Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

элмат. алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Задачи III уровня (по 40 баллов). Решите задачи.

386.Из деревни в город выехал мотоциклист со скоростью 45 км/ч. Через 40 минут в том же направлении выехал автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько времени после выезда автомобиля расстояние между ним и мотоциклистом окажется равным 36 км?

387.Из города в деревню выехал велосипедист, а через 15 минут вслед

за ним выехал автомобиль. На полпути автомобиль догнал велосипедиста.

Когда автомобиль прибыл в деревню, велосипедисту оставалось проехать

ещѐ треть всего пути. За какое время велосипедист преодолеет путь из городао

в деревню?

388. Из двух портов А и В одновременно вышли два парохода,

скорость

которых

будем

считать

постоянными

величинами. В море

пароходы

встретились. Тот, что шѐл из А прибыл в В через 16 часов после встречиы

, а

тоn, что шѐл из В прибыл в А через 25 часов после встречи. Заркакое время

проходит весь путь каждый пароход?

389. Брат с сестрой пошли в школу. Через три минуты брат вспомнил, что

забыл дома тетрадь, и побежал за ней со скоростью, большей.

первоначальной

на 60 м/мин, а сестра с прежней скоростью пошла к школеН. Взяв тетрадь, брат

побежал (с такой же скоростью) обратно и догнал сестру уже у дверей школы.

Расстояние от дома до школы 400 м. Найдите скоростье сестры.

390. Три автоматизированные линии выпускают одинаковую продукцию.

Совместная

производительность

всех

трѐхтлиний в 1,5 раза

больше

совместной производительности первой и второй линии. Сменное задание для

первой

линии вторая

и третья

линии,

работая одновременно,

выполняют

на 4 часа 48 минут быстрее. Это же задание вторая линия выполняет на два

часа

быстрее первой.

За

сколько

вчасов выполнит своѐ сменное

задание

первая линия?

391. Продают три куска ткани.

Из первого продали половину, из второго

две трети, а третий кусок, в котором была треть всей ткани, продали весь.

Сколько процентов ткани проданон

если всего осталось ее вдвое меньше, чем

было во втором куске?

392. Два пароматодновременно отходят от противоположных берегов

реки

пересекают

еѐ

перпендикулярно берегам. Скорости

паромов

постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 м от берега,

после чего продолжаюту

движение. На обратном пути они встречаются в 400 м

от другого берегао

. Какова ширина реки?

393. Катер прошѐл один час по течению реки и вернулся обратно. Затем

прошѐлиещѐ один час против течения реки и вернулся обратно. Докажите, что

он находилсяс

в пути более 4 часов.

о394. Фрукты в магазин были доставлены двумя машинами по 60 ящиков

ав каждой; при этом в 21 ящике были груши, а в остальных – яблоки. Сколько

ящиков с грушами было в каждой машине, если в первой машине на один

ящик с грушами приходится в 3 раза

больше ящиков с

яблоками, чем

во второй.

395. Мальчик сбежал

вниз по движущемуся эскалатору и

насчитал

30 ступенек. Затем он побежал вверх по тому же эскалатору с той же

скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько

ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?

396. Творческое задание (100 баллов). Многие практические задачи

сводятся

системам

неравенств относительно

нескольких

неизвестных.

В качестве примера можно указать задачи, связанные с планированием

производства. Обычно эти задачи формулируются так: найти наилучший план

производства при заданных ресурсах, которые, как правило, задаются при

помощи ряда неравенств. В итоге приходится искать наибольшее /

наименьшее

значение

некоторой

функции

области,

которая

задаѐтся

системой

неравенств. Приведѐм

простейшую

задачу

такого

типа. Бетон,

и Y надо

производимый на двух

заводах

развести

по

строительным

площадкам № 1, № 2 и № 3. Завод Х производит 320 т бетона в сутки,ка

завод Y – 380 т. Потребность строительных площадок в бетоне такова: №в1 –

200 т, № 2 – 280 т, № 3

– 220 т. Стоимость (в тыс.руб.) перевозки одной тонны

бетона с заводов на стройплощадкиш

Площадка

№ 1

№ 2

№ 3

Завод

задаѐтся следующей таблицей.нТребуется

составить

план

перевозок бртона, при

котором

стоимость

перевозок

будет

наименьшей.

