- •1 Функции комплексной переменной.
- •1.1 Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.
- •1.2 Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.
- •1.4 Множества комплексной плоскости.
- •1.5 Функции комплексной переменной.
- •1.6 Ряды в комплексной области.
- •1.7 Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера.
- •1.8 Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана.
- •1.9 Гармонические функции.
- •2 Интегральное исчисление функций комплексной переменной.
- •2.1 Интегралы в комплексной области.
- •2.2 Теория интегрирования Коши.
- •2.3 Формула Коши.
- •2.4 Следствия интегральной формулы Коши.
- •2.6 Ряды Лорана.
- •2.7 Изолированные особые точки аналитической функции.
- •2.8 Бесконечно удаленная особая точка.
- •2.11 Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке.
- •3.1 Интеграл Фурье
- •3.2 Преобразование Лапласа и формула обращения
- •3.3 Основные определения операционного исчисления
- •3.5 Основные теоремы операционного исчисления
- •3.6 Теоремы разложения
- •3.8 Изображение периодической функции
3.6 Теоремы разложения
Теоремы разложения применяются для нахождения оригинала f (t) , когда известно изображение F( p) . Каждая из этих теорем справедлива лишь при определенных частных условиях, накладываемых на изображение F( p) . Однако классы функций, удовлетворяющих
этим условиям, являются весьма широкими; вычисления же, связанные с применением теорем разложения, настолько просты, что использование этих теорем при решении многих конкретных задач оказывается весьма эффективным.
3.6.1.Первая теорема разложения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Предположим, что данное изображение F( p) может быть разложено в ряд по степеням |
|
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
∞ |
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p) = |
|
|
|
|
0 + |
1 |
|
|
+... + |
|
|
|
n |
+... = ∑ |
|
n |
, |
(5.1) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
p |
n+1 |
p |
n+1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
> R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
сходящийся при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Если к каждому отдельному члену этого ряда применить операционное соотношение: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
an |
tn |
(n |
= 0,1,2,...) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
pn+1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
то оригинал |
|
f (t) |
|
|
определяется формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
+ a2 t |
2 |
|
+ a3 t |
3 |
|
|
∞ |
|
t |
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) = a0 |
|
+ a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+... = ∑an |
|
. |
|
(5.2) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
3! |
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Пример. F( p) = |
1 |
arctg |
1 |
|
разлагается в ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
F( p) = |
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
−... |
+ |
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
p2 |
3 p |
4 |
|
5 p6 |
|
(2n |
−1) p2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
По первой теореме разложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
f (t) =t − |
|
|
|
t3 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
t5 |
|
|
− |
|
t7 |
|
+... +(−1)n−1 |
|
|
1 |
|
|
+... |
= ∫0t sinτ dτ . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 3! |
|
5 5! |
7 7! |
(2n −1)(2n −1)! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
3.6.2.Вторая теорема разложения
Для того, чтобы найти оригинал функции f ( p), изображение F( p) которой заданно
дробно-рациональной функцией |
|
|
|
|
|
|
||||
F ( p) = |
R( p) |
= |
|
R( p) |
|
|
|
, |
||
Q( p) |
( p − p )k1 |
( p − p |
|
)k2 |
...( p − p |
|
|
|||
|
|
2 |
m |
)km |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(степень числителя меньше степени знаменателя), разлагаем изображение F( p) на элементарные дроби, после чего находим оригинал каждой дроби.
Пример. F( p) = |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
f (t) =? |
|
|||||
( p +1)2 ( p2 + 2 p + 2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
F( p) = |
|
p |
|
|
= |
|
|
A |
+ |
B |
|
+ |
Cp + D |
, |
|||||
( p +1)2 ( p2 + 2 p + 2) |
( p +1)2 |
p +1 |
p2 + 2 p + 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A = −1, B =1, C = −1, D = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Получим: F( p) = |
−1 |
+ |
|
1 |
|
|
− |
( p +1) −1 |
. |
|
|
|
|||||||
( p +1)2 |
p +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
( p +1)2 +1 |
|
|
|
Запишем оригинал:
- 30 -
f (t) = −t e−t +e−t −e−t cost +e−t |
sint = (−t +1−cost +sin t)e−t . |
|
3.6.3. Третья теорема разложения |
|
f ( p) служит функция комплексного |
Если изображением F( p) |
искомой функции |
|
аргумента, регулярная справа от |
прямой Re p =σ0 , |
а на этой прямой и слева от нее не |
имеющая других особенностей, кроме конечного множества полюсов и существенно особых точек, то оригиналом для этой функции служит функция f (t) , определяемая по формуле
n
f (t) = ∑Res{ept F( p)}. (5.3)
k=1 p=pk
Пример. F( p) = |
p2 |
f (t) =? |
( p −1)2 ( p2 +1) |
p =1 - полюс 2-го порядка, p = ±i - полюсы 1-го порядка.
