- •1 Функции комплексной переменной.
- •1.1 Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.
- •1.2 Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.
- •1.4 Множества комплексной плоскости.
- •1.5 Функции комплексной переменной.
- •1.6 Ряды в комплексной области.
- •1.7 Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера.
- •1.8 Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана.
- •1.9 Гармонические функции.
- •2 Интегральное исчисление функций комплексной переменной.
- •2.1 Интегралы в комплексной области.
- •2.2 Теория интегрирования Коши.
- •2.3 Формула Коши.
- •2.4 Следствия интегральной формулы Коши.
- •2.6 Ряды Лорана.
- •2.7 Изолированные особые точки аналитической функции.
- •2.8 Бесконечно удаленная особая точка.
- •2.11 Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке.
- •3.1 Интеграл Фурье
- •3.2 Преобразование Лапласа и формула обращения
- •3.3 Основные определения операционного исчисления
- •3.5 Основные теоремы операционного исчисления
- •3.6 Теоремы разложения
- •3.8 Изображение периодической функции
2. v′y = u′x = 2sh2x cos 2 y; v = 2sh2x∫cos 2 ydy = sh2x sin 2 y +C(x).
Из 2-го условия К – Р: |
|
|
|
|
′ |
′ |
C = const. |
|||||||||
2ch2x sin 2 y + C ( x) = 2ch2x sin 2 y |
C ( x) = 0 |
|||||||||||||||
f (z) = ch2x cos 2 y + i sh2x sin 2 y = ch(2x + 2iy) = ch2z. |
|
|
||||||||||||||
Вопросы для самопроверки. |
|
|
||||||||||||||
1. |
Являются ли следующие множества точек областями? |
|
|
|||||||||||||
1) 2 < |
|
z −3 |
|
< 4; 2) 0 < arg z <π / 3; 3) |
|
z |
|
<1∩ |
|
z |
|
≥ 3; 4) 0 < Im z ≤1; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной форме. |
|||||||||||||||
1) z = −3; 2) z = 2i; 3) z = 3 −4i; |
|
|
||||||||||||||
3. |
Доказать тождество: |
ch2 z −sh2 z =1. |
|
|
||||||||||||
4. |
Является ли функция |
f (z) = z Re z аналитической? |
|
|
||||||||||||
2 Интегральное исчисление функций комплексной переменной. |
||||||||||||||||
2.1 Интегралы в комплексной области. |
|
|
||||||||||||||
|
Пусть функция f (z) = u(x, y) + iv(x, y) непрерывна в области G , |
а L – гладкая кривая, |
лежащая в этой области, заданная уравнением z(t) = x(t) + iy(t) , α ≤ t ≤ β ; z(α) = A, z(β) = B.
Кривую будем считать ориентированной, если заданы начальная и конечная точки кривой. При этом, положительное направление задается изменением параметра t от меньшего значения к большему (т.е. А – начало кривой, В – конец ).
Напомним, что кривая называется гладкой, если у нее существует непрерывная касательная в
каждой точке, что эквивалентно наличию непрерывных производных |
′ |
′ |
x (t) |
u y (t), t [α, β], |
не равных нулю одновременно. Необходимо сделать замечание относительно ориентации замкнутых кривых, так как начальная и конечная точки в этом случае совпадают. Если замкнутый контур без самопересечений целиком лежит в некоторой области, то обход контура называют положительным при движении против часовой стрелки.
При этом контур обозначают Г+ или просто Г (по умолчанию). В противном случае ориентация контура называется отрицательной и обозначается Г− . Если же контур является границей области, то его обход называется положительным в том случае, когда область при
движении остается слева. |
Например, положительный обход области |
|
z −2 |
|
< 3 идет против |
|||
|
|
|||||||
часовой стрелки, а области |
|
z −2 |
|
> 3 − по часовой. По умолчанию, обход области по границе |
||||
|
|
всегда будем считать положительным.
Определение. Интегралом от функции комплексной переменной по кривой L называется:
I = ∫ f (z)dz = ∫(u + iv)(dx + idy) = ∫(udx −vdy) + i∫(vdx +udy) .
