![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •1. Понятие оригинала
- •2. Изображение по лапласу
- •3. Изображения простейших элементарных функций
- •4.Свойства преобразования лапласа
- •2С) Теорема подобия
- •3C) Теорема затухания (Теорема смещения)
- •5C) Теорема опережения.
- •10С) Интегрирование изображений.
- •11С) Теорема умножения изображений (теорема Бореля)
- •12С) Умножение оригиналов.
- •5.Примеры нахождения изображений с помощью таблиц 1 и 2
- •6. Импульсные функции и их изображения
- •7.Формула обращения преобразования лапласа
- •1)Тождественные преобразования и применение таблиц 1 и 2.
- •2) Вычисление оригиналов с помощью вычетов.
- •8.Применение преобразования лапласа для решения уравнений и систем
- •8.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.2 Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля.
- •8.3 Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
- •8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.
- •8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
- •8.7 Линейные интегро-дифференциальные уравнения.
- •9.Решение диференциальных уравнений в частных производных и задач математической физики
- •10. Применение операторных методов для анализа линейных систем
- •11. Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование лорана
- •1) Решетчатые функции.
- •2) Конечные разности решетчатых функций.
- •3) Суммирование решетчатых функций.
- •4) Определение дискретного преобразования Лапласа.
- •5) Формула обращения.
- •1С) Теорема линейности.
- •Библиографический список
- •Оглавление
1С) Теорема линейности.
Линейность D – преобразования.
2с) Смещение в области оригиналов.
Если
,
то
и
.
3с) Теорема затухания.
Смещение в области изображений.
Если
,
то
.
Эти свойства доказываются непосредственным применением формулы D – преобразования.
4с) Теорема о разности решетчатой функции.
Изображение конечных разностей.
Если
,
то
Доказательство:
ч.т.д.
Если
функция
допускаетD
– преобразование, то её разность
произвольного порядка к также допускает
D
– преобразование, поскольку разность
представима в виде линейной комбинированной
решетчатой функции
,
.
Многократно применяя предыдущую формулу нетрудно получить
,…
.
Последняя формула значительно упрощается, если решетчатая функция обращается в ноль при n=0,1,…, к-1:
.
5с) Теорема о сумме решетчатой функции.
Изображение конечной суммы.
Если
,
то
.
Пусть
,
т.к.
,
то применяя теорему о разности
т.о.
.
6с) Дифференцирование изображений.
Если
,
то
Доказать можно дифференцированием ряда выражающего D – преобразование.
,
7с) Интегрирование изображений.
Если
и
,
то существует интеграл от изображения
,
определяемый равенством
.
8с) Умножение изображений.
Определим
свертку решетчатых функций
и
как решетчатую функцию, определяемую
формулой
Если
,
то
.
Произведению изображений соответствует свертка оригиналов.
9с) Умножение оригиналов.
Если
и
,
то
.
Произведению оригиналов соответствует свертка изображений.
10с) Предельные значения изображений и оригиналов.
а)
Если
и изображение первой разности является
аналитической функцией в правой
полуплоскости и на мнимой оси, то
справедливо равенство
.
б)
Если
,
то начальное значение
определяется по формуле
.
Обращаем внимание, что подобные свойства рассмотрены и для непрерывного преобразования Лапласа.
12. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Всякое
соотношение, связывающее решетчатую
функцию
и её разности до некоторого порядка к
(12.1)
называется разностным уравнением.
Используя формулу, выражающую разности различных порядков через значения решетчатой функции
можно соотношение (12.1)преобразовать к виду
(12.2)
Если
(12.2) содержит в явном виде функции
и
,
то исходное разностное уравнение (12.1)
называют уравнением порядка к.
При
переходе от разностей решетчатых функций
к самим решетчатым функциям могут
взаимно уничтожаться как функции
,
так и функции
.
И в результате порядок разностного
уравнения может отличаться от порядка
старшей разности.
Например.
Дано уравнение
.
Используя выражение для разностей, имеем
Подставляем в уравнение, после приведения подобных членов получим.
.
Введем новую переменную m=n+1. Получим
.
Т.о. исходное уравнение является уравнением второго порядка, несмотря на то, что оно содержит разность третьего порядка.
Решетчатая
функция
,
которая обращает уравнение в тождество,
называется решением разностного
уравнения.
Мы ограничимся рассмотрением лишь линейных разностных уравнений к – го порядка с постоянными коэффициентами
(12.3)
Если
,
то уравнение называется однородным.
Пусть
заданы значения
- начальные значения. Применяя к обеим
частям уравнения (12.3) дискретное
преобразование Лапласа и пользуясь
свойством 2 – смещение в области
оригиналов (теорема опережения), получим
уравнение относительно
- изображения искомой функции
.
Решаем это алгебраическое уравнение
относительно
.
Далее, пользуясь таблицами или формулами
обратного преобразования, получим
.
Если начальные значения не заданы, то, считая их произвольными постоянными получим общее решение уравнения (12.3).
Если исходное линейное разностное уравнение записано в виде
(12.4)
то метод его решения остается тем же. Но для перехода от оригинала к изображению в левой части уравнения следует воспользоваться свойством 4 – изображением конечных разностей. При этом должны быть заданы начальные значения
Если эти значения не заданы, то, считая их произвольными постоянными, получим общее решение.
Указанный метод применяется и при решении систем разностных уравнений.
Пример 1.
Найти решение уравнения
при начальных условиях
.
Решение:
Пусть
Подставляем в уравнение
.
Откуда
находим
.
.
Удобно
произвести замену
.
тогда
оригинал:
В таблице 3 приведены наиболее часто встречающиеся в примерах соответствия при D-преобразовании и Z - преобразовании.
Пример 2.
Найти
решение уравнения
при
начальных условиях
,
.
Решение. Здесь уравнение дано в форме разности. Применяем Z – преобразование к обеим частям уравнения:
Откуда,
Таблица 3
№ |
|
|
|
1. |
1 |
|
|
2. |
|
|
|
3. |
|
|
|
4. |
|
|
|
5. |
|
|
|
6. |
Линейность
|
|
|
7. |
Опережение
|
|
|
8. |
Запаздывание
|
|
|
9. |
Дифференцирование изображения
|
|
|
Решая
это уравнение относительно
,
получим:
.
Возвращаемся к оригиналу:
Пример 3. Найти решение уравнения x(n+2)+4x(n+1)+3x(n)=1, при начальных условиях x(0)=1, x(1)=1.
Решение.
Применяем Z – преобразование к обеим частям уравнения:
откуда
получаем:
Возвращаясь к оригиналу, получим: