- •1 Функции комплексной переменной.
- •1.1 Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.
- •1.2 Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.
- •1.4 Множества комплексной плоскости.
- •1.5 Функции комплексной переменной.
- •1.6 Ряды в комплексной области.
- •1.7 Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера.
- •1.8 Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана.
- •1.9 Гармонические функции.
- •2 Интегральное исчисление функций комплексной переменной.
- •2.1 Интегралы в комплексной области.
- •2.2 Теория интегрирования Коши.
- •2.3 Формула Коши.
- •2.4 Следствия интегральной формулы Коши.
- •2.6 Ряды Лорана.
- •2.7 Изолированные особые точки аналитической функции.
- •2.8 Бесконечно удаленная особая точка.
- •2.11 Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке.
- •3.1 Интеграл Фурье
- •3.2 Преобразование Лапласа и формула обращения
- •3.3 Основные определения операционного исчисления
- •3.5 Основные теоремы операционного исчисления
- •3.6 Теоремы разложения
- •3.8 Изображение периодической функции
z1 лежит вне круга сходимости и ряд расходится. При z = z2 =1; z2 − z0 = 2i = 2 , т.е. точка лежит на границе круга сходимости. Подставив ее в исходный ряд, заключаем:
∞ |
|
|
2n |
∞ |
|
n |
∑(2in) |
|
=∑(−1) |
− ряд сходится условно по признаку Лейбница. |
|||
n=1 |
4 |
n |
n=1 |
n |
|
Если во всех граничных точках ряд сходится абсолютно или расходится по необходимому признаку, то это можно установить сразу для всей границы. Для этого следует подставить в ряд
из модулей слагаемых значение R вместо выражения z − z0 и исследовать полученный ряд.
∞ |
(z −1 + 2i)2n |
. |
|
Пример. Рассмотрим ряд из последнего примера, изменив один сомножитель: ∑ |
4 |
n |
|
n=1 |
|
|
Область сходимости ряда осталась прежней: z −(1−2i) <2. Подставим в ряд из модулей полученный радиус сходимости:
∞ |
2n |
∞ |
|
∑2 n |
=∑1− ряд расходится по необходимому признаку на всей границе. |
||
n=1 |
4 |
n=1 |
|
|
|
∞ |
∞ |
Если обозначить сумму ряда ∑cn (z − z0 )n |
через f(z), т.е. f(z) = ∑cn (z − z0 )n (естественно, в |
||
|
|
n=0 |
n=0 |
области сходимости), то этот ряд называют рядом Тейлора функции f(z) или разложением функции f(z) в ряд Тейлора. В частном случае, при z0 = 0, ряд называется рядом Маклорена функции f(z) .
1.7 Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим степенной ряд |
|
∑ |
z |
|
. |
Если z − действительная переменная, то он представляет |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
собой разложение функции |
ez |
в ряд Маклорена и, следовательно, удовлетворяет |
|
||||||||||||||||||||||||||
характеристическому свойству показательной функции: |
ϕ( |
α + β |
) = |
ϕ(α)ϕ(β) ϕ(t) = Cat |
, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
∞ |
|
β) |
n |
∞ |
|
n |
|
∞ |
|
n |
. Это и является основанием для определения экспоненциальной |
||||||||||||||||||
т.е. ∑(α +n |
= |
∑α |
|
∑β |
|
|
|||||||||||||||||||||||
n=0 |
2 |
n! |
|
n=0 |
n! |
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функции в комплексной области : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
def |
∞ |
|
z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 1. ez = |
∑ |
|
|
, z Κ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично определяются функции sin z и cos z : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
def |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
z |
2n+1 |
def |
∞ |
z |
2n |
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 2. |
sin z = |
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
, cos z = |
∑(−1)n |
|
|
|
; z Κ. |
|
|
||||||||||||||
|
(2n +1)! |
(2n)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
Все три ряда сходятся абсолютно и равномерно в любой ограниченной замкнутой области комплексной плоскости.
Из трех полученных формул простой подстановкой выводится формула Эйлера:
eiz = cos z + i sin z
Отсюда сразу получается показательная форма записи комплексных чисел: z = a +bi = r(cosϕ + i sinϕ) = r eiϕ = z earg z .
