

модель, решить алгебраическую задачу.

Геометрическая

модель

строится,

когда

решается

урав ениеы

или

неравенство

параметром,

а также

система

уравнений

илирнеравенств

с двумя

неизвестным. В

этом

случае

необходимы,

по крайней мере,

, уравнений

элементарные знания аналитической геометрии, в частности.

прямой и кривых второго порядка.

Например,

требуетсяН

решить

уравнение

2х

– х

+ 7х – 6 = 0. Перепишем его в любом

удобном для нас видее, например,

тх

7х

те

Введѐм функции:

7х

в f(x) = х4

и g(x)=

абсциссыу

точек пересечения которых (при их

будут

являться

корнями

нашего

наличии)

уравнения.

Осталось

построить

графики

указанных функций и убедиться в том, что

наше уравнение имеет

в2 иррациональных решения. Это значит, что используя,

например,

метод

снеопределѐнных

коэффициентов,

можно

разложить

многочлен, стоящийа в левой части исходного уравнения на два квадратных

трѐхчлена, один из которых и даст требуемые значения корней:

(2х2 + 2х – 3)(х2 – х + 2) = 0, x1, 2=

Анализ графической модели данного уравнения позволил сделать ещѐ

двавывода (по сути, решить два неравенства):



2х

– х

+ 7х – 6 > 0

для x

(–

;

)

(

; +

);

 2х4 – х2 + 7х – 6 < 0

для x

(

;

Очень часто знание свойств элементарных функций позволяет решить заданное уравнение / неравенство.

Свойство функции

Применение к решению уравнения /

неравенства

Функция f – это закон или правило, согласно которому каждому элементу x из

множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества

Y. При этом говорят, что функция f задана на множестве X, или что f

отображает X в Y. Если элементу x X сопоставлен элемент y

Y, то говорят,

что элемент y находится в функциональной зависимости f

от элемента x. Прио

этом переменная f xназывается аргументом (независимой переменной)

функции f, множество X называется областью определения функции, а

элемент y, соответствующий конкретному элементу x – частным значениемш

функции f в точке x. Множество Y всех возможных частных значений функции f

называется еѐ областью значений.

Область определения –

Решим уравнение

множество всех значений

3 х

log

аргумента (переменной),

Область допустимых значенийН

(ОДЗ)

для которых функция

областей

определена, то есть

уравнения состоит из пересеченияи

существует и имеет

определения функций f(x) =

действительные значения.

g(x) = log

x 3 , то есть удовлетворяет

системе 3 – хте0, х – 3 > 0, которая не имеет

решений. сИтак, ОДЗ уравнения –

следоват льно, оно не имеет корней.

Функция f(x) называется

Решим уравнение

ограниченной сверху, если

+2x

+2x+3.

sin (x

+1) = x

для некоторого числа М:

йРассмотрим функции f(x) = sin(x3+2x2+1)

f(x)

М;

наименьшее из М

ыg(x) = x2+2x+3. Наше уравнение можно

считается верхней граньюн.

представить как равенство этих

(*)

Функция f(x) называетсяв

функций: f(x) = g(x).

ограниченной снизу,се ли

f(x) ограничена: – 1

f(x)

для некоторого числаа m:

g(x) ограничена снизу: g(x) =

f(x)

m; наибольшееу

из m

= x +2x+3= (x +2x+1) + 2 = (x+1) + 2

считается нижней гранью.

Из равенства (*) следует, что f(x)

1 и f(x)

2 ,

Функция f(x) называется

что является противоречием, следовательно,

, если для

ограниченнойи

уравнение не имеет корней.

существуют числа m и М:

М, где m и М –

m оf(x)

анижняя и верхняя грани.

аФункция f(x) называется

Решение уравнений и неравенств

возрастающей на

с использование свойства монотонности

промежутке М, если

основывается на следующих утверждениях:

x1, x2 М:

(1) Пусть f(x) – непрерывная и строго

x1> x2 f(x1) f(x2)

монотонная функция на промежутке М, тогда

Функция f(x) называется

уравнение f(x) = С, где С – данная константа,

строго возрастающей на

может иметь не более одного корня на М.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.04.2019246.34 Кб61Экономика_1_часть.docx
#
30.08.2019125.44 Кб1экономическая и практика менеджмента 2011.doc
#
29.03.20161.21 Mб25ЭЛ.МАТ.-комбинаторика.pdf
#
22.12.201880.9 Кб25Электр_хим_процессы.doc
#
07.12.2018827.39 Кб12Элементы аналитической геометрии.doc
#
29.03.20161.72 Mб14элмат. алгебра.pdf
#
09.06.20152.75 Mб96ЭЛМАТ.практикум_по_геометрии.pdf
#
09.06.20151.36 Mб11ЭЛМАТ.хрестоматия.pdf
#
11.11.201983.46 Кб8Этика студ.doc
#
23.11.2019347.65 Кб7Эфирные масла2.doc
#
09.06.2015136.7 Кб13Юные лидеры Поволжья.doc