L L L L
Таким образом, интеграл от комплексной функции равен сумме двух криволинейных интегралов
второго рода (см. курс «Теория поля»), которые, в свою очередь, сводятся к вычислению двух
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|||
обыкновенных интегралов: I = ∫[u(x(t), y(t))x (t) −v(x(t), y(t)) y (t)]dt + |
||||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
β |
|
|
|
||
|
|
|
|
′ |
′ |
′ |
|
|
|
|
+ i∫[u(x(t), y(t)) y (t) + v(x(t), y(t))x (t)]dt |
= ∫ f (z(t))z (t)dt. |
|
|
|
||||||
|
α |
|
|
|
α |
|
|
|
||
Примеры. Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
||||||
|
∫ |
|
|
|
1 |
|
i |
|
||
1. |
zdz ; ( AB) : y = x2 ,0 ≤ x ≤1. Решение. I = ∫(x + 2x3 )dx + i x2dx =1 + |
. |
||||||||
|
||||||||||
|
( AB) |
|
|
|
0 |
3 |
||||
2. |
∫ |
1 |
dz и |
∫(z − z0 )n dz (n Ν) |
по окружности L |
радиуса R с центром в т. z0 . |
||||
z − z |
||||||||||
|
L |
0 |
|
L |
|
|
|
|
Решение. Запишем уравнение окружности в виде:
- 9 -
z − z0 |
= R ei t , 0 ≤ t < 2π (ясно, что |
|
z − z0 |
|
= R t, те. . L − окружность). Отсюда: |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
dz |
2π |
it |
2π |
|
|
|
|
|
|
||||
1) ∫ |
= ∫ |
R i eit dt |
= i ∫ dt = 2πi . |
|
|
|
|
|
|
|||||
z − z0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
L |
0 |
R e |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2π |
|
|
|
e |
i(n+1)t |
|
|
2π |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) ∫(z − z0 )n dz = ∫ Rn+1 i ei(n+1)tdt = i Rn+1 |
|
|
|
|
|
= 0. |
||||||||
i (n +1) |
||||||||||||||
L |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Значение интегралов во втором примере не зависят от радиуса окружности.
2.2 Теория интегрирования Коши.
Примеры предыдущего пункта во-первых показывают существенное отличие интегрирования в комплексной области от интегрирования в действительной и во-вторых легко обобщаются. Теорема Коши. Пусть f (z) − аналитическая функция в односвязной области D , а Г − любой
кусочно – гладкий замкнутый контур, принадлежащий этой области. Тогда интеграл от функции f (z) по контуру Г равен нулю: ∫ f (z)dz = 0.
Г
Доказательство. Так как f − аналитическая функция, то ее действительная и мнимая части удовлетворяют условиям Коши – Римана: u′x = v′y , u′y = −v′x , откуда сразу следует, что
подынтегральные выражения udx − vdy и vdx + udy (п.2.1) представляют собой полные дифференциалы (см. ФНП) и, следовательно, соответствующие криволинейные интегралы по замкнутому контуру (см. ТП) равны нулю ∫ f (z)dz = 0. (Пример 2.2 §10).
Г
Доказанная теорема легко обобщается на многосвязные области.
Теорема. Пусть функция f (z) – аналитическая в многосвязной области D , ограниченной ориентированным контуром Г. В этом случае ∫ f (z)dz = 0.
Г
Доказательство (для двусвязной области (Рис.2)):
Область D ограничена контуром Г = Г1 + Г2 , ориентированным
в положительном направлении. Соединим контуры Г1 и Г2 линией γ. Ориентируем |
|||||
способами: |
γ+ и γ− . В результате получим односвязную область, |
||||
ограниченную контуром Г1 +γ + + Г2 +γ −. По теореме Коши |
|
|
|||
∫ |
f (z)dz = 0. Так как ∫ fdz + ∫ fdz = 0, получаем: |
|
|||
|
|||||
Г1 +γ + +Г2 +γ − |
γ + |
γ − |
γ двумя
Г1
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ fdz = ∫ fdz + ∫ fdz = 0. В общем случае ∫ fdz = ∑∫ fdz = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Г |
Г1 |
Г2 |
Г |
k =1 Гk |
|
γ |
|
− Г2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
При этом, каждый из интегралов ∫ f (z)dz может быть и не равным |
|
|
|
γ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нулю. |
|
Гk |
|
|
|
Рис.2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Обозначим буквой Г |
кусочно – гладкий замкнутый контур, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ориентированный против часовой стрелки, а тот же контур, ориентированный по часовой стрелке − символом Г− (в этих обозначениях в последней теореме следовало бы писать Г1 и
Гk−, k >1 ).