Формула Эйлера устанавливает связь между обычной и гиперболической тригонометрией.
Рассмотрим, например, функцию |
f (z) = cos z : cos z = |
1 |
(eiz + e−iz ) = chiz. Аналогично |
|
|
2 |
|
получаются остальные соотношения. Итак:
cos(i z) = ch z ; sin(i z) = i shz ; ch(i z) = cos z ; sh(i z) = i sin z.
Примеры. Представить указанные выражения в виде a + bi, где a,b .
- 6 -
1. sin(π |
− 2i) = |
1 |
cos(2i) |
−sin(2i) |
3 |
= 1 ch2 − i |
|
|
3 |
sh2. |
||||||
2 |
2 |
|
2 |
|||||||||||||
6 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
1 e |
iπ |
= e |
i2 π |
|
−π |
|
|
|
|
|
|
||||
2. i i = |
2 |
|
2 = e |
|
2 . (выражение в скобках представляет собой число i , записанное в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
показательной форме) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
( |
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. (−1) 2 |
= 1 eiπ |
|
= eiπ |
2 |
= cosπ 2 + i sinπ 2. |
|
|
|
||||||||
4. Найти линейно независимые решения линейного ДУ 2 – го порядка: y′′− 4 y′+13y = 0. |
||||||||||||||||
Корни характеристического уравнения равны: |
|
|
|
|||||||||||||
|
k |
|
= 2 ±3i y = e2 x (cos3x + i sin 3x), y |
2 |
= e2 x (cos3x − i sin 3x). |
|||||||||||
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Так как мы ищем действительные решения уравнения, то в качестве фундаментальной системы решений можно взять функции y1 = e2 x cos3x u y2 = e2 x sin 3x.
Определим, в заключение, логарифмическую функцию комплексной переменной. Как и в действительной области, будем считать ее обратной к показательной. Для простоты рассмотрим
только экспоненциальную функцию, т.е. решим уравнение z = ew относительно w , которую и
назовем логарифмической функцией. Для этого прологарифмируем уравнение, представив z в показательной форме:
w = ln z = ln( z ei arg z ) = ln z + i arg z.
Если вместо arg z написать Arg z (1.2), то получим бесконечнозначную функцию
Ln z = ln z + i Arg z = ln z + i(arg z +2πk),k = 0, ±1, ±2,….
1.8 Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана.
Пусть w = f (z) – однозначная функция, определенная в области |
G K . |
|||||
Определение 1. Производной от функции f (z) в точке z G |
называется предел отношения |
|||||
приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: |
||||||
|
dw |
|
′ |
f (z + z) − f (z) |
|
|
|
|
= f |
(z) = lim |
|
|
|
|
dz |
z |
|
|||
|
|
z→0 |
|
Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Очевидно, что выполняются все арифметические свойства производных.
Пример. f (z) = z |
2 |
|
′ |
(z + z)2 − z 2 |
|
|
; f |
(z) = lim |
|
= lim (2z + z) = 2z. |
|
|
z |
||||
|
|
|
z→0 |
z→0 |
С помощью формулы бинома Ньютона аналогично выводится, что (zn )′ = n zn−1 , n Ν.
Ряды для экспоненты, синуса и косинуса удовлетворяют всем условиям почленного дифференцирования. Непосредственной проверкой легко получить, что:
(ez )′ = ez , (sin z)′ = cos z , (cos z)′ = −sin z.
Замечание. Хотя определение производной ФКП формально полностью совпадает с определением для ФДП, но, по существу, является более сложным (см. замечание в п. 1.5). Определение 2. Функция f (z) , непрерывно дифференцируемая во всех точках области G, называется аналитической или регулярной в этой области.
Теорема 1. Если функция f (z) дифференцируема во всех точках области G, то она является аналитической в этой области. (б/д)
Замечание. Фактически, эта теорема устанавливает эквивалентность регулярности и дифференцируемости ФКП на области.
Теорема 2. Функция, дифференцируемая в некоторой области, имеет бесконечно много производных в этой области. (б/д. Ниже ( в п.2.4 ) это утверждение будет доказано при определенных дополнительных допущениях)
Представим функцию в виде суммы действительной и мнимой частей: f (z) = u(x, y) + iv( x, y).