Res |
e |
pt |
F( p) |
= lim |
e |
pt |
F( p) ( p −1) |
2 ′ |
= lim |
|
e |
pt |
|
||||||||||||||||||||
|
|
} |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
p=p |
{ |
|
|
|
|
} |
p→1{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p→1 |
|
|
|
|||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res |
e |
pt |
F( p) |
= lim |
|
|
|
ept p2 |
|
|
|
|
1 |
e |
it |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
( p −1) |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
p=i |
|
|
|
|
|
|
|
p→i |
|
( p +i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
pt |
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−it |
|
|
|
||||
Resp=−i e |
|
F( p) |
= plim→−i |
|
|
= − |
4 |
e |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
( p −1)2 ( p −i) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
f (t) = |
t +1 |
e |
t |
|
1 |
(e |
it |
+e |
−ti |
)= |
t +1 |
e |
t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
− 4 |
|
|
2 |
|
− |
2 cost . |
|
|
|
|
|
p |
2 |
′ |
= t +1 |
et . |
|
|
|
||||
( p2 +1) |
|||||
|
2 |
|
3.7 Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентамиметодами операционного исчисления
Пусть требуется проинтегрировать уравнение
x(n) (t) + a1x(n−1) (t) + a2 x(n−2) (t) +... + an x(t) = f (t)
при начальных условиях:
t = 0 : x = x0 , x′ = x0′ ,..., x(n−1) = x0(n−1) ,
x0, x0′,..., x0(n−1) - заданные постоянные, а f (t) - заданная функция, изображаемая по Лапласу. Обозначим изображение искомого решения через X ( p): f (t) X ( p) .
По теореме дифференцирования оригинала (3.4.2), в силу заданных начальных условий имеем: x′(t) pX ( p) − x0
x′′(t) p2 X ( p) − px0 − x0′
|
x |
(n) |
(t) |
p |
n |
X ( p) − p |
n−1 |
x0 − p |
n−2 ′ |
(n−1) |
. |
|
|
|
|
x0 |
−... − x0 |
||||||
Пусть, далее, f (t) F( p) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в исходное уравнение вместо функций их изображения, получаем так |
||||||||||
называемое изображающее уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(pn + a1 pn−1 +... + an )X ( p) −Y ( p) = F( p) |
|
|||||||||
(здесь |
Y ( p) = pn−1x0 + pn−2 x0′ +…+ x(n−1) + a1 ( pn−2 x0 +…x0(n−2) ) +…+ an−1 x0 ) ), |
|
|||||||||
т.е. – |
алгебраическим относительно изображения искомого решения |
|
- 31 -
X ( p) = |
F ( p) +Y ( p) |
|
. |
|
pn + a pn−1 |
+... + a |
|
||
|
n |
|||
|
1 |
|
Для отыскания решения остается по полученному изображению найти его оригинал, пользуясь известными теоремами.
Рассмотрим несколько примеров решения задачи Коши методами операционного исчисления .
1. |
|
|
′′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
(t) + 4x (t) =1, |
|
x(0) = x (0) = x (0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
X ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t) pX ( p) −0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
2 |
X ( p) |
− p 0 −0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
′′′ |
|
|
|
|
p |
3 |
X ( p) |
− p |
2 |
0 |
− p |
0 −0; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
p . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
p |
|
X ( p) + 4 pX ( p) = |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
, X ( p) p |
|
|
+ 4 p = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X ( p) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 ( p + |
4) |
|
|
4 p2 |
|
4( p2 + |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 t , |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin 2t |
|
x(t) |
= 1 t |
− |
|
1 sin 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
4( p2 + 4) 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x (t) − |
4x (t) |
+5x(t) = 0, x(0) = 0, x (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p2 X ( p) −1−4 pX ( p) +5X ( p) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. |
|
|
|
X ( p) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
p2 −4 p +5 |
( p −2)2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x(t) = e−2t sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x (t) + 4x(t) = 2sin 2t, |
|
|
|
|
= −1, x (0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Зная: |
2sin 2t |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
и |
|
|
x(t) X ( p) , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p2 X ( p) + p + 4X ( p) = |
|
|
|
|
4 |
|
|
. |
|
|
Отсюда |
X ( p) = |
|
|
4 |
|
− |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p2 + 4 |
|
|
( p2 |
+ 4)2 |
|
|
p2 |
+ 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Оригиналы для изображений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
известны, а именно: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
p2 + 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
cos 2t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2sin 2t |
.Оригинал |
4 |
|
|
|
|
|
найдем по теореме |
||||||||||||||||||||||||||||
|
p2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
( p2 +4)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
свертывания: |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 sin 2τ sin 2(t −τ)dτ = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( p2 + 4)2 |
|
|
|
p2 + 4 |
p2 + 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
2 |
∫0 [cos(4τ − 2t) − cos 2t]dτ = |
2 |
|
|
4 |
sin(4τ − 2t) −τ cos 2t |
0 |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
1 |
|
1 |
sin 2t |
|
−t cos 2t |
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
sin 2t − |
1 |
t cos 2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
4 |
|
|
|
4 |
sin(−2t) |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно:
x(t) = −cos2t + 14 sin 2t − 12 t cos2t = 14sin2t −t +22 cos2t
- 32 -
3.8 Изображение периодической функции
В заключение, приведём ещё один пример построения изображения.
