Uchebnoe_posobie_Astrakov_S_N_20

Таблица 4

Календарный план второго семестра

п/п

Раздел

Семестр

Неделя семестра

Виды учебной работы,

Формы текущего

работу студентов и

дисциплины

включая

контроля

№

самостоятельную

успеваемости

трудоемкость (в часах)

Лек.

Сем.

Конс.

Сам/раб

1

Определенный

2

1–2

6

6

0

2

Контроль

интеграл. Методы

освоения теории

вычисления

2

Применение

2

3

4

6

0

2

Самостоятельная

определенного

работа

интеграла

3

Арифметические

2

4–5

4

4

0

2

Контроль

векторные

освоения теории

пространства.

4

Скалярное

2

6–7

6

6

0

2

Коллоквиум

произведение.

Евклидово

пространство

5

Матрицы. Системы

2

8–9

6

6

0

2

Контрольная

линейных уравнений

работа

6

Определители

2

10–

4

4

0

2

Контроль

11

освоения теории

7

Функции нескольких

2

12–

6

4

0

2

Самостоятельная

переменных

13

работа

8

Частные производные.

2

14–

4

4

0

2

Контроль

Дифференцируемость

15

освоения теории

9

Экстремумы функций

2

16–

4

4

0

2

Индивидуальное

17

домашнее задание

10

Формула Тейлора

2

18

4

4

0

2

Контрольная

работа

11

Сессия

2

12

16

Подготовка к

экзамену

ИТОГО

48

48

12

36

Таблица 5

Трудоемкость дисциплины

Часы по

Вид учебной работы

Всего часов

семестрам

1/2

Общая трудоемкость дисциплины

288

144/144

Аудиторные занятия

216

108/108

в том числе:

Лекции

96

48/48

Семинары

96

48/48

Консультации (контактные часы)

24

12/12

Самостоятельная работа

72

36/36

в том числе:

Работа с литературой, решение

задач

8

4/4

Подготовка

к

контрольным

работам

12

6/6

Подготовка к коллоквиуму

12

6/6

Выполнение

индивидуального

задания

8

4/4

Подготовка к экзамену

32

16/16

Итоговая аттестация

Экзамен

Содержание раздела

Компетенции

1

Введение в теорию множеств. Операции над множе-

Формирование

ствами (объединение, пересечение, разность, дополнение).

ОК–5, ОК–6

Множества натуральных, целых, рациональных чисел, их

изображение на числовой прямой. Принцип математиче-

ской индукции. Неравенство Бернулли, формула бинома

Ньютона.

2

Множество действительных чисел. Действительное

Формирование

число как бесконечная десятичная дробь. Взаимно

ОК–5, ОК–15

однозначное соответствие между точками прямой и

действительными числами. Порядок на множестве R

действительных

чисел.

Ограниченные

числовые

множества, определения верхней и нижней грани. Теорема

о существовании точной верхней грани и точной нижней

грани ограниченного числового множества. Высказывания,

операции над высказываниями. Таблицы истинности

логических связок. Тавтологии, правила логического

вывода. Предикаты; кванторы.

3

Функции. Способы задания функций. Графики функций.

Формирование

Композиция функций. Обратимые функции, график об-

ОК–5, ОК–8

ратной функции. Простейшие преобразования графиков

функций.

4

Последовательности. Определение последовательности.

Формирование

Предел последовательности. Примеры сходящихся и рас-

ОК–15, ПК–31

ходящихся последовательностей. Основные теоремы о пре-

делах последовательностей (единственность предела, огра-

ниченность сходящейся последовательности, переход к

пределу в неравенстве, теорема о зажимающих после-

довательностях). Леммы о бесконечно малых последова-

тельностях. Теоремы об арифметике пределов. Ограни-

ченные последовательности. Теорема о сходимости моно-

тонной ограниченной последовательности. Теорема о вы-

боре сходящейся подпоследовательности из ограниченной

последовательности. Фундаментальные последователь-

ности. Критерий Коши сходимости последовательности.

Определение числа e. Второй замечательный предел.

5

Пределы функций. Два определения предела функции в

Формирование

точке и их эквивалентность. Теорема о единственности

ПК–9, ПК–10

предела функции в точке. Теорема о знакопостоянство

функции, имеющей ненулевой предел. Бесконечно

большие функции. Односторонние пределы слева и справа.

Пределы функций при x , x + , x – .

Теоремы о переходе к пределу в неравенстве. Арифметика

пределов функций. Первый замечательный предел.

6

Непрерывность и разрывность функций. Непрерывные

Формирование

функции. Простейшие свойства непрерывных функций.

