Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Uchebnoe_posobie_Astrakov_S_N_20

.pdf

Скачиваний:

159

Добавлен:

28.03.2016

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Варианты заданий.

3.1.

f (x)

5x 3

3.2. f (x)

;

(x 2)(x 3)

(x 1)2

3.3.

f (x)

3x 2

; 3.4. f (x)

x2 3x 5

;

(2x 1)(x 3)

(x 1)2 (x 3)

3.5.

f (x)

2 x

3.6. f (x)

2x2 5

;

x 2

(x2 3)(x 1)

3.7.

f (x)

x2 3x 2

;

3.8. f (x)

2x3 x2 x 3

4)(x 1)

x2 5x 4

Задание 4. Найти предел отношения двух функций (двух многочленов) при x (n ) .

Метод решения. Вынести «главную степень» (основную величину) за скобки и устранить неопределенность.

Варианты заданий.


4.1.	lim	2n 5		;
4.1.	lim			;
	n n 3
4.4. lim		2n cos(n2 1)				;
4.4. lim			n2 1			;
	n		n2 1
4.7.	lim	2x2 x 3			;


	x		x4 4

4.10. lim 1 2 ... n .
n	(n 2)2

2n 3

4.2.

lim

;

4.3.

lim

4n n

;

n 1 n 2n2

n 3

4.5.

lim

4x 3

;

4.6.

lim

x2 x

;

5x 7

x x

x 3x2

2n 1 3n 1

4.8. lim

;

4.9.

lim

;

x x

Задание 5. Найти предел отношения двух многочленов, стремящихся к нулю при x x0 (x0 – корень).

Метод решения. Выделить у многочленов корневой множитель

	0
(x x ) и устранить неопределенность		.
(x x ) и устранить неопределенность		.
0
	0

Варианты заданий.

5.1.

lim

; 5.2.

lim

2x2 3x 2

; 5.3. lim

x 2

x2 4x 5

x 2 x2 4x 4

x 1

x 2 x3

Задание 6. Найти пределы, содержащие иррациональность.

Метод решения. Умножить соответствующее выражение на ему сопряженное. В примере 6.7. использовать тождество:

a1/ 3 b1/ 3 a2 / 3

a1/ 3 b1/ 3 b2 / 3 a b , которое является

след-

ствием из формулы a3

b3 a b a2 ab b2

Варианты заданий.

2x 6 4

3 4x 1

;

6.1. lim

;

6.2. lim

;

6.3. lim

n 2

x 5

x 2 1 x 1

6.5. lim x

x ; 6.6. lim

x h

1 x

;

6.4. lim

;

x2 2

h 0

x 0

6.7. lim

x 4

3 2x 2

x 4

Задание 7. Найти пределы, содержащие тригонометрические функции.

Метод решения. Использовать первый замечательный предел

lim

sin x

1 или его общий

вид lim

sin(a(x))

1, где

a(x) 0 при

x 0 x

x x0

a(x)

x x0 .

Варианты заданий.

7.1. lim

sin 3x

;

7.2. lim

sin 5x

;

7.3. lim

1 cos 2x

;

7.4. lim

arcsin 2x

;

x 0 2x

x 0 sin 3x

x 0

sin px

tgpx

1 sin

arctg3x

7.5. lim

;

7.6. lim

; 7.7. lim

;

7.8. lim

x 1 x 1

x 2

x 0

sin 2x

x p

p x

Задание 8. Вычислить предел последовательности или предел функции, используя второй замечательный предел.

Метод

решения.

Применить

одну

из следующих

формул:

1 n

1/ t

lim 1

lim 1 t

t 0

Варианты заданий.