Теорема 3. ( Условия Коши − Римана). Пусть функция f (z) дифференцируема в некоторой точке z D . Тогда функции u (x,y) и v (x,y) имеют в этой точке частные производные, причем
- 7 -
u′x = v′y и u′y = −v′x , называемые условиями Коши – Римана.
Доказательство. Так как значение производной не зависит от способа стремления величины z к нулю, выберем следующий путь: x → 0, y = 0 z = x + i 0 = x. Получаем:
′ |
f (z + z) − f (z) |
|
u(x + x, y) −u(x, y) |
|
|
v(x + x, y) −v(x, y) |
′ |
′ |
|
f (z) = lim |
|
|
= lim ( |
|
+ i |
|
|
= ux + i vy . |
|
z |
|
x |
x |
||||||
z→0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|||
Аналогично, при x = 0, |
y → 0 имеем: f ′(z) = v′y − i u′y , что и доказывает теорему. |
|
Верно и обратное утверждение:
Теорема 4. Если функции u (x,y) и v (x,y) производные, удовлетворяющие условиям дифференцируема в этой точке. (б/д)
имеют в некоторой точке непрерывные частные Коши – Римана, то сама функция f (z) –
Теоремы 1 – 4 показывают принципиальное отличие ФКП от ФДП.
Теорема 3 позволяет вычислять производную функции по любой из следующих формул: f ′(z) = u′x + i v′x = v′y − i u′y = u′x − i u′y = v′y + i v′x .
При этом можно считать |
х и у |
произвольными комплексными числами и вычислять |
|||||
производную по формулам: |
f ′(z) = u′x |
+ i v′x |
|
x=z |
=v′y −i u′y |
|
x=0 . |
|
|
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
y=0 |
|
|
y=z |
Примеры. Проверить функцию на регулярность. Если функция регулярна – вычислить ее производную.
1.f (z) = sin 3z = sin 3x ch3y + i cos 3x sh3y; u′x = v′y = 3cos 3x ch3y , u′y = −v′x = 3sin 3x sh3y функция регулярна; f ′(z) = 3cos 3x ch3y − 3i sin 3x sh3y.
2.f (z) = z + z = 2x; u′x = 2 ≠ v′y = 0 функция не дифференцируема.
Замечание. Нетрудно видеть, что любая действительная функция комплексного аргумента – не дифференцируема.
1.9 Гармонические функции.
Напомним определение гармонических функций, данное в курсе «Теории поля» : Определение. Функция u (x,y) называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению
Лапласа: u′′xx + u′′yy = 0, или |
u = 0. |
|
|
|
|
|
Пусть на области |
G |
задана аналитическая функция |
f (z) = u(x, y) + iv( x, y). Эта функция |
|||
удовлетворяет условиям Коши – Римана: u′x = v′y , u′y = −v′x |
(п. 1.8). Так как аналитическая |
|||||
функция бесконечно |
дифференцируема, то и функции |
u |
и |
v так же |
бесконечно |
|
дифференцируемы. |
Продифференцируем первое условие по |
x , |
второе по |
y и сложим |
полученные равенства:
u′′xx + u′′yy = v′′yx − v′′xy = 0, т.е. действительная часть аналитической функции – гармоническая. Если
условия продифференцировать по у , по х и вычесть, то легко убедиться в гармоничности мнимой части. Таким образом, доказана
Теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими: u′xx′ + u′′yy = 0 и v′′xx + v′′yy = 0.
Ясно, что две произвольные гармонические функции, вообще говоря, не будут действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции. Для этого они должны еще удовлетворять условиям Коши – Римана. Однако, по любой гармонической функции можно с точностью до константы определить вторую часть аналитической функции (т.е. саму аналитическую функцию).
Пример. Доказать, что u(x, y) = ch2x cos 2 y может быть действительной частью аналитической функции и определить эту функцию.
Решение. 1. u′′xx + u′′yy = 4ch2x cos 2 y − 4ch2x cos 2 y = 0 u( x, y) −гармоническая функция.
- 8 -