ходе

решения

выясняется,

что

затраты,

наименьшие

в размере 2340 тыс.руб. будут при условии, что с завода Х на стройплощадку

№ 1

поставляется

200

Нбетона

сутки,

на

площадку № 2 – 120 т бетона в сутки, а с завода

Y на

стройплощадку е№ 2

поставляется

160

бетона в сутки, на площадку № 3 – 220 т бетона в

те

сутки,

Задачи такого

типа

называются

задачами

линейного программированияи

Сформулируйтер

задачу

линейного

программирования в общем виде. Приведите

схему

и(алгоритм) решения. Решите данную

задачуу. Приведите примеры решения других

задачй

линейного программирования.

397.

Творческое

задание

(100

баллов).

Создание методов линейного программирования

по существу началось с работ Л.В. Канторовича.

Что Вам известно об этом учѐном?

398.

Творческоеа

задание

(100

баллов).

Проведите

исследование

условиях на числа аi, bi, A может быть решено уравнение

выясните, при какиху

о a

1 г

вида

x йb

...

A .

Приведите

примеры

решения

таких

x b

уравнений.

о399. Творческое задание (100 баллов). Проведите исследование и

выясните, при каких условиях на числа а

, b

, p

, q

, r , A может быть решено

a1 x b1

a2 x b2

an x bn

уравнение

вида

...

A .

p x2

Приведите примеры решения таких уравнений.

400. Творческое задание (100 баллов). Разработайте в среде электронных таблиц компьютерные модели ряда задач №№ 311-360 данной темы, а также генераторы этих задач.

V. Иррациональные уравнения, неравенства и системы

Иррациональными называют уравнения, содержащие неизвестную

величину под знаком радикала.

Простейшее иррациональное уравнение имеет вид:

f (x) a

При решении иррациональных уравнений, как правило, применяют

преобразование,

связанное

возведением

обеих

частей

уравнения

в натуральную степень.

При возведении уравнения в нечѐтную степень получается уравнение,

a2n 1

равносильное исходному:

1 f(x)

f(x)

При

возведении

уравнения

в чѐтную

степень получается

уравнениеш

являющееся следствием

исходного:

f(x)

то

есть такое,

которое кроме корней исходного уравнения может содержать и другие корни

(их называют посторонними для исходного). Значит в этом случае необходимо

в исходное

проверить все найденные корни непосредственной подстановкой.

уравнение. Другой путь решения таких уравнений – переходН

к равносильным

системам, в которых учитывается область допустимых значений уравнения и

, возводимых в чѐтную

требование неотрицательности обеих частей уравненияе

f(x)

0 .

степень:

f(x)

те

используют метод интервалов

При решении иррациональных неравенствв

или с помощью некоторых равносильных преобразований заменяют данное

иррациональное неравенство системой (совокупностью систем) рациональных

неравенств.

Тестовые задания (по 10 баллов).

на множестве (–

, 0] является

401. Равносильнымвыражению ху4

а) –

в) –

г)

б)

не имеет решений

402. Уравнениеу

а)

х 2

б)

х 2 2

г2

в)

3х

и2

х 2 0

г)

3х 2

х 2 0

д)

в4 х

х 6 2

е)

4 х

х 6 2

1 х

3 х 5

з)

1 х

3 х 5

аж)

и)

х 3

х 9 3 х 2

к)

х 3

х 9 3 х 2

403. Уравнение

3х

х имеет

а) два корня, произведение которых равно 0,

б) два корня, сумма которых равна 5, в) один корень, равный 0, г) один корень, неравный 0.

