Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
20
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
424.96 Кб
Скачать

8.5. Введение в линейное программирование

Идея, лежащая в основе линейного программирования, состоит в том, чтобы определить не количества тех или иных факторов, которые целесообразно использовать в производстве, а виды деятельности, которые дают максимальный результат или минимальные издержки при заданном объеме продукции. Линейное программирование предполагает, что замена одного фактора производства другим неоcуществима без изменения самого процесса производства, использующего эти факторы в определенных пропорциях. Можно перейти от одной технологии к другой, но поменять соотношение ресурсов нельзя.

Стремясь к оптимальным решениям, фирма, которая развертывает несколько видов деятельности, должна учитывать ряд условий, ограничивающих ее свободу выбора (например, ограниченность некоторых производственных мощностей, качественные особенности видов продукции, минимальные количества факторов или продукции, зафиксированные договорными обязательствами, финансовые ограничения). В обычной производственной функции ограничения не принимаются во внимание. В линейном программировании ограничения учитываются с помощью неравенств. В рамках задач линейного программирования действует предположение, что издержки, доходы и прибыли растут пропорционально росту уровня производства.

Методы линейного программирования сложны. В них используется трудный для восприятия математический аппарат. Мы будем излагать лишь важнейшие аспекты линейного программирования.

Алгебраическая трактовка метода линейного программирования как метода анализа сочетаний факторов производства состоит в постановке двух задач - прямой и обратной, решение которых дает одинаковый результат.

Постановка прямой задачи состоит в следующем. Пусть какая-то фирма располагает ресурсами С1 и С2 и может произвести три вида товаров Х1, Х2, Х 3, производству которых соответствует прибыль Р1, Р2, Р3. Требуется определить ряд технологий, который дает максимальную прибыль. При этом должны соблюдаться два условия:

- ни один из уровней использования фиксированных технологий не должен иметь отрицательное значение;

- общая сумма редких ресурсов, использованных в различных фиксированных технологиях, не должна превосходить имеющееся количество каждого из этих ресурсов.

Задача максимизации записывается следующим образом.

Максимизировать прибыль Р:

Р=Р1Х1 + Р2Х2 + Р3Х3

при условии

а11 Х1 + а12 Х2 + а13Х3 £ С1

а21Х122Х223Х3 £ С2

Х1 ³ 0; Х2 ³0; Х3 ³0

Первое равенство показывает, что сумма ресурса С1, использованного для производства товара Х1, плюс сумма ресурса С1, использованного для производства товара Х2, плюс сумма ресурса С1, использованного для производства товара Х3, не должны превышать сумму имеющего ресурса С1. Второе неравенство выражает подобное условие для С2.

Решение задачи максимизации прибыли позволяет определить область допустимых планов и точку, в которой она соединяется с фиксированной линией цен.

Парная задача - это задача минимизации. Она заключается в том, чтобы найти для редких ресурсов такие цены, чтобы общая стоимость издержек была минимальной. При этом должны соблюдаться два условия:

- ни один из ресурсов не имеет отрицательной стоимости;

- затраты на единицу продукции каждой технологии должны быть меньше прибыли, которую она приносит.

Минимизировать производственные затраты

С= С1 У1+C2У2, где У1, У2 - цены за редкие ресурсы

при условии

a11У1 + a21У2 ³ P1

a12У1 + a22У2 ³ P2

a13У1 + a23 ³ P3

У1> 0

У2>0

Каждое неравенство показывает, что количество ресурсов, использованных на производство Х1, Х2, Х3, должно при цене У12 иметь такую же стоимость, как величина прибыли, приносимой единицей Х1, Х2, Х3.

При решении задачи минимизации определяется область допустимых планов и способ ее соединения с подвижной линией цен.

Геометрическое представление задачи линейного программирования заключается в следующем.

Допустим, используются труд и капитал, цены стабильные, производится два вида продукции В1 и С2, возможные технологии предполагают использование труда и капитала в следующих пропорциях: 1) 360/0; 2) 360/90; 3) 90/360; 4) 0/360; действует шкала постоянной производительности; каждый вариант задействования технологий дает продукцию в некотором равном объеме.

График 23. Изокванта производства

при технологиях производства 1,2, 3, 4

Здесь показаны технологии и изокванта производства продукции при вышеназванных условиях. Технологии 1 и 4 (360/0 и 0/360) совпадают с осями координат и нереалистичны. Технологии 2 и 3 выражены в линиях ОС (360/90) и ОВ (90/360). Линия СВ представляет изокванту - линию равного объема продукции. Прерывистая линия Х1Х2 представляет линию соотношения цен Х1Х2. Она касается области допустимых планов ОСВ в точке В (оптимальный план).

В данном случае задача легко решаема, поскольку крайняя точка области совпадает с линией технологии ОВ и линией цен Х1Х2 . Более сложный случай представляет пересечение линии цен и области допустимых планов в промежутке между технологиями, но на соответствующей изокванте, например в точке В1.

-

График 24. Случай пересечения области допустимых планов

и линии цен между линиями технологий

На графике 24 точка пересечения области допустимых планов и линии цен находится между линиями технологий ОС и ОВ. Это значит, что данные технологии необходимо использовать в определенных пропорциях. Они определяются следующим образом. Через точку В1 проводится линия В1В2, параллельная ОВ. Она пересечется с линией ОС в точке В2. Следовательно, процесс ОС будет использован на уровне В2. Аналогично определяется уровень использования процесса ОВ. Проводится линия В1В3, параллельная ОС. Линия В1В3 пересекается с линией ОВ в точке В3. Следовательно, процесс ОВ будет задействован на уровне ОВ3.

Парность задач линейного программирования имеет не только математическое объяснение, но и экономическое. Она показывает, что общий доход (прибыль) в производстве никогда не может превышать общей стоимости ограниченных ресурсов; в оптимальной программе общий доход равен оптимальной стоимости ресурсов; если какой-либо ресурс используется при оптимальном решении не на полную мощность, то относимая к нему цена равна нулю, этот ресурс рассматривается как свободно доступный, неограниченный. Парность задач показывает, что прибыли должны быть соотносимы с редкостью ресурсов.

Типичными задачами линейного программирования являются задачи о станках, оптимальный раскрой материала, оптимальное расписание, оптимальный подбор персонала, разработка сетевого графика.

Соседние файлы в папке Основы экономической теории