ОК–15, ПК–31

Непрерывность

многочленов,

дробно-рациональных

функций, тригонометрических функций. Непрерывность

функции, обратной к непрерывной. Непрерывность

показательной и логарифмической функций. Теоремы о

промежуточном значении непрерывной функции. Теоремы

об ограниченности непрерывной на отрезке функции, о

достижении непрерывной на отрезке функцией

наименьшего и наибольшего значений.

7

Производная функции. Правила дифференцирования.

Формирование

Касательная к кривой как наиболее тесно прилегающая к

ОК–15, ПК–32

ней прямая. Производное число функции в точке.

Уравнение касательной к графику функции.

Теорема о линейном приближении. Непрерывность

дифференцируемой

функции.

Пример

функции,

непрерывной в точке, но не дифференцируемой в ней.

Примеры вычисления производных: линейная функция,

квадратичная функция, степенная функция y xn ,

n N ,

синус и косинус, логарифмическая функция

y ln x ,

показательная функция y ex , арктангенс y arctg x .

Арифметика

производных:

производные

суммы,

произведения, частного. Производная композиции

функций (цепное правило). Теорема о производной

обратной функции. Вычисление производных обратных

тригонометрических функций.

8

Дифференцируемость. Дифференциал функции.

Формирование

Определение дифференциала, его свойства. Производные и

ОК–5, ПК–31,

дифференциалы высших порядков.

ПК–32

9

Применение производных к исследованию функций.

Формирование

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Возрастание и убывание

ПК–31, ПК–32

функций. Понятие экстремума, необходимое условие

экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функций.

Выпуклость вверх, вниз; точки перегиба. Достаточные

условия выпуклости. Достаточные условия экстремума.

Асимптоты функций. Общая схема исследования функции

и построения ее графика.

Теорема

Коши.

Правило

Лопиталя

раскрытия

неопределенностей.

Формула Тейлора. Разложение по степеням x функций ex,

sin x, cos x, (1+ x)α, ln(1+x).

10

Неопределенный

интеграл.

Первообразная.

Не-

Формирование

определенный интеграл и его свойства. Таблица основных

ОК–5, ОК–15

интегралов. Правила интегрирования. Теорема о замене

переменной. Теорема об интегрировании по частям.

Методы и примеры интегрирования различных функций.

11

Дифференциальные уравнения. Некоторые задачи,

Формирование

приводящие к

обыкновенным дифференциальным

ПК–31, ПК–32

уравнениям. Дифференциальные уравнения первого

порядка. Понятие об общем, частном и особом решениях

дифференциальных уравнений.

Основные классы дифференциальных уравнений первого

порядка, интегрируемых в квадратурах. Уравнения в

полных дифференциалах. Уравнения с разделяющимися

переменными. Линейные и однородные уравнения.

Уравнение Бернулли.

12

Определенный

интеграл.

Площадь

подграфика

Формирование

(криволинейной трапеции) неотрицательной функции.

ПК–31, ПК–32

Определенный интеграл Ньютона-Лейбница и его

основные свойства. Теоремы о замене переменной и

интегрировании по частям для определенного интеграла.

Примеры вычисления площадей. Геометрический смысл

определенного интеграла. Теорема о среднем. Площадь

подграфика и интегральные суммы. Неравенство Коши-

Буняковского для определенных интегралов. Оценка

абсолютного значения интеграла

Свойства разбиений и интегральных сумм. Верхние и

нижние суммы Дарбу; их основные свойства. Определение

интеграла Римана как предела интегральных сумм.

Критерий интегрируемости. Верхний и нижний интеграл

Римана. Лемма Дарбу. Эквивалентность двух определений

интеграла Римана – как общего значения совпадающих

верхнего и нижнего интеграла и как предела интегральных

сумм.

Интегрируемость непрерывной функции, кусочно-

непрерывной функции, ограниченной монотонной

функции; пример неинтегрируемой по Риману функции.

Основные свойства интеграла Римана.

13

Применение определенного интеграла. Вычисление

Формирование

площадей. Вычисление площади сектора кривой, заданной

ПК–31, ПК–32

в полярной системе координат. Нахождение длины гладкой

кривой. Объем простых тел. Принцип Кавальери.

Вычисления объемов тел вращения.

Представление о несобственном интеграле.

14

Арифметические векторные пространства. Операции

Формирование

над векторами в Rn и их свойства. Линейные комбинации

ОК–5, ОК–6

векторов, линейная оболочка системы векторов.

Подпространство

векторного

пространства.

Линейная

зависимость и независимость системы векторов. Основные

леммы о линейной зависимости и независимости. Теорема

о замене. База системы векторов, ранг системы векторов.

Базис линейного пространства, теоремы о базисе,

размерность линейного пространства.

15

Евклидово пространство. Скалярное произведение в Rn и

Формирование

его основные свойства. Длина (норма) вектора.

ОК–5, ОК–6

Неравенство

Коши-Буняковского,

неравенство

треугольника.