404. Уравнение х2 3х 4 2 2х имеет

а) два корня, произведение которых равно (– 6), б) два корня, сумма которых равна (– 6),

в) один отрицательный корень равный ___________, г) один положительный корень равный ___________.

Уравнение 3 5

405.

х2

а) не имеет решений,

б) имеет единственное решение

41 ,

в) имеет единственное решение 2

41 ,

г) имеет решение

41 .

406.

Решением

неравенства

является

множество

чисел

а) {1, 2}

г) [1, 2]

б) {1}

[2;+

)

в) {1}

(2;+

)

407.

Решением

неравенства

является

множество

чисел

те

а) {1, 2}

г) [– 1, 2]

б) (–

;–1)

{2}

в) (–

;–1]

{2}

4х

12х

408.

Решением

неравенства

3 2

является

хр

множество чисел

а)

б) {2, 3}

в) [2,н3]

г) (–

;2]

[3;+

)

5 < 1 – x

является множество чисел

409. Решением неравенства

а)

б) [– 5;– 1)

в) [– 5; 1]

г) [– 5;– 1)

(4;+ )

6х

5 > 8 – 2x является множество

410. Решением неравенстват

чисел

а) (3; 5]

б) (3;

)

в) (3; 4]

г) [1; 5]

Задачий I уровня (по 20 баллов). Решите уравнения

411.

412.

сх

3х

413.

414.

3 х

416.

2х

а415.

417.

3х

4х

418. 3

419.

11х

9х 7

420.

2х2

5х

2х2

5х

Задачи I уровня (по 20 баллов). Часто, когда подкоренные выражения

иррационального

уравнения

вида

f (x)

g(x) h(x)

представлены

многочленами степени 2 и выше, используют искусственные методы решения,

позволяющие свести исходное уравнение к рациональному, минимальной

степени.

Решим

уравнение

3х2

5х

3х2

7х

Воспользуемся

формулой

разности

квадратов:

А – В = (А – В)(А + В),

которой

будетг

фигурировать наше уравнение: А =

3х

5х

7 , В =

3х

7х

2 ,

– 5х + 7, В

– 7х + 2,

= 3х

А2 – В2 = 2х + 5, А + В = 3.

2х 5 3 3х2

5х 7

3х2

7х 2

2х

3х

5х 7

3х

7х 2

2х

Сложим это уравнение с исходным, получим:

3х 2

н5х

или

3 3х

5х

и получим:

7 . Возведѐм в квадрат, упростимт

те

26х

– 59х + 14 = 0, D = 45

. х1=

, х2= 2.

Непосредственной

подстановкой

убеждаемся, что

исходное уравнение,

полученные значения являются кориями исходного уравнения.

Ответ. х1=

, х2= 2.

Подобным образом поступают при решении уравнений вида:

3 f (x)

h(x) и 3 f (x)

3 g(x)

3 h(x)

3 j(x)

g(вx)

В этом случае используется формула куба суммы / разности:

+ 3АВ(В А)

(А В) = А

Решите уравненияу

2 г

421.

2х

5х

2х

7х

422.

2х

и3

423.

424.

х 1

2х 3

кх

425.т

5х

10х

15х

426.

6х

2х2

427.

3х

3х 9 3 0

428.

429. 43 2х

7 2

2х

7 2

43 4х2

1 5

430.

3 х

812

				Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите неравенства

		431. 4 х х													5 2										6 4 х3														5 4 х2 х										5 > 0
		431. 4 х х													5 2										6 4 х3														5 4 х2 х										5 > 0											432. 7													7						х				< x
																																																												434.							3x					5					7								2				х
		433.					х					2						х				1								1								х					3		4			х		1										434.							3x					5					7								2				х

		435.				4						x2										х						х				1																												436.							4					x2									х			х				1							о
		435.				4						x2										х						х				1																												436.							4					x2									х			х				1
																																																																					30
										2																																		2																									30
																																																																																						3								о
		437.						x							х 1													2х						1									x				х			1				2х						438.																							х			3		35				х3		г
		437.						x							х 1													2х						1									x				х			1				2х						438.																							х					35				х3
																																																																		х	3		35							х	3																к
																																																																		х			35							х																с
																																																																																										в
					8									2										3																																								4																								ш		в
		439.				2						x										х							х					1																										440.							9					x									х		3			ы			3