Следствие. Пусть область D ограничена внешним контуром Г и внутренними контурами Г1, … , Гn . В последних обозначениях, для аналитической на D функции имеет место
n
равенство: ∫ fdz = ∑∫ fdz.
Гk =1 Гk
Доказательство. |
В указанных |
обозначениях утверждение теоремы |
имеет вид: |
||
|
n |
|
n |
n |
|
∫ fdz + ∑∫ fdz = 0. Отсюда: ∫ fdz = −∑∫ |
fdz = ∑∫ fdz. |
|
|||
Г |
k =1 Гk− |
Г |
k=1 Гk− |
k =1 Гk |
|
- 10 -
Замечание. Из полученных результатов следует, что примеры п.2.1 верны для любого кусочно –
непрерывного замкнутого контура Г, содержащего точку z0 : ∫ |
dz |
= 2πi и |
∫(z − z0 )n dz = 0. |
z − z |
|||
Г |
0 |
|
Г |
2.3 Формула Коши. |
|
|
|
Пусть функция f (z) является аналитической в односвязной области G, а |
z0 – произвольная |
||
внутренняя точка этой области. Построим замкнутый контур |
Г G и содержащий эту точку. |
G
D
|
|
Рис.3 |
|
∫ |
f (z) |
dz = i 2∫π |
|
z − z0 |
|||
γ |
0 |
Г |
Рассмотрим вспомогательную функцию |
ϕ(z) = |
f (z) |
. Эта |
|
||||
|
|
z − z0 |
функция регулярна во всех точках области D ограниченной контуром Г, за исключением т. z0. Проведем окружность γ с
γцентром
в т. z0 радиуса ρ, целиком принадлежащую области D. Если оба
ρ.z0 контура ориентировать против часовой стрелки, то будет иметь
|
место равенство: ∫ |
f (z) |
dz = ∫ |
f (z) |
dz (п.2.2). Так как левая |
|
|
|
|
||||
|
Г |
z − z0 |
γ |
z − z0 |
||
|
часть равенства не зависит от |
ρ, то и правая от ρ не зависит. На |
||||
|
контуре γ z = z0 + ρeit и интеграл в правой части будет равен: |
|||||
2π |
2π |
|
2π |
|
|
|
f (z)dt =i ∫ |
[ f (z) − f (z0 )]dt + i ∫ f (z0 )dt = i ∫[ f (z) − f (z0 )]dt + 2πif (z0 ). |
|||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
Подынтегральная функция в последнем интеграле стремится к нулю при ρ →0 , а сам интеграл
от ρ не зависит. Отсюда сразу следует, что этот интеграл равен нулю (если предел постоянной
– ноль , то постоянная равна нулю). Окончательно получаем формулу Коши:
|
f (z) |
dz = 2πi f (z0 ) |
(2.1) |
|
|
||
∫Г z − z0 |
|
Формулу Коши можно написать для произвольной точки z0 G , не принадлежащей контуру Г:
1 |
∫Г |
f (z) |
dz = |
f (z0 ), z0 − внутри Г |
|
|
0 , z0 − вне Г |
||
2πi |
z − z0 |
(равенство нулю сразу следует из теоремы Коши (п.2.2)).
Выражение, стоящее в левой части последней формулы, называют интегралом Коши.
2.4 Следствия интегральной формулы Коши.
Рассмотрим односвязную область G , ограниченную замкнутым контуром Г. Пусть задана функция ϕ(z,ζ ) , z G,ζ Г , удовлетворяющая следующим условиям:
1. ϕ(z,ζ ) для ζ Г является аналитической функцией переменной z в области G.
2. Функции ϕ(z,ζ ) и ∂ϕ(z,ζ ) непрерывны по совокупности переменных z и ζ z G ,ζ Г .
∂z
В этом случае существует функция F(z) = ∫ϕ(z,ζ ) dζ как интеграл, зависящий от параметра z,
Г
определенная для z G .
Можно доказать, что при указанных предположениях F(z) является аналитической функцией комплексной переменной z во всей области G , причем производную этой функции можно вычислять под знаком интеграла.