Угол

между

векторами

в

Rn.

Ортогональность. Ортогонализация системы векторов.

Линейная независимость ортогональной системы векторов.

Существование

ортогонального

базиса

линейного

пространства. Разложение вектора по ортогональному и

ортонормированному

базису.

Ортогональность

подпространств.

Ортогональное

дополнение

P┴

подпространства P. Связь размерностей P┴ и P. Сумма

подпространств, прямая сумма подпространств. Теорема о

размерности суммы подпространств.

16

Матрицы.

Системы линейных уравнений. Задача об

Формирование

определении линейной независимости системы векторов.

ПК–31, ПК–32

Однородные и неоднородные системы линейных

уравнений. Геометрическая интерпретация множества

корней однородной системы. Матричная запись системы

линейных

уравнений.

Эквивалентные

системы,

элементарные преобразования уравнений. Теорема

Кронекера-Капелли. Метод Гаусса решения системы

линейных уравнений. Общее решение однородной системы

и общее решение неоднородной системы. Векторная

запись решения системы, базис пространства решений

однородной системы, связь множества корней однородной

и неоднородной систем. Теорема о равенстве строчечного

и столбцового рангов матрицы.

17

Определители. Определители, их основные свойства.

Формирование

Теорема об определителе произведения. Запись

ОК–15, ПК–31,

определителя

в

виде

знакопеременной

суммы

ПК–32

произведений элементов матрицы. Знак перестановки.

Определитель транспонированной матрицы. Теорема о

разложении определителя по строке, по столбцу. Правило

Крамера для нахождения обратной матрицы. Метод

Крамера для решения системы линейных уравнений.

18

Функции нескольких переменных. Предел функции

Формирование

нескольких переменных. Арифметика пределов. Замкнутые

ОК–5, ОК–6

и открытые множества в Rn . Компакт.

Теорема Больцано-Вейерштрасса о выборе сходящейся

подпоследовательности. Непрерывные функции. Основные

теоремы о непрерывных функциях. Теорема Вейерштрасса

для непрерывных функций.

19

Частные производные. Дифференцируемость. Частные

Формирование

производные

функций

двух

переменных,

их

ОК–5, ОК–6

геометрический смысл. Градиент. Касательная плоскость и

нормаль к поверхности.

Дифференцируемость и производная функции нескольких

переменных.

Дифференциал.

Дифференцируемость

функции, обладающей непрерывными производными.

Производная

композиции.

Частные

производные

композиции двух функций. Производная по направлению.

Градиент.

Вторая производная. Равенство смешанных производных.

Производные n-го порядка.

20

Экстремумы

функций.

Локальный

экстремум.

Формирование

Необходимые

условия

локального

экстремума.

ОК–15, ПК–31,

Достаточные условия достижения экстремума.

ПК–32

21

Формула Тейлора. Разложение функций по формуле

Формирование

Тейлора. Различные представления формулы Тейлора.

ПК–31, ПК–32

Приближенные

вычисления

функции

нескольких

переменных.

1. Вычислить предел последовательности

n 2

2n 1

lim

.

n n 3

2.

Найти уравнение касательной к графику функции y

2x 3

в

x 2

точке x = –1.

Сделать схематичный чертеж.

3.

Вычислить интегралы: (a)

dx

,

(b) (x 2) sin(3x)dx.

x

2

2x 3

Вариант 2

1.

Вычислить предел последовательности

n 2

n 1

lim

.

n n 3

2.

Найти уравнение касательной к графику функции y

2x 1

в

x 2

точке x = 1.

Сделать схематичный чертеж.

3.

Вычислить интегралы: (a)

dx

;

(b) x sin(3x

2)dx.

x

2

4x 5

/ 2

3

dx

/ 2

1

(а)

sin 2xdx; (б)

; (в)

sin2 x cos xdx; (г)

xe 2 x dx.

(5x

1)

3

0

1

0

0

3

dx

(а) e 2 x dx; (б)

.

0

1

3 x

3.

Найти площади фигур заданных областей. Выполнить чертеж.

(а) Область ограничена линиями:

y 2 x,

y 2x2

1,

x 1.

(б) Область ограничена линиями:

y 1 x,

y ln x,

x e.

Вариант 2

1.

Вычислить определенные интегралы:

2

3

dx

/ 4

tgx

x

(а)

2x dx; (б)

; (в)

dx;

(г) x sin

dx.

(3x 2)

4

cos

2

2

1

1

0

x

0

2

dx

(а) e x dx; (б)

.

1

1

4

2x

3x 2 y z

11

1

2x y 3z

2x 4 y 3z 7.

2. Дана функция двух переменных z

=

2xy – x3 – y2

и

значения

x0 = −1, y0 = 2.

Найти

(а) уравнение касательной плоскости

в

точке M(x0,

y0,

z0), где