8.Применение преобразования лапласа для решения уравнений и систем
Мы установили соответствия между функциями и операциями в пространствах оригинала и изображения и убедились, что многие сложные операции анализа в пространстве оригиналов превращаются в простые алгебраические операции в пространстве изображений.
Вместо
дифференцирования – умножение на
,
вместо интегрирования – деление на
.
Таким образом вместо дифференциального
уравнения имеем алгебраическое уравнение,
решив которое, получим изображение
решения. Так же и для других задач.
Полученное изображение необходимо
отобразить в пространстве оригиналов,
чтобы получить ответ в приемлемой форме.
Вообще, под операционным исчислением понимают методы решения задач, основанные на следующих этапах:
от искомых и заданных функций переходят к их изображениям.
над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.
от найденных изображений решений переходят к оригиналам.
8.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Возьмем неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка
(8.1)
и найдем его частное решение при начальных условиях
Считаем исходную функцию x(t) и правую часть f(t) оригиналами и переходим от уравнения (8.1) связывающего оригиналы к уравнению, связывающему изображения X(p) и F(p).
Изображение уравнения (8.1) будет:
.
Мы получили уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно X(p).
.
Откуда получим операторное решение д.у.
.
Найдено изображение искомого решения. Теперь по таблицам или формулам обращения найдем x(t).
Если начальные условия нулевые, то операторное решение будет иметь простой вид:
Пример. Найти решение уравнения
при нулевых начальных условиях.
Решение:
x(t)=X(p):
.
1)
2)
3)
Тогда
Изложенный метод применим к решению линейного дифференциального уравнения любого порядка.
Пример.
Решение.
Составим операторное уравнение.
.
Здесь полюса 3х кратные комплексно – сопряженные. Поэтому найдем только вычет в точке i.
Взяв, удвоенную действительную часть полученного выражения, находим
Покажем, как следует поступать, если начальные условия заданы не в нулевой точке.
Пример.
Решить уравнение
,
при начальных условиях
х(1)=1 х/(1)=0.
Решение:
введем новую переменную
,
положив t=
+1,
тогда при
.
x(t)=x(
+1)=
.
Теперь уравнение и начальные условия перепишутся в виде:
Пусть
=Х(р).
В некоторых случаях правая часть задается в виде комбинации различных аналитических выражений взятых на различных интервалах, или даже графически. Если эта функция является оригиналом, то можно применить операторный метод решения.
Пример. Решить задачу Коши.
если f(t) задана графически (рис.8.1).
Решение:
Запишем
в аналитическом виде с помощью функции
:
Применяя теорему запаздывания, получим
.
Пусть x(t)=X(p), получим операторное уравнение.
.
Откуда,
Так
как
.
Применяя теперь теорему запаздывания, получим
или
.
8.2 Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля.
.
Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка.
(8.2)
при нулевых начальных условиях.
(8.3)
Пусть нам известно решение уравнения
L(x) = 1, (8.4)
при тех же начальных условиях (8.3).
Это
решение
Операторное уравнение (8.4) будет иметь вид:
(8.5)
Откуда,
(8.6)
Операторное уравнение (8.2).
X(p)L(p)=F(p). (8.7)
Откуда
или с учетом (8.6)
(8.8)
Теперь в силу интеграла Дюамеля, получим
.
А так как начальные условия нулевые
где
- решение уравнения с единичной правой
частью. Т.о. зная решение для единичной
правой части, при помощи интегрирования
найдем решение для любой правой части.
Пример. Найти частное решение уравнения
при нулевых начальных условиях.
Решение:
Здесь правая часть не является оригиналом
,
не удовлетворяет третьему условию
оригинала.
Рассмотрим уравнение:
.
Операторное уравнение имеет вид:
таким
образом
- это решение уравнения при единичной
правой части.
Тогда
.
Выразить полученный интеграл с помощью элементарных функций не удается и обычно ищется приближенное решение.