- 11 -
Рассмотрим теперь произвольную замкнутую подобласть |
|
G , |
расстояние от всех точек |
|||||||||||
D |
||||||||||||||
которой до границы Г |
|
больше некоторого положительного числа |
d : |
|
z −ζ |
|
≥d. Функция |
|||||||
|
|
|||||||||||||
ϕ(z,ζ ) = |
f (ζ ) |
, где f (z) |
− функция, аналитическая в области G , удовлетворяет условиям (1) |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
ζ − z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (2) z G . В свою очередь, функция f(z) во всех точках области D представляется |
||||||||||||||
интегралом Коши: f (z) = |
1 |
∫ |
f (ζ ) |
dζ (формула (2.1)). Пользуясь предыдущим утверждением, |
||||||||||
|
2πi |
|
||||||||||||
|
|
|
|
Г |
ζ − z |
|
|
|
|
|
вычислим ее производную с помощью дифференцирования под знаком интеграла:
′ |
1 |
∫Г |
f (ζ ) |
|
f (z) = |
|
|
dζ . |
|
2πi |
(ζ − z)2 |
Повторяя данные рассуждения, окончательно получим:
Аналитическая в области G функция бесконечно дифференцируема в этой области, а ее производные удовлетворяют соотношению:
f |
(n) |
(z) = |
n! |
∫Г |
f (ζ ) |
dζ или |
∫Г |
f (z) |
dz = |
2πi |
f |
(n) |
(z0 ) . |
|
2πi |
(ζ − z)n+1 |
(z − z0 )n+1 |
n! |
|
Полученные формулы часто используются при вычислении интегралов.
Пример. Вычислить интегралы: ∫ |
sin z dz и |
|
∫ |
shz |
|
dz . |
|||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z−1 |
|
=2 |
z + i |
|
z+1 |
|
=3 |
(z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
1. Точка |
z = − i лежит внутри данной окружности, а функция f (z) = sin z , поэтому |
|||||||||||||||||||||||
|
∫ |
sin z dz = |
2πi sin(−i) = 2πsh1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z−1 |
|
=2 |
z + i |
shz |
|
|
2πi (shz)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
|
∫ |
|
|
dz = |
|
z=1 = 2πich1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
z+1 |
|
=3 (z −1) |
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно вычислять интегралы и в том случае, когда подынтегральная функция имеет несколько указанных особенностей в точках, лежащих внутри контура интегрирования, используя следствие теоремы Коши (§11). При этом необходимо учитывать, что регулярные части функции будут отличаться друг от друга в каждой особой точке.
Пример. ∫ |
shz |
dz = ∫ |
shzdz |
+ ∫ |
shzdz |
|
shz |
|
|
|
shz |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 2πi |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 2πi sin1. |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
z+1 |
|
=3 |
z |
|
+1 |
γ1 |
(z − i)(z + i) |
γ2 |
(z − i)(z + i) |
z + i |
|
z=i |
|
z − i |
|
z=−i |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.5Ряды Тейлора и Маклорена.
Вп.1.6 были введены понятия рядов Тейлора и Маклорена функции f(z). Рассмотрим теперь более подробно свойства этих рядов. Для определенности, будем рассматривать только ряды
Тейлора. Итак, пусть функция f(z) равна сумме некоторого степенного ряда в области его
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сходимости: |
f (z) = ∑cn (z − z0 )n , |
|
z − z0 |
|
< R. |
Так |
как |
степенной |
ряд равномерно сходится в |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
D (D − область сходимости) , то f(z) |
является непрерывной , |
|||||||||||||||
любом замкнутом круге K |
||||||||||||||||||||
бесконечно |
дифференцируемой |
|
|
функцией |
( |
как |
сумма |
непрерывных и |
бесконечно |
|||||||||||
дифференцируемых функций). Отсюда сразу следует, |
что f(z) − |
аналитическая функция в |
||||||||||||||||||
|
|
. Имеет место и обратное утверждение: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
указанной области K |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема Тейлора. Функция |
f(z) , аналитическая |
внутри |
круга |
|
z − z0 |
|
<R , |
может быть |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
||
однозначно представлена в этом круге сходящимся степенным рядом |
f (z) = ∑cn (z − z0 )n . |
n=0
- 12 -