										6															3												7																																															н
		441.			3															3																																								442.							1					х2					8					5	рx
		441.			3															3																																								442.							1					х2					8					5	рx
								x				1											x					1							x					2																																								Ч
								x				1											x					1							x					2																																				.							е
						2						x								4 х								3																																							52									.
						2						x								4 х								3																																							52							хГ2
		443.																														2																												444.												.										1
																																																																								.

																х																																																				2 Нx
																	2												2																																		е				и
		445.				25							x														x						7х								3																			446.м					н9 х2								4										3х			2

																																																																				5х			2				1
																																																													и							5х							1
																																																										т
																																																										т
		447.				5x						4												4x							3										3x				2						2x				1		те			448. 3								х				1				1							3 2х			1
																																																								и
																																																								и
																																																							с
		449. х				2		+ 8х +8																		4(х + 2)																х		1									р							450.				4				x				4		х			16							2
		449. х						+ 8х +8																		4(х + 2)																х		1								е								450.								x						х			16							2
																																																				е
																																																		в
				Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите системы уравнений:
																																																	и
																																																	и
															х										у									1													н
																																									2					у													х					у								х								у			2


																																											ы
		451.													у										х											ху			н					й									452.
		451.													у										х											ху								й									452.
																																																												у					х							у								х			1
					4 х3 у															4		ху3
																															3						2
																															3						2				н
																																					е
																																		в
																																т
																														с																																						х	2					у		2						226
											2									2
											2									2
									х									у										р									2				2
									х									у										2ху									2				2
		453.																								а																											454.							х			у									у										5
		453.																					хд								у						2																454.					4		х			у				4					у										5
																							хд								у						2																					4									4
																			с																																											у								х					у							2
																о					у																																									у								х					у							2
												г
											й									х		2
								и														2												2											2
																												2				х		2					1					у	2		3
																						2
						к														у																																						25					х	2								25						у			2					8
																																																																2																	2

		455.			с																																																456.
		т		в																									2у																2																			2																	2														2
	р		о		3 х									у																													3у				0											25					х									25						у								16					х			у
	р		о		3 х									у																													3у				0
а		а																							х2							1						х
С																																																											у			5		3				2х					1				24									2х			1
																																																																																						2х			1

		457.									х							у					3 х								у						6																458.																																		у		5
											х							у					3 х								у						6																																																		у		5
					6					х у										2			х у								3						2																																																								у		5

																																																													у 5						3 2х 1 6 у 5


																																																																																										3 2х					1
																																																																																										3 2х					1

	1			1				1				4		х2		1	4
	1			1				1		х	1			х2		1	4
							3			х	1
459.		х 1			у 1		3		460.				11 2 4 х2				1
459.	у		1	х		1			460.
												2		х	1		3


							13		4 х2		1
		х	1		у	1	13		4 х2		1

												3		х	1	2
												3		х	1	2

Задачи II уровня (по 30 баллов). Докажите следующие утверждения:

461. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел нео

меньше их среднего геометрического.

462. Для любых 1

2 справедливо равенство:

а 2 а 1

а 2 а 1 2 .

а2

463.

2 для любых действительных a.

.Г

а2

а b

c 3

464.

аbc ,

аbcd

для любых положительных

a, b, с и d.

465. Для всех допустимых значениях переменныхи

выражение:

4 ху3

те

4 х

иху

ху

неотрицательно и не зависит от х.

466. Для любых положительныхн

чисел a и b выполняется неравенство:

хй

у .

н у

467. Для любых неотрицательных чисел х, у и z:

х + у + z

хy

уz

хz .

неотрицательных чисел

х, у

равна 7, то сумма

468. Если сумма

арифметических корней из этих чисел меньше 5.

1 ху .

