Uchebnoe_posobie_Astrakov_S_N_20

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля. Существует точка

Эта формула называется формулой Лагранжа (или формулой конечных приращений).

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Число

f (b) f (a) является угловым коэффициентом прямой, проходящей

(b a)

через точки (a, f (a)) и (b, f (b)) ; f (c) является угловым коэффициентом касательной к графику в точке (c, f (c)) . Формула Лагранжа показывает, что касательная к графику в некоторой точке (c, f (c)) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней).

Теорема 9.10 (теорема Коши). Пусть функции f (x) и g(x)

удовлетворяют условиям:

10) f (x) и g(x) непрерывны на [a, b];

20) f (x) и g(x) дифференцируемы в (a, b) ;

21

30) g (x) 0 x (a, b) .

Эта формула называется формулой Коши.

Правило Лопиталя. Правило используется для вычисления

исследования функций и построения графиков, когда надо быстро получить требуемый результат. Кроме того, данный способ можно использовать в качестве проверки вычисления пределов другими основными методами, которые входят в программу дисциплины.

0

Случай 1 (неопределенность ). Пусть выполнены условия:

0

(1) функции f (x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (кроме, возможно, самой точки а);

некоторой окрестности точки а (кроме, возможно, самой точки а);

22

Следующее соотношение называется формулой Тейлора для

Важнейшие разложения по формуле Маклорена.

23

10. Исследование поведения функций и построение графиков

Функцию, заданную соотношением y f (x) , x D , принято называть явной функцией. Графиком Г ( f ) явно заданной функции

определена в некоторой окрестности точки x0 .

Определение. Функция y f (x) имеет в точке x0 локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки x0 , в

Теорема 10.1 (необходимое условие экстремума). Если функция

при переходе через точку x0 (в сторону возрастания х) производная f (x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс). Если при переходе через точку x0 производная функции не меняет знак, то в точке x0 функция y f (x) не имеет экстремума.

24

Теорема 10.3 (второе достаточное условие экстремума). Пусть

точке x0 локальный минимум.

Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Пусть функция y f (x) имеет в каждой точке интервала

(a, b) конечную производную. Тогда в каждой точке M (x, f (x)) , x (a, b) , график функции y f (x) имеет касательную, не параллельную оси Oy .

Определение. Говорят, что график функции имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если в пределах

интервала (a, b) график лежит не ниже (не выше) любой касательной.

Теорема 10.4. Если на интервале (a, b) существует вторая производная функции y f (x) и если эта производная неотрицательная (неположительная), то график функции y f (x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Определение. Точка M (с, f (с)) графика функции y f (x)

называется точкой перегиба, если в этой точке график функции имеет касательную и существует такая окрестность точки c, в пределах которой слева и справа от точки c направления выпуклости графика функции y f (x) различны.

Теорема 10.5 (необходимое условие перегиба). Если график функции y f (x) имеет перегиб в точке M (с, f (с)) и вторая

производная f (x) непрерывна в точке c, то f (с) 0 .

Теорема 10.6 (достаточное условие перегиба). Если в некоторой окрестности точки с существует вторая производная функции y f (x) , причем f (с) 0 , и в пределах этой окрестности слева и

справа от этой точки знаки f (x) различны, то график функции имеет перегиб в точке M (с, f (с)) .

25

Схема построения графика функции y f (x) . Приведем

простейшую схему построения графика функции, в которой оставлены наиболее важные этапы исследования функции.

1.Область определения функции. Находится область определения функции в виде соотношения x D . Отмечаются границы области определения D.

2.Поведение функции на границах области определения.

Находятся односторонние пределы или пределы при x . Здесь же определяются вертикальные и наклонные асимптоты, если есть предположения о их существовании.

3.Экстремумы и точки перегиба. Используя приведенные выше теоремы, определяются локальные экстремумы и точки перегиба.

4.Числовые уточнения. Вычисляются дополнительные точки, где это необходимо, и уточняют места прохождения графика. Важно отметить точки пересечения с осями координат.

11. Неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке X, если F (x) f (x) x X .

Теорема 11.1. Если F1 (x) и F2 (x) – две любые первообразные для f (x) на X, то F1 (x) F2 (x) C const .

Следствие. Если F(x) – одна из первообразных для f (x) на X, то любая другая первообразная Ф(x) для f (x) на X имеет вид Ф(x) F(x) C , где С – некоторая постоянная.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции на X называется неопределенным интегралом от функции

функции f (x) , С – некоторая постоянная величина.

26

Основные свойства неопределенного интеграла

1.d f (x) dx = f (x) dx .

2.dF(x) = F(x) C .

3.Линейность интеграла. Если существуют первообразные функций f (x) и g(x) , а и – любые вещественные числа, то

существует первообразная функции f (x) g(x) , причем

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .

Таблица 2

Таблица основных неопределенных интегралов

27

Эта формула является основным «рабочим» инструментом при вычислении интеграла f (x)dx методом замены переменной.

Теорема 11.3. Пусть на промежутке X функция u(x) и v(x) дифференцируемы и существует v(x)u (x)dx (т. е. функция v(x)u (x) имеет первообразную на X). Тогда u(x)v (x)dx также существует на X и

u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx .

Это равенство называется формулой интегрирования по частям.

Так как u (x)dx du , а v (x)dx dv , то эту формулу можно записать в виде

udv uv vdu.

Метод интегрирования по частям удобно применять в следующих случаях.

1. Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функции ln x, ln (x), arcsin x, arccos x, arctgx . Если в качестве u(x)

выбрать эти функции, то подынтегральное выражение vdu нового интеграла обычно получается проще исходного.

Если в качестве u(x) выбрать P(x) , то в новом интеграле

подынтегральная функция снова принадлежит к одному из указанных типов, но степень многочлена окажется уже на единицу меньше. Выбирая этот многочлен снова в качестве u(x) , понижаем степень еще на единицу и т. д.

28

3. Подынтегральная функция имеет вид e x sin x, e x cos x, sin(ln x), cos(ln x) и т. п. После двукратного интегрирования по

частям получается снова исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Полученное равенство является линейным алгебраическим уравнением относительно искомого интеграла.

29

II. ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ

В данном разделе приведены типовые задания, соответствующие основным методам изучаемой дисциплины. Каждое задание содержит группу задач, которые решаются указанным методом (правилом, формулой). Надо понимать, что без метода (алгоритма действий) задачи не решаются (в любой области знаний). Задача становится простой и «решабельной», если этот метод найден и реализован. С другой стороны, связка «метод-задача» – это простейшая демонстрация соответствия теоретических положений и практических вычислений.

1. Типовые задания I семестра

Задание 1. Выделить полный квадрат для квадратного трехчлена f (x) Ax2 Bx C . Построить график.

Метод решения. Использование формулы (x a)2 x2 2ax a2.

Варианты заданий.

Задание 2. Выделить целую часть дробно-рациональной функции

f (x) Pn (x) , n m. Qm (x)

Метод решения. Деление полиномов в столбик.

Варианты заданий.

2.5.f (x) x3 x 68 .

x4

Задание 3. Разложить функцию на простые дроби.

Метод решения. Определить вид простых дробей и использовать метод неопределенных коэффициентов.

30