- •1 Функции комплексной переменной.
- •1.1 Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.
- •1.2 Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.
- •1.4 Множества комплексной плоскости.
- •1.5 Функции комплексной переменной.
- •1.6 Ряды в комплексной области.
- •1.7 Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера.
- •1.8 Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана.
- •1.9 Гармонические функции.
- •2 Интегральное исчисление функций комплексной переменной.
- •2.1 Интегралы в комплексной области.
- •2.2 Теория интегрирования Коши.
- •2.3 Формула Коши.
- •2.4 Следствия интегральной формулы Коши.
- •2.6 Ряды Лорана.
- •2.7 Изолированные особые точки аналитической функции.
- •2.8 Бесконечно удаленная особая точка.
- •2.11 Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке.
- •3.1 Интеграл Фурье
- •3.2 Преобразование Лапласа и формула обращения
- •3.3 Основные определения операционного исчисления
- •3.5 Основные теоремы операционного исчисления
- •3.6 Теоремы разложения
- •3.8 Изображение периодической функции
переменного p . Формула (3.8), позволяющая делать обратное преобразование, называется
формулой Меллина.
Легко доказать, что, если функция f (t) удовлетворяет условиям Дирихле и условиям
(п.3.6), то изображение F( p) |
представляет собой функцию, регулярную при всех значениях |
||||||||||||||||
комплексного независимого переменного |
p = c +ωt , удовлетворяющих неравенствам (3.6а), |
||||||||||||||||
то есть регулярную по всей полуплоскости, расположенной справа от прямой Re p = c0 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c +i∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = c +iω |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
ci0 |
|
|
ci1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c −i∞
Формула (3.8), в правой части которой стоит так называемый интеграл обращения, определяет преобразование обратное преобразованию Лапласа, то есть преобразование, при помощи которого функция F( p) комплексного переменного p преобразуется в функцию
вещественного независимого переменного t .
3.3 Основные определения операционного исчисления
Исходной формулой операционного исчисления является формула (3.7) :
∞
F( p) = ∫e− pt f (t)dt ,
0
определяющая преобразование Лапласа. Обычно, эту формулу, связывающую функцию F ( p) с функцией f(t), заменяют символической записью F( p) f (t) .
Определение. Функцию f (t) называют начальной функцией или оригиналом, а функция
F( p) , получаемую из f (t) при помощи преобразования Лапласа, называется изображением функции f (t) .
Изображения имеют только те функции, для которых имеет смысл интеграл Лапласа (1.9).
Примером функции, не имеющей изображения, может служить функция f (t) = 1t . Точно
так же не всякая функция комплексного переменного может рассматриваться как изображение некоторой функции вещественного переменного. Например, не имеет оригинала функция F( p) =tg p , так как полюсы этой функции распределяются по всей вещественной оси. То есть
на комплексной плоскости ( p) нет ни одной прямой, параллельной мнимой оси, справа от
которой эта функция была бы регулярной. |
такие начальные функции f (t) , которые |
||||
Мы будем рассматривать только |
|||||
удовлетворяют трем условиям: |
|
||||
1) |
|
f (t) = 0 при t < 0 , |
|
||
2) |
|
f (t) |
|
< Mec0t при t > 0, где M и c |
- некоторые положительные постоянные числа, |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
f (t) удовлетворяет условиям Дирихле (п.3.1). |
3) |
|
На любом конечном отрезке [0,T ] |
Кроме того, всегда будем считать, что в формуле (1.9) Re p = C0 ≥ c1 > c0 ;
- 21 -
При этих условиях интеграл Лапласа, определяющий функцию F( p) , равномерно сходиться во всей полуплоскости, ограниченной прямой Re p =C0 . Функции f (t) , удовлетворяющие всем
этим условиям, будем называть изображаемыми по Лапласу.
Приведём два примера непосредственного вычисления изображений для функций, играющих очень важную роль в операционном исчислении.
1. Функция, равная нулю при t < 0 и равная единице при t > 0; эта функция называется
единичной функцией и обозначается h(t) :
0 при |
t < 0 |
|
|
|
h(t) = |
|
. |
|
|
t > 0 |
f (t) |
|||
1 при |
|
h(t)
1
t
0
Изображение H ( p) единичной функции h(t) легко определяется по формуле (2.1):
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
− pt |
∞ |
1 |
|
|
|
|
H ( p) = ∫e |
− pt |
h(t)dt = ∫e |
− pt |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dt = − |
|
e |
|
= |
|
, |
|
|
||||
|
|
|
p |
p |
|
|
|||||||||
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
||||
Следовательно, H ( p) = |
при Re p > 0 , то есть : h(t) |
. |
|||||||||||||
p |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2. Экспоненциальная функция, равная нулю при t < 0 и равная eαt при t > 0:
e(t) = |
0 при |
|
t < 0 |
. В дальнейшем будем писать просто |
eαt . |
|||||||||||
|
αt |
при |
|
t > 0 |
||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
(α−p)t |
∞ |
1 |
|
|
E( p) = ∫e |
− pt αt |
|
∫e |
(α−p)t |
|
|
|
|
||||||||
e |
|
|
dt = |
|
dt = |
|
e |
|
= |
|
; Re p |
>Reα. |
||||
|
|
|
α − p |
p −α |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
αt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда e |
|
|
|
|
; |
|
Re p >Reα. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p −α |
|
|
|
|
|
|
|
3.4 Основные свойства изображений иоригиналов.