469. Для любых чисел х и у больших 1: х

470.иДля любых положительных чисел х, у и z меньших 1, сумма кубов

ко орых равна 1:

2 .

1 х2

у2

Задачи II уровня (по 30 баллов). Найдите:

471. общее решение уравнения вида:

4п 2х 7 2

п 2х 7 2

4т 4х2

для любого натурального n;

2а 2pq x p

q для любых

472. общее решение уравнения вида:

натуральных a, р, q;

473. общее решение уравнения вида:

n хn

n 1 an хn2

n an

n 1 an2 хn

для любых натуральных a<b и n;

474. общее решение уравнения вида:

х2

х2 1

х ;

475.

алгоритм решения уравнения вида:

где

a>b,

c>0 – данные числа;

476. решение неравенства

для всех a>0;

3х

477. решение неравенства

1 ;

478. значение выражения

z x y 2 xy

те

при х = 126025, у = 18225, z =729.

479. значения параметра a, при которых уравнение

2а

имеет единственное решение;

480. при каких значе иях параметров a, b и c уравнение

a х

решений;

имеет бесконечно многос

481. верно ли, что при любых действительных значениях a выполняется

2д

ау

неравенство

2 :

а2

наименьшее значение суммы (х + у), если

ху

3 ;

482.к

2 .

х, удовлетворяющие неравенству

о483. значения

484. значения

а,

при

каждом

из

которых

решением

неравенства

3 является отрезок.

х2

у2 ,

х2

у2 ,

485. геометрические модели выражений:

ху ,

построение которых можно осуществить с помощью циркуля и линейки.

Задачи III уровня (по 40 баллов). Решите задачи.

486 Задача Диофанта Александрийского. Катет прямоугольного треугольника есть точный куб, другой катет представляет разность между этим кубом и его стороной (то есть первой степенью), а гипотенуза есть сумма куба

иего стороны. найти стороны.

487.Брат с сестрой, используя складной метр, состоящий из 30

дециметровых

звеньев,

получают

треугольники.

Однажды

брат

сложил

треугольник, стороны которого составлены из 11, 10 и 9 звеньев, а сестра –

треугольник, стороны которого составлены из 12, 10 и 8 звеньев. Как детям, нег

производя измерений, выяснить, площадь какого треугольника больше?

488. Брат

с сестрой, используя

складной

метр,

состоящий

из

дециметровых

звеньев,

получают

треугольники.

Однажды

брат

сложил

треугольник, стороны которого составлены из 11, 10 и 9 звеньев, а сестраш

–

треугольник, стороны которого составлены из 12, 10 и 8 звеньев. Какндетям, не

производя измерений, найти

для каждого треугольника

расстояние

от

его

вершины до противолежащей стороны?

489. Брат

с сестрой, используя

складной

метр,

из

состоящий

дециметровых

звеньев,

получают

треугольники.

брат

сложил

Однажды

треугольник, стороны которого составлены из 11, 10

Н9 звеньев, а сестра –

треугольник, стороны которого составлены из 12, 10 и 8 звеньев. Как детям, не

длины его медиан?

производя измерений, найти для каждого треугольникае

490. Брат

с сестрой, используя

складной

метр, состоящий

из

те

дециметровых звеньев, получают треугольникит

. Однажды брат сложил

треугольник, стороны которого составлены из 11, 10 и 9 звеньев, а сестра –

треугольник, стороны которого составленыиз 12, 10 и 8 звеньев. Как детям, не

производя измерений, найти для каждогортреугольника длины его биссектрис?

491. Задача Бхаскары. Посреди сражения яростный сын Притхи схватил

некоторое число стрел, чтобы убить Карну; половину их он употребил на

собственную защиту, а учетверѐнноеу

количество квадратного корня – против

лошадей: 6 стрел пронзили возницуй

Салью, 3 других прорвали зонтик Карны,

разбили его лук и знамя, иытолько одна последняя пронзила ему голову.

Сколько было стрел у Арджунын

, сына Притхи?