Пусть требуется найти изображение периодической функции f (t) с периодом T = 2 (при
t > 0 |
f (t + 2 ) = f (t) ). (При t < 0 f (t) = 0 (3.3)). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
x = f (t) |
x = f0 (t) |
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
6 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем вспомогательную функцию |
f0 (t) , которая на полуотрезке [0,2 |
) |
равна |
f (t) , |
||||
вне этого отрезка равна 0, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t), 0 ≤t <2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f0 (t) = |
t (0,2 ] |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ее изображением будет служить функция F0 ( p) , определяемая следующим образом: |
||||||||||||||||
. |
f0 (t) F0 ( p) = ∫0+∞e−pt f0 (t)dt = ∫02 e−pt f0 (t)dt , |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функцию f (t) , в свою очередь, |
можно выразить через f0 (t) |
следующим образом: |
||||||||||||||
f (t) = h( ) f0 (t) + h(t − 2 ) f (t − 2 |
) , здесь f (t −2 |
) - та же периодическая функция, но с |
||||||||||||||
запаздыванием на один период, равная нулю при t < 2 . |
Переходя в последнем равенстве к |
|||||||||||||||
изображениям |
и |
|
|
используя |
теорему |
запаздывания |
(3.5.2), |
получаем: |
||||||||
F( p) = F ( p) + e−2 p F( p) , откуда: |
F( p) = |
|
|
|
F0 ( p) |
. |
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
−e−2 p |
|
f (t) |
|
|||||
Таким |
образом, |
изображение |
периодической |
функции |
с периодом |
|||||||||||
T = 2 определяется следующими формулами: |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
F ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (t) |
F( p) = |
|
|
0 |
, |
где |
|
F0 ( p) = ∫e− pt f (t)dt . |
|
|
||||||
1 |
−2 p |
|
|
|
||||||||||||
|
|
−e |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. В качестве примера найдем изображение функции sin t .
x
x = sint
t
0 |
π |
2π |
|
- 33 -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e− pt |
|
sin t |
|
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e |
− pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
F( p) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
d cost |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1−e |
−π p |
1−e |
−π p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|||||
|
|
− pt |
|
|
π |
|
|
∫cost e |
− pt |
|
|
= a e |
− pt |
+1+ p e |
− pt |
|
π |
− p∫ e |
− pt |
sin tdt |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= a −e |
|
|
cost |
0 + |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
sin t |
0 |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
−π p |
|
|
− p |
2 |
F( p); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= a e |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ e |
−π p |
) |
|
|
|
|
cth |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда: |
|
F |
( p) |
= |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(1+ p2 )(1−e−π p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы для самопроверки.
1. Для всякого ли оригинала f (t) существует изображение F ( p) ? Сформулировать требования к оригиналу.
2.Как изменится изображение, если аргумент оригинала умножить на а = 3 ?
3.Решить систему дифференциальных уравнений
x′+ y = 0 |
; x(0) |
= y(0) =1. |
|
|
||
|
|
|
|
|||
y′−2x −2 y = 0 |
|
|
1 |
|
||
4. |
Найти оригинал изображения F( p) = |
, применив третью теорему разложения |
||||
( p2 +1)2 |
(пункт 3.6.3).
- 34 -
Л И Т Е Р А Т У Р А
Основная литература
1.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. - М.: Наука, 1966.-331с.
2.Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление. Учебник для вузов (под ред. В.С.Зарубина и А.П. Крищенко). – М.: МГТУ, – 1996. (Серия «Математика в техническом университете», вып. XI).
3.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задача и упражнения. – М.: Наука, 1981. – 215с.
4.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. Под ред.Ефимова А.В., Демидовича Б.П., т.2. – 2-е изд. - М.: Наука, 1986.-368с.
Дополнительная литература
1.Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. – М.: Наука, 1971. – 632с.
2.Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 628с.
3.Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М.: Высшая школа. – 1972. - 252с.
Методические и учебные пособия
1.Ванько В.И., Галкин С.В., Морозова В.Д. Методические указания для самостоятельной работы студентов по разделам «Теория функций комплексного переменного» и «Операционное исчисление». – М.: МВТУ,1988.-28с.
2.Шостак Р.Я. Учебное пособие по операционному исчислению. – М.: МВТУ, 1967. – 100с.
- 35 -