3.4.1Линейность.
1)Умножение начальной функции (оригинала) на постоянную величину влечет за собой умножение на ту же постоянную изображения:
Пусть F( p) f (t) . В этом случае c f (t) c F( p) ,
Например, f (t) = 2 F( p) = 2p , т.к. f (t) = 2h(t) .
2)Изображение алгебраической суммы конечного числа начальных функций равно алгебраической сумме изображений этих функций:
-22 -
n |
n |
∑ fk (t) |
∑Fk ( p) , где fk (t) Fk ( p), (k =1,2,...,n) . |
k =1 |
k =1 |
Два рассмотренных свойства называются линейными и легко объединяются:
Изображение линейной комбинации оригиналов равно той же линейной комбинации соответствующих изображений:
n |
n |
∑ck fk (t) |
∑ck Fk ( p) , где fk (t) Fk ( p) и ck = const, (k =1,2,..., n) . |
k =1 |
k =1 |
Доказательство этих свойств основано на применении простейших теорем об определенном интеграле.
|
αt |
|
−αt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. chαt = |
e + e |
|
1 |
1 |
|
+ |
1 |
|
= |
|
|
|
p |
|
|
,Re p > Reα. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
p + |
|
p |
2 |
− |
α |
2 |
|||||||||||
|
|
2 |
|
p −α |
|
α |
|
|
|
|
p |
|
||||||||||
Отсюда сразу получаем: cosωt =ch(iωt) |
|
|
|
p |
|
|
|
|
= |
|
|
|
, Re p >Imω. |
|||||||||
|
|
p2 −(iω)2 |
|
|
p2 +ω2 |
Замечание. При использовании операционного исчисления обычно обращаются к каталогам, содержащим некоторое число оригиналов и их изображений, определенных заранее (вывод некоторых из них будет дан ниже). Ясно, что такие каталоги могут быть использованы и для практического решения обратной задачи, состоящей в определении начальной функции по данному изображению этой функции.
3.4.2Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения
Вдальнейшем при формулировке и доказательстве теорем операционного исчисления мы всегда будем считать, что все рассматриваемые начальные функции:
1) изображаемы по Лапласу;
2)дифференцируемы необходимое количество раз;
3)все производные изображаемы по Лапласу.
Оригинал будем обозначать малыми буквами, а изображения – соответствующими большими буквами (например, f (t) F( p) , ϕ(t) Φ( p) и т.д.).
Дифференцирование оригинала
|
Допустим, что оригинал |
f (t) |
− дифференцируемая функция и его производная f |
′ |
|||||||||||||||||||
|
(t) |
||||||||||||||||||||||
также является оригиналом, причем |
|
f (t) |
|
< Me |
c0t |
, |
|
′ |
|
< M1e |
c0′t |
при t > 0. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Пусть |
f (t) |
|
F( p) , |
′ |
(t) |
F1( p) . Найдем |
|
связь между F( p) |
и F1( p) . |
По |
||||||||||||
|
|
f |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определению изображения имеем: |
F1( p) = ∫e−pt f ′(t)dt . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Выберем здесь |
p так, чтобы одновременно выполнялись неравенства |
|
|
|||||||||||||||||||
Re( p) > c0 , Re( p) > c0′ . Выполняя |
в правой |
части |
интегрирование по |
частям, причем |
|||||||||||||||||||
u = e |
− pt |
, dv = |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
(t)dt (v = f (t)) , находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
+∞0 |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F1( p) = f (t)e− pt |
|
+ p ∫ e− pt |
f (t)dt = − f (0) + ∫ e− pt f (t)dt = − f (0) + pF( p) . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, из соотношения f (t) F( p) следует:
′ |
(2.2) |
. |
f (t) pF ( p) − f (0) |
- 23 -
Предполагая, что оригинал |
f (t) |
дифференцируем n раз и что |
f (n) (t) |
также является |
|||||||||||||||||||||||
оригиналом, методом индукции из формулы (2.2) получим следующий результат: |
|||||||||||||||||||||||||||
Из соотношения f (t) |
|
F( p) следует соотношение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
f |
(n) |
( p) |
|
p |
n |
F( p) −{p |
n−1 |
f (0) |
+ p |
n−2 |
′ |
+... + f |
(n−1) |
(0)}. |
|
(2.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (0) |
|
|
|
||||||||||||||||
Пример. |
|
Изображение |
функции |
|
|
|
f (t) =shαt |
|
можно |
получить |
следующим |
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
′ |
1 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
||
образом: |
shαt = |
|
(chαt) |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
−1 = |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||
α |
α |
p |
2 |
−α |
2 |
p |
2 |
−α |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование оригинала
Примем без доказательства, что если f (t) может служить оригиналом, то оригиналом
t
некоторого изображения будет и функция ϕ(t) = ∫ f (τ)dτ .
