- •Введение
- •1. Понятие оригинала
- •2. Изображение по лапласу
- •3. Изображения простейших элементарных функций
- •4.Свойства преобразования лапласа
- •2С) Теорема подобия
- •3C) Теорема затухания (Теорема смещения)
- •5C) Теорема опережения.
- •10С) Интегрирование изображений.
- •11С) Теорема умножения изображений (теорема Бореля)
- •12С) Умножение оригиналов.
- •5.Примеры нахождения изображений с помощью таблиц 1 и 2
- •6. Импульсные функции и их изображения
- •7.Формула обращения преобразования лапласа
- •1)Тождественные преобразования и применение таблиц 1 и 2.
- •2) Вычисление оригиналов с помощью вычетов.
- •8.Применение преобразования лапласа для решения уравнений и систем
- •8.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.2 Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля.
- •8.3 Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
- •8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.
- •8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
- •8.7 Линейные интегро-дифференциальные уравнения.
- •9.Решение диференциальных уравнений в частных производных и задач математической физики
- •10. Применение операторных методов для анализа линейных систем
- •11. Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование лорана
- •1) Решетчатые функции.
- •2) Конечные разности решетчатых функций.
- •3) Суммирование решетчатых функций.
- •4) Определение дискретного преобразования Лапласа.
- •5) Формула обращения.
- •1С) Теорема линейности.
- •Библиографический список
- •Оглавление
8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла.
Например, (8.10)
-это линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
Здесь y(x) – неизвестная функция,
f(x) и r(x,t) – заданные функции.
Функцию r(x,t) называют ядром уравнения (8.10),
a и b=const.
Изменим (8.10) следующим образом.
(8.11)
Получим линейное интегральное уравнение Вольтерра 2го рода.
Если в (8.10) и (8.11) , то уравнения будут называться однородными.
Если искомая функция y(x) входит только под знак интеграла, то (8.10) и (8.11) преобразуются в уравнения Фредгольма и Вольтерра 1го рода.
или .
Совершенно очевидно, что большую роль в решении будет играть ядро уравнения, т.е. функция r(x,t). Важный класс уравнений Вольтерра получается, если ядро r(x,t) зависит только от разности
r(x,t)=r(x-t).
Уравнение в этом случае имеет вид.
(8.12)
Его еще называют уравнением типа свертки.
Пусть входящие в уравнение (8.12) функции удовлетворяют условиям оригинала, тогда может быть найдено изображение функций по Лапласу
Пользуясь формулой свертки, получим операторное уравнение
.
Откуда
.
Для Ф(р) находим - решение интегрального уравнения (8.12).
Пример. Решить интегральное уравнение
.
Решение:
Так же решаются и системы интегральных уравнений.
Пример. Решить систему интегральных уравнений
в области изображений получим:
преобразовав, будем иметь:
или,
решим методом Крамера:
8.7 Линейные интегро-дифференциальные уравнения.
Линейными интегро-дифференциальным уравнением называется уравнение вида:
,
где - известные функции,
- неизвестная функция.
При решении таких уравнений ставятся начальные условия:
Если все , то не нарушая общности можно получить, кроме того, будем рассматривать ядра типаи тогда
.
Если, все входящие в последнее уравнение известные функции являются оригиналами, то и искомая функция является оригиналом и можно применить операторный метод решения.
Пример: Решить уравнение
,
при начальных условиях: .
Решение:
9.Решение диференциальных уравнений в частных производных и задач математической физики
Методы операционного исчисления, основанные на идее использования преобразования Лапласа являются наиболее эффективным при решении основных задач для дифференциальных уравнений в частных производных.
Неизвестная функция , удовлетворяющая дифференциальному уравнению в частных производных и заданным условиям, может быть определена с помощью однократного либо двукратного преобразования Лапласа.
В первом случае преобразование Лапласа применяют к дифференциальному уравнению в частных производных по одной из двух независимых переменных в предположении, что другая остается неизменной. Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно изображения искомой функции интегрируется не операционным методом, а классическим. Возвращаясь от полученного изображения к оригиналу, находим решение поставленной задачи.
Во втором случае к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно изображения искомой функции опять применяют преобразование Лапласа, но по другой независимой переменной. В результате получают алгебраическое уравнение, из которого находят «двукратное» изображение искомой функции. С помощью двух обратных преобразований Лапласа восстанавливается искомая функция
Решение дифференциального уравнения, найденное с помощью двукратного преобразования Лапласа, не зависит от того, в какой последовательности применялись прямые и обратные преобразования.
Удачно выбранный порядок в двукратном преобразовании может значительно облегчить решение задачи.
Операционный метод удобнее применять при решении задач математической физики, если:
начальные условия нулевые;
существуют изображения для всех функций, входящих в уравнение;
изображение искомого решения удовлетворяет следующим условиям:
Пример 1
Найти решение уравнения , если
Применим преобразование Лапласа по переменной , тогда
Заданное уравнение примет вид:
и решим методом Бернулли.
Согласно этому методу,
Осуществляя данную подстановку в уравнение, получим
или
Решая первое уравнение системы, получим
или
Подставим найденную функцию W во второе уравнение, будем иметь:
Откуда
Тогда
Так как
- изображение по Лапласу, то и тогда принимаемС=0, то есть
Возвращаясь к оригиналу, получим
Пример 2.
Найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям,
Сначала применим преобразование Лапласа по переменной , получим
Условие примет вид
Применим преобразование Лапласа еще раз, но уже по переменной , получим
Это алгебраическое уравнение относительно «двукратного» изображения -
Решим его:
Возвращаясь к оригиналу по p, получаем:
Возвращаясь к оригиналу по q, получаем:
Пример 3.
Найти формулу колеблющейся струны, закрепленной на концах, если начальные скорости ее точек равны нулю, а начальные отклонения заданы соотношением
Подстановка задачи: найти решение уравнения ,, неравное тождественно нулю, удовлетворяющее граничным условиям:
Будем решать эту задачу методом Лапласа. Применим преобразование Лапласа по переменной t, предварительно переписав уравнение в виде
Будем иметь
Граничные условия при этом примут вид:
Относительно изображения искомого решения – функции получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, неоднородное, с правой частью специального вида. Его решение
где - общее решение однородного уравнения
Составим и решим характеристическое уравнение
Тогда общее решение однородного уравнения примет вид
- частное решение неоднородного уравнения. Его вид с точностью до неопределенных коэффициентов будет
Для нахождения B и C вычислим:
и подставим в уравнение:
Отсюда имеем:
Тогда
Для нахождения С1 и С2 удовлетворим граничным условиям:
Очевидно, что С1= С2=0.
Таким образом, имеем
Возвращаясь к оригиналу, получим:
Пример 4.
Найти решение уравнения теплопроводности , удовлетворяющие начальному условию, гдеи граничным условиями.
Применяя к уравнению теплопроводности преобразование Лапласа по переменной t, получим:
Граничные условия при этом примут вид:
Перепишем полученное обыкновенное дифференциальное уравнение в виде:
Его общее решение:
где - общее решение однородного уравнения
Составим и решим характеристическое уравнение:
Тогда
Второе слагаемое есть частное решение неоднородного уравнения.
Оно имеет вид .
Тогда
Подставляя в уравнение, находим:
Отсюда
Тогда
Удовлетворим граничным условиям:
При этом
Возвращаясь к оригиналу, получим:
или