492. Задача Фараонав

или Колодец Лотоса (VIII

век до н. э.). В круглом

колодце налита вода на одну единицу длины. Две разновеликие тростинки,

с длиной 2 и 3

единицыр

соответственно, одними концами упираются в дно

колодца, а другими концами опираются на его стены. Тростинки пересекаются

на уровне налитой в колодец воды. Какова ширина

колодца?

м2

493. Прямоугольныйо

участок

площадью

420

нужно

обнести

проволочным забором и разгородить по диагонали пополам. Определить

размерыиучастка, если на это потребовалось 111 м проволоки. Какой формы

прямоугольныйс

участок с той же площадью нужно

выбрать,

чтобы на это

по ребовалось наименьшее количество проволоки?

494. Муравей ползѐт по пню так, что его путь можно представить в виде

рломаной, являющейся частью равнобокой трапеции – осевого сечения пня.

Путь проделанный муравьѐм равен 12. объѐм пня – 28, его высота – 4. Какова

площадь прямоугольника со сторонами, равными площадям верхнего и нижнего основания пня?

* диаметр

495. Задача арабского математика XI века. На обоих берегах реки

растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой –

20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке

каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу,

выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом

и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более

высокой пальмы появилась рыба?

496. Творческое задание (100 баллов). Заменой неизвестного решениег

иррациональных

уравнений

иногда

можно

свести

решениюк

тригонометрических

уравнений.

Опишите

этот

метод

решвния

иррациональных уравнений. Приведите не менее 10 примеров.

497.

Творческое

задание

(100ыбаллов).

№ 461,

Обобщите

неравенства из заданий

№ 464.

В общем виде это неравенствое

было

доказано великим французским.

математиком

XIX

века

Огюстеном

Луи

ГКоши и

является

частью «неравенства о среднем».

Одно

из

доказательств

этого

неравенства было опубликовано Коши в его

учебнике

по

атематическому

анализу

в 1821 году. С

ех пор для этого неравенства

те

было найдено немало доказательств.

Приведите доказательство неравенства,

данное

самим автором. Выведите несколько

следствий их этого неравенства.

полую

формулировку

Приведите

неравенстван

среднем, докажите его для

случая двух неизвестных.

Что

Вам известно

жизнедеятельности,

математических

других

научных достижениях О. Кошин?

(100 баллов). Радикалом называют знак

498. Творческое заданиев

операции извлечения корня n-ой степени из

применяемый для обозначенияс

некоторого выражения. Выясните этимологию термина «радикал», историю

возникновения этогод

символа, имена каких учѐных связаны с использованием

радикалов в математическойс

литературе.

задание

(100

баллов).

Известно,

что

решить

499.

Творческое

уравнение / неравенство с параметром можно несколькими

иррациональноеи

способамис . На примере какого-либо иррационального уравнения / неравенства

пр демонстрируѐтев

всевозможные способы его решения. На каждый способ

приведитет

подборку задач,

500. Творческое

задание

(100

баллов).

Разработайте

среде

электронных таблиц компьютерные модели ряда задач №№ 411-460 данной

темы, а также генераторы этих задач.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.04.2019246.34 Кб61Экономика_1_часть.docx
#
30.08.2019125.44 Кб1экономическая и практика менеджмента 2011.doc
#
29.03.20161.21 Mб25ЭЛ.МАТ.-комбинаторика.pdf
#
22.12.201880.9 Кб25Электр_хим_процессы.doc
#
07.12.2018827.39 Кб12Элементы аналитической геометрии.doc
#
29.03.20161.72 Mб14элмат. алгебра.pdf
#
09.06.20152.75 Mб93ЭЛМАТ.практикум_по_геометрии.pdf
#
09.06.20151.36 Mб11ЭЛМАТ.хрестоматия.pdf
#
11.11.201983.46 Кб8Этика студ.doc
#
23.11.2019347.65 Кб7Эфирные масла2.doc
#
09.06.2015136.7 Кб13Юные лидеры Поволжья.doc