0
t
Найдем теперь изображение ϕ(t) = ∫ f (τ)dτ .
0
Так как f (t) =ϕ′(t) , то полагая ϕ(t) Φ( p) , по формуле (2.2) находим связь между
Φ( p) и F( p) :
F( p) = pΦ( p) −ϕ(0) = pΦ( p) (ϕ(0) = 0) ,
откуда Φ( p) = 1p F( p). Таким образом, из соотношения f (t) F( p) следует
t |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (τ)dτ |
|
|
|
|
|
F( p) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
Примеры. 1. f (t) = h(t) |
F( p) = |
, следовательно − |
|
t = ∫dτ |
|
= |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
p |
p |
|
p |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
p |
|
|
|
||||||
По индукции легко получить: tn |
|
n! |
|
|
, n Ν, Re p > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
pn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
|
|
ω |
|
|
|
p |
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. sinωt =ω∫cos |
ωt dt |
|
|
|
|
|
= |
|
|
; Re p > Reω. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p |
p |
2 |
ω |
2 |
p |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
+ |
|
|
+ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцирование изображения
В теории функций комплексного переменного доказывается, что несобственный интеграл
+∞
ϕ(z) = ∫ f (z,t)dt , в котором f (z,t) есть регулярная функция комплексного переменного z
a
в замкнутой области D и непрерывная функция вещественного переменного t при t > a ,
- 24 -
+∞ |
∂f (z,t) dt , если интеграл этот |
можно дифференцировать под знаком интеграла: ϕ′(z) = ∫ |
|
a |
∂z |
|
сходится равномерно относительно z . При этом теорема остается верной и для несобственного интеграла, в котором подынтегральная функция f (z,t) становится неограниченной.
Говоря о свойствах изображения, было установлено, что изображение является регулярной функцией комплексного переменного p в полуплоскости Re > c > c1 > c0 и что в этой полуплоскости дифференцирование изображения можно выполнять под знаком интеграла
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лапласа. Поэтому из равенства F( p) = ∫ e− pt |
f (t)dt следует, что |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d nF( p) |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ e |
− pt |
t |
n |
(−t) |
n |
f (t)dt . |
|
|
в |
правой |
части |
|
равенства стоит |
|
изображение функции |
|||||||||||||||||||||||||||||
dpn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n tn f (t) . Таким образом, из соотношения |
f (t) |
|
F( p) следует, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n tn f (t) |
|
|
|
|
d n F( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dpn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
αt |
|
|
|
|
1 |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
αt |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Примеры. 1. −te |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
te |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, Re p > Re |
α . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( p |
−α) |
2 |
|
|
|
|
|
|
( p −α) |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p −α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2. −t sinωt |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
′ |
= − |
|
|
|
2 pα |
|
|
|
|
t sinαt |
|
|
|
2αt |
|
|
|
,Re p > Reα |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
p |
2 |
+α |
2 |
|
( p |
2 |
+α |
2 |
) |
2 |
|
|
( p |
2 |
+α |
2 |
) |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Интегрирование изображения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пусть функция |
|
f (t) |
|
является изображаемой по Лапласу, т.е. имеет место соотношение: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e−pt |
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
+∞ |
{f (t)∫p∞ e−qt dq}dt |
|||||||||||||
Заменим функцию e t |
|
|
интегралом ∫p∞e−qt dq : |
|
|
|
∫ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и изменим в правой части порядок интегрирования:
f (t) |
∞ +∞ |
−qt |
|
∞ |
||
∫p |
|
∫ e |
|
= ∫p F(q)dq , |
||
|
|
|
f (t) dt dq |
|||
t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
+∞
где F(q) = ∫ e−qt f (t) dt f (t) .
0
Таким образом, если F( p) f (t) и функция f t(t) изображаема по Лапласу, то
- 25 -