5. Майбутня та теперішня вартість постійної фінансової ренти

Проста постійна фінансова рента полягає в тому, що при формуванні(функціонуванні) фонду фінансових ресурсів рентні платежі вносяться рівними частинами, на кожну з яких нараховуються складні відсотки. Тобто утворюється (витрачається) фонд почастинно, причому кожна з його частин капіталізується. Нехай такий фонд формується з кількох рентних внесків. Тоді нарощена вартість першого внеску:

(1.23)

другого внеску

(1.24)

n-того внеску

(1.25)

Якщо розглядати загальну величину нарощеної вартості, то

(1.26)

вираз 1.26 можна розглядати як геометричну прогресію, де Р – перший член прогресії, а вираз (1+і) – знаменник прогресії, а отже можна переписати як

(1.27)

вираз

має назву коефіцієнтуакумуляції вкладів. Індекс і позначає відсоток, для якого розраховується коефіцієнт, індексn позначає кількість періодів, за який накопичується (витрачається) рента.

Формула (1.27) відповідає ситуації, коли складні відсотки капіталізуються щорічно. Коли ж капіталізація відсотків проводиться кілька раз на рік (m-раз), а внески вносяться щорічно, то вона перетворюється у формулу (1.28)

(1.28)

можлива обернена ситуація, коли рентні платежі вносяться кілька раз на рік (р-раз). А відсотки нараховуються раз на рік. Тоді формула (1.27) має вигляд:

(1.29)

В ситуації, коли і рентні платежі вносяться кілька раз на рік, і відсотки нараховуються кілька раз на рік. Нарощена вартість розраховується за формулою (1.30):

(1.30)

Формула (1.30) є загальною для обчислення нарощеної вартості простого ануітету.

У формулі (1.30) вираз

(1.31)

називають коефіцієнтом нарощення. Значення коефіцієнту нарощення є стандартними.

Для безперервної постійної ренти геометрична прогресія матиме вигляд:

(1.32)

Досить часто потрібно визначати сучасну величину ренти. Нехай відомі тільки рентні платежі Р₁, Р₂, Р₃, …, Р_n., кожен з яких номінально рівний один одному. Проте фактично ці платежі співвідносяться один з одним як члени геометричної прогресії, оскільки реальне наповнення платежу Р₂ буде відрізнятися від реального наповнення платежу Р₁ на величину 1/(1+і). Тобто

(1.33)

таким чином маємо геометричну прогресію:

(1.34)

де R- сучасна вартість ренти. З правила обчислення суми членів геометричної прогресії маємо:

Перший член прогресії

Останній член прогресії розраховується за формулою (1.33). Знаменник прогресії 1/(1+і). Отже

(1.35)

Повна формула для сучасної вартості ануітету має вигляд:

(1.36)

Коефіцієнт приведення ренти:

(1.37)

Можна пов’язати сучасну та майбутню вартість ренти. З формули (1.30)

З формули (1.34)

(1.38)

для безперервної ренти маємо:

(1.39)

6. Розрахунок параметрів ренти, основні види рент

Виходячи з виразу

(1.27)

можемо визначити тривалість періоду нарахування ренти n.

(1.40)

але насправді повний вираз для знаходження нарощеної вартості ренти наступний:

(1.28)

тому і вираз для визначення тривалості ренти буде виглядати як

(1.41)

Аналогічно виглядає і визначення тривалості ренти, якщо відома її теперішня вартість. Повний вигляд формули для визначення теперішньої вартості ренти:

(1.36)

отже формула для визначення строку теперішньої вартості ренти матиме вигляд:

(1.42)

Досить часто при визначенні тривалості ренти отримується дріб. Тоді тривалість ренти округлюється до меншого цілого числа. Потім перераховується нова нарощена вартість ренти (чи її сучасна вартість) виходячи з округленого цілого числа n. Рента надається (чи обирається, виходячи з меншої нарощеної вартості).

Визначення відсоткової ставки відбувається методом інтерполяції. Обирають цілі відсоткові ставки, використання яких дає найближче наближення до питомої нарощеної вартості S. Назвемо ці ставки як і_н та і_в. Їх застосування дає значення S_н та S_в. Розрахуємо значення коефіцієнта нарощення Sі,_н та Sі,_в. за формулою:

тоді відсоткова ставка буде визначатись як:

(1.43)

Досить часто доводиться визначати параметри ренти, що ґрунтується на простих відсотках. Така рента виглядає як арифметична прогресія з першим членом P та останні членом P*(1+(n-1)*i). Нарощена вартість за такою рентою матиме вигляд суми членів арифметичної прогресії і визначатиметься за формулою:

(1.44)

Змішана рента виникає тоді, коли за весь період за ціле число років нараховуються складні відсотки, а за частину періоду, що відповідає частині року – нараховуються прості відсотки. Тоді можна сказати, що процес нарахування відсотків розбивається на два підпроцеси:

• На протязі кожного року до його закінчення нараховуються прості відсотки за формулою (1.44)

• Потім на нараховану суму нараховуються складні відсотки до закінчення строку ренти за формулою (1.27)

• Загальна нарощена величина такої ренти є добутком нарощеної величини ренти (1.44) на коефіцієнт нарощення за формулою (1.27)

Прикладом вічної ренти є цінні папери без обмеження строку їх обігу. При цьому розраховується коефіцієнт приведення ренти як:

(1.45)

тобто сучасна величина вічної ренти виглядає як

(1.46)

Відстроченою називають таку ренту, для якої строк реалізації відкладається на термін, зазначений у угоді. Тобто рента зі сроком реалізації n m-строкова p-кратна може бути k-відстроченою. Прикладом може бути погашення кредиту за формою ренти з певною відстрочкою такого погашення. Подібні форми кредитів є пільговими. Розраховується сучасна величина такої ренти як

(1.47)

а нарощена величина ренти як

(1.48)

де

R – сучасна величина негайної ренти,

R_k- сучасна величина відстроченої ренти.

S – нарощена величина негайної ренти,

S_k- нарощена величина відстроченої ренти.

V_k- дисконтний множник за k-років.

(1.49)