![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •1. Понятие оригинала
- •2. Изображение по лапласу
- •3. Изображения простейших элементарных функций
- •4.Свойства преобразования лапласа
- •2С) Теорема подобия
- •3C) Теорема затухания (Теорема смещения)
- •5C) Теорема опережения.
- •10С) Интегрирование изображений.
- •11С) Теорема умножения изображений (теорема Бореля)
- •12С) Умножение оригиналов.
- •5.Примеры нахождения изображений с помощью таблиц 1 и 2
- •6. Импульсные функции и их изображения
- •7.Формула обращения преобразования лапласа
- •1)Тождественные преобразования и применение таблиц 1 и 2.
- •2) Вычисление оригиналов с помощью вычетов.
- •8.Применение преобразования лапласа для решения уравнений и систем
- •8.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.2 Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля.
- •8.3 Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
- •8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.
- •8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
- •8.7 Линейные интегро-дифференциальные уравнения.
- •9.Решение диференциальных уравнений в частных производных и задач математической физики
- •10. Применение операторных методов для анализа линейных систем
- •11. Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование лорана
- •1) Решетчатые функции.
- •2) Конечные разности решетчатых функций.
- •3) Суммирование решетчатых функций.
- •4) Определение дискретного преобразования Лапласа.
- •5) Формула обращения.
- •1С) Теорема линейности.
- •Библиографический список
- •Оглавление
4) Определение дискретного преобразования Лапласа.
Дискретное преобразование Лапласа определяется формулой
(11.12)
где
- комплексная переменная,
называется
изображением,
-
решетчатая функция.
Дискретное
преобразование Лапласа также называют
D
- преобразованием и обозначают
,
т.е.
.
Наряду с D – преобразованием применяется так называемое Z – преобразование.
Z – преобразование определяется формулой (1) в которую вводится новая переменная
.
(11.13)
Z – преобразование обозначают так:
.
Если
известно изображение
некоторой решетчатой функции, то
соответствующее изображение
может быть найдено с помощью замены
комплексной переменнойq
по формуле
,
тогда
.
Аналогично
можно определить изображение
по заданной функции
.
Т.о. принципиальной разницы между D – преобразованием и Z – преобразованием не существует. Все основные свойства Z – преобразования могут быть получены из соответствующих свойств D – преобразования.
В
выражении (11.12) справа стоит ряд, который
сходится абсолютно в каждой точке
полуплоскости
,
сходится равномерно в каждой полуплоскости
и
расходится
в полуплоскости
(рис.11.2).
Величина
называетсяабсциссой
абсолютной сходимости D
– преобразования (11.12).
Т.о.
область сходимости D
– преобразования есть полуплоскость,
расположенная справа от прямой
(рис.11.2).
Если
в частности
,
то ряд (11.12) сходится всюду, если же
,
тоD
– преобразования не существует.
Так
же можно сказать, что функция
является аналитической в полуплоскости
.
По
аналогии с непрерывным преобразованием
Лапласа, будем называть оригиналом
решетчатую функцию
,
которая равна нулю приn<0
и удовлетворяет
при
условию
где
М>0
и
некоторые постоянные величины. Величина
называется показателем роста решетчатой
функции
.
Теорема.
Для всякого оригинала
изображение
определено в полуплоскости
и является в этой полуплоскости
аналитической функцией.
Непосредственно
из определения D
– преобразования по формуле (1) следует,
что функция
является периодической вдоль мнимой
оси плоскостиq
с периодом
.
Действительно,
где r – любое целое число.
Поэтому
достаточно изучить свойства функции
в любой полосе шириной
.
Наиболее удобна для этой цели полоса
.
(рис.11.3).
Эту полосу удобно называть основной полосой.
5) Формула обращения.
Преобразование
обратное по отношению к дискретному
преобразованию Лапласа определяет
решетчатую функцию
по заданному изображению
и определяется формулой
(11.14)
где
С >.
Вычисление
оригиналов
можно производить и по формуле обращенияZ
– преобразования, которая может быть
получена из формулы (11.14) путем замены
переменной
.
(11.15)
Интегрирование
производится по окружности С
радиуса
,
где С>
в положительном направлении. Функция,
стоящая под интегралом
- аналитическая вне окружностиС
и на самой окружности. Применяя теорему
о вычетах получим:
,
(11.16)
где
- полюс функции
,
лежащий внутри окружностиС.
Иногда оказывается более удобным определять вычеты, не переходя к Z – преобразованию. Тогда формула (11.16) принимает вид
(11.17)
Пример.
Найти
оригинал
,
соответствующий изображению
.
Решение. Выполним замену переменной
,
,
где
.
Образуем функцию
.
Находим
вычет в точке
- это двукратный полюс
Таким образом,
.
Свойства дискретного преобразования Лапласа.
Дискретное
преобразование Лапласа устанавливает
соответствие между решетчатыми функциями
– оригиналами
и их изображениями
.
Различным операциям, совершаемыми над
решетчатыми функциями, соответствуют
при этом определенные операции,
совершаемые над их изображениями.