![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •1. Понятие оригинала
- •2. Изображение по лапласу
- •3. Изображения простейших элементарных функций
- •4.Свойства преобразования лапласа
- •2С) Теорема подобия
- •3C) Теорема затухания (Теорема смещения)
- •5C) Теорема опережения.
- •10С) Интегрирование изображений.
- •11С) Теорема умножения изображений (теорема Бореля)
- •12С) Умножение оригиналов.
- •5.Примеры нахождения изображений с помощью таблиц 1 и 2
- •6. Импульсные функции и их изображения
- •7.Формула обращения преобразования лапласа
- •1)Тождественные преобразования и применение таблиц 1 и 2.
- •2) Вычисление оригиналов с помощью вычетов.
- •8.Применение преобразования лапласа для решения уравнений и систем
- •8.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.2 Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля.
- •8.3 Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
- •8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.
- •8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
- •8.7 Линейные интегро-дифференциальные уравнения.
- •9.Решение диференциальных уравнений в частных производных и задач математической физики
- •10. Применение операторных методов для анализа линейных систем
- •11. Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование лорана
- •1) Решетчатые функции.
- •2) Конечные разности решетчатых функций.
- •3) Суммирование решетчатых функций.
- •4) Определение дискретного преобразования Лапласа.
- •5) Формула обращения.
- •1С) Теорема линейности.
- •Библиографический список
- •Оглавление
11. Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование лорана
1) Решетчатые функции.
Наряду
с функциями, определенным на всей
вещественной прямойt,
можно рассматривать функции, которые
определены только в некоторых точках
t1,
t2,…
Такие функции называют решетчатыми.
Мы будем рассматривать функции,
определенные только в равноотстоящих
точках t=nT,
где n
– любое
целое число, Т
– постоянная, называемая периодом
дискретности.(рис.11.1).
Эти функции принято обозначать f(nT).
Соответствующим
подбором масштаба нетрудно положить
Т=1
и рассматривать решетчатую функцию
f(n),
зависящую от целочисленного аргумента
.
Для решетчатых функций вводятся понятия конечных разностей и сумм, которые в некотором смысле соответствуют понятиям производной и интеграла для обычных функций.
2) Конечные разности решетчатых функций.
Выражение
(11.1)
называется конечной разностью первого порядка решетчатой функции, или просто первой разностью.
Ясно,
что
- представляет собой решетчатую функцию,
для которой может быть вычислена конечная
разность. Т.о. первая разность от
решетчатой функции
называется разностью второго порядка
решетчатой функции
,
или просто второй разностью
(11.2)
Разность
к – го порядка решетчатой функции
определяется формулой
(11.3)
Разность
любого порядка можно выразить через
значения решетчатой функции
.
(11.4)
Аналогично для третьей разности:
(11.5)
Для разности произвольного порядка к справедлива формула
(11.6)
где
.
так называемые биноминальные коэффициенты,
такие что:
.
Пример.
Формулы
(11.1)-(11.6) позволяют выразить саму решетчатую
функцию
через её разности различных порядков.
Из (11.1)
(11.7)
Из (11.2)
откуда
. (11.8)
Используя равенство (11.3) при к=3 и равенства (11.4), (11.7), (11.8) получим
(11.9)
Продолжая вычисления можно получить общую формулу
,
(11.10)
при n=0
(11.11)
Формулы (11.10) и (11.11) выражают значения решетчатой функции через её конечные разности до порядка l включительно. Эти формулы являются дискретным аналогом разложения непрерывных функций в ряд Тейлора.
Примеры.
1).,
.
2)..
3).
4).
Отметим, что операция взятия конечных разностей является линейной операцией, что следует из определения конечной разности
.
Используя выражение (11.1), можно вывести формулу для вычисления разности произведений 2-х функций
.
3) Суммирование решетчатых функций.
Рассмотрим
теперь операцию, которая является
обратной по отношению к операции взятия
конечной разности. Пусть решетчатая
функцияопределена при положительных значениях
аргументаn=0,1,2…
Требуется найти такую решетчатую функцию
F(n),
для которой функция
является первой разностью.
Эта задача аналогична задаче о нахождении первообразной в анализе обычных функций.
Искомая функция имеет вид
.
Действительно,
Функцию
F(n)
называют первообразной
для решетчатой
функции
.
Если
F(n)
является первообразной для
,
то и функцияF(n)+С
так же является первообразной для
.
Если
решетчатая функция
определена при всех целочисленных
значениях аргумента
,
то для определения первообразной
необходимо дополнительно потребовать,
чтобы при каждом конечномn
сходился ряд
.
При этом условии первообразная определяется выражением
.
И
общий вид первообразной для данной
решетчатой функции
определяется формулой
.
Значение постоянной С можно выразить через значение первообразной при некотором фиксированном значении аргумента n=N.
.
Откуда,
.
для любого n>N.
Эта формула является аналогом формулы Ньютона – Лейбница, а выражение стоящее справа иногда называют определенной суммой.
Эту формулу можно преобразовать:
Учитывая,
что
можно записать и так.
,
а
при N=0 получим
.
Пример.
Для
найти сумму F(n).
по формуле суммы членов геометрической прогрессии.