Uchebnoe_posobie_Astrakov_S_N_20

Определение 1. Число а называется предельной точкой последовательности xn , если из последовательности xn можно

выделить подпоследовательность {xkn }, которая сходится к а.

Определение 2. Число а называется предельной точкой последовательности xn , если в любой ε-окрестности точки а

содержится бесконечно много членов последовательности xn .

Замечание 1. Из теоремы 10 следует, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку.

Замечание 2. Из теоремы 11 следует, что всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

Наибольшая предельная точка последовательности xn ,

ограниченной сверху, называется верхним пределом этой

Теорема 4.12 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

11

5. Предел функции. Непрерывность. Пусть x – переменная величина и числовое множество D является областью ее изменения. Если каждому x D поставлено в соответствие некоторое число y, то говорят, что на множестве D определена функция y = f(x).

Переменная x называется независимой переменной (аргументом функции), а множество D – областью определения функции.

Совокупность всех значений y обозначается Y и называется

областью значений функции.

Далее будем предполагать, что a является предельной точкой множества D ( a D или a D ), т. е. в любой окрестности точки a имеются точки, отличные от a.

Определение 1 (по Коши). Число A называется пределом функции y = f(x) в точке a (при x a ), если 0 0 такое, что x D ,

удовлетворяющих условию 0 x a , выполняется неравенство f (x) A .

Теорема 5.3. Пусть функции y = f(x), y = g(x) и y = h(x) опреде-

лены в некоторой окрестности точки a (кроме, возможно, самой

12

Односторонние пределы

Определение. Число A называется правым односторонним

называется левым односторонним пределом функции y = f(x) в точке

f(a + 0) и f(a – 0), причем f(a + 0) = f(a – 0) = A, тогда существует и предел lim f (x) A .

Непрерывность функции в точке

Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке a, если она определена в некоторой окрестности точки a и

lim f (x) f (a) .

x a

Функция y = f(x) называется непрерывной справа в точке a, если

f (a 0) lim f (x) f (a) .

x a 0

Функция y = f(x) называется непрерывной слева в точке a, если

f (a 0) lim f (x) f (a) .

x a 0

Теорема 5.6. Для того чтобы функция была непрерывна в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке слева и справа.

13

Теорема 5.7. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке a, то функции f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x)∙g(x), f(x) / g(x) также непрерывны (в последнем случае g(a) 0 ).

Теорема 5.8. Пусть функция y = g(x) непрерывна в точке a, функция u = f(y) непрерывна в точке u = g(a). Тогда сложная функция u = f(g(x)) = F(x) непрерывна в точке a.

Классификация точек разрыва. Пусть a – предельная точка области определения функции y = f(x). Тогда a называется точкой разрыва функции y = f(x), если f(x) не является непрерывной в этой точке. Пусть функция f(x) определена в окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a. Тогда точка a называется:

(1) точкой устранимого разрыва функции f(x), если существует предел lim f (x) A , но либо функция f(x) не определена в точке

x a

a, либо f (a) A ;

(2) точкой разрыва первого рода функции f(x), если существуют односторонние пределы f (a 0) и f (a 0) , но

f (a 0) ;

(3)точкой разрыва второго рода функции f(x), если в точке a не существует по крайней мере один из односторонних пределов функции f(x).

6.Сравнение бесконечно малых функций. Функция α(x)

называется бесконечно малой при x a (в точке a), если

lim (x) 0. Пусть α(x) и β(x) – две бесконечно малые функции при

x a

x a . Тогда

(а) функции α(x) и β(x) являются бесконечно малыми одного порядка

(б) функции α(x) и β(x) являются эквивалентными бесконечно

(в) функция α(x) являются бесконечно малой более высокого

14

(обозначение: α = о(β) при x a или α равно «о-малое» от β при x a ).

Теорема 6.1. Пусть α1(x) и α2(x) две бесконечно малые функции при x a такие, что α1(x) = о(β) и α2(x) = о(β). Тогда α1(x) +

+α2(x) = о(β) при x a . Краткая запись: о(β) + о(β)= о(β).

Аналогичные свойства:

Асимптотические формулы удобно применять для вычисления пределов.

7. Производная функции. Правила дифференцирования. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 .

Приращением этой функции в точке x0 называется функция

аргумента x :

y f (x0 x) f (x0 ) .

Определение. Производной функции y = f(x) в точке x0

15

Таблица 1

Производные элементарных функций

y = f(x). Угол между секущей MN и осью Ох обозначим (x) .

M (x0 , f (x0 )) , называется касательной к графику функции y = f(x) в

f (x0 ) (x x0 ) .

Теорема 7.2 (правила дифференцирования). Если функции u(x) и v(x) имеют производные в точке x0 , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии

16

y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности

Теорема 7.4 (производная сложной функции). Если функция u(x)

8.Дифференциал функции

Определение. Функция y f (x) называется дифференцируемой в

точке x0 , если ее приращение y f (x0 x) f (x0 ) в этой точке можно представить в виде y A x (x) , где A – некоторое число, а для функции (x) аргумента x выполняется условие

(x) o( x) , т. е. lim ( x) 0 .

x 0 x

Теорема 8.1. Для того чтобы функция y f (x) была дифференцируемой в точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная f (x0 ) .

Отметим, что при этом A f (x0 ) .

17

точке x0 .

Дифференциалом независимой переменной х называется

Инвариантность формы первого дифференциала. Пусть аргумент x дифференцируемой в точке x0 функции y = f(x) является не независимой переменой, а функцией некоторой независимой

прежнему имеет вид dy f (t0 )dx , но только теперь dx является не произвольным приращением аргумента x (как в случае, когда x –

f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x , то

f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x .

Последняя формула позволяет находить приближенные значения

меньше, чем меньше x . Более того, эта погрешность при x 0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем x .

18

9.Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях

Число M (m) называется верхней (нижней) гранью функции на множестве X. Функция y f (x) называется ограниченной на

множестве X (или ограниченной с обеих сторон), если она ограничена сверху и снизу на этом множестве.

Теорема 9.1 (о локальной ограниченности функции, непрерывной в точке). Если функция y f (x) непрерывна в точке x0, то

существует окрестность точки x0, в которой эта функция ограничена.

Теорема 9.2 (об устойчивости знака непрерывной функции). Если функция y f (x) непрерывна в точке x0 и f (x) 0 , то

существует окрестность точки x0, в которой f (x) имеет тот же знак, что и f (x0 ) .

Теорема 9.3 (первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте.

Определение. Число M называется точной верхней гранью

функции y f (x) на множестве X, если:

10) x X выполняется неравенство f (x) M ; 20) M M x X такое, что f (x ) M .

Замечание. Условие 10 означает, что число M является одной из верхних граней функции y f (x) на множестве X. Условие 20

означает, что M – наименьшая из верхних граней функции y f (x)

на множестве X, т. е. никакое число M , меньшее M, не является верхней гранью.

Точная верхняя грань функции y f (x) на множестве X

обозначается так: sup f (x) . Если функция y f (x) не является

X

ограниченной сверху на множестве X, то пишут sup f (x) .

X

19

функции y f (x) на множестве X.

Теорема 9.4 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на

Аналогично определяется убывание (невозрастание) функции на промежутке.

Теорема 9.6. Для того чтобы дифференцируемая на промежутке X функция f (x) не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы x X выполнялось неравенство f (x) 0 ( f (x) 0 ).

20