3 n

n 2 3n 2

2x 1

x 1

8.1. lim

;

8.2.

lim

;

8.3.

lim

;

n n 1

x 2x 3



8.4. lim 1 sin 2x 1/ x ;	8.5.	lim 1 tg				2 / x ;
8.4. lim 1 sin 2x 1/ x ;	8.5.	lim 1 tg			x	2 / x ;
x 0		x 0
8.6. lim x ln(2 x) ln x ;	8.7. lim		ax a	.
8.6. lim x ln(2 x) ln x ;	8.7. lim			.
x		x 1 x 1

Задание 9. Найти односторонние пределы функций. Метод решения. При x a 0 рассмотреть два случая:

(1) x a e, e 0, e 0;	(2) x a e, e 0, e 0.
Варианты заданий.

9.1. lim	x 3	; lim	2x 1	;


x 3 0 x 3		x 2 0 x 2

9.3.lim 71/(2 x) ;

x 2 0

9.5. lim			tg(4x p)		;

				p
x	p	0	2x


4			2
			2

9.2.	lim (2 x)1/ x ;
	x 0
9.4.	lim		x p	;
9.4.	lim			;
	x 2p 0 cos x 1
		ln 1 ex
9.6.	lim				.
9.6.	lim				.
	x		x

Задание 10. Для данной функции		y f (x) записать приращение
y f (x x) f (x) и найти y (x) lim			y	.

		x 0	x
Варианты заданий.
10.1. f (x) ax b;		10.3. f (x) 2x ;
	10.2. f (x) x;
10.4. f (x) ln x;	10.5. f (x) cos x;	10.6. f (x) tgx.

Задание 11. Освоить табличное дифференцирование и дифференцирование сложной функции по номерам задачника.

1.Б. П. Демидович. Задачи и упражнения по математическому анализу (для ВТУЗов), №№ 368‒536.

2.А. В. Ефимов, Б. П. Демидович. Сборник задач по математике, часть 1, №№ 5.21‒5.76.

Задание	12. Найти производную функции y f (x) , используя
		y
формулу	логарифмического дифференцирования: ln y
формулу	логарифмического дифференцирования: ln y	y
		y

f (x) , т. е. y y ln y . f (x)

Варианты заданий.

12.1. y x(x 2)3 (3x 1)3; 12.2.

(x 2)2

; 12.3. y

2x 1

;

x 3

(x 1)(x 3)

12.4. y 3

2x2

12.7. y (arctgx)x .

; 12.5. y x2 x ;

12.6. y xcos x ;

Задание 13. Найти уравнение касательной для функции

y f (x) в

указанной точке x x0 . Сделать чертеж.

Варианты заданий.

13.2. y 1 x2 ; x 1;

13.1. y

2x; x 2;

13.3. y 3

x 1; x 1;

13.4. y ln x;

x 1;

13.5. y e1 x2 ; x 2.

Задание 14. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y f (x)	на указанном промежутке. Выполнить схематичный
чертеж.
Варианты заданий.
14.1. y	x	, x ( ; );	14.2. y (x 1)2 ; x [0;3];

	x2
1


14.3. y 2x3 3x2 12x 1, x [ 1;5];	14.4. y x(5 x); x О.Д.З.;

14.5.y x2 1 ; x ( ; ).

x2 1

Задание 15. Построить график функции y f (x) , стараясь придерживаться следующей схемы исследования:

(1) область определения; (2) поведение на границах области определения (односторонние пределы, асимптоты); (3) экстремумы (max, min), точки перегиба (по необходимости); (4) числовые уточнения (пересечения с осями и прочие точки).

Варианты заданий.

15.1. y

x 1

;

15.2. y (x 2)3;

15.3. y

;

x 2

15.4. y

15.6. y

;

15.5.

3 x;

;

1 ex

x3 3

x2 2x 2

ln x

15.7. y

;

15.8. y 3 1 x2 ;

15.9.

;

x 1

15.10. y ln(e

);

15.11. y

3x4 1

Задание 16.

Найти производную F (x) f (x)

и записать соответ-

ствующий интеграл

f (x)dx F (x) C .

Варианты заданий.

16.1. F (x)

cos 5x

16.2. F (x) ex2 ;

;

16.3. F (x) ln

x2 7

;

16.4. F (x)

16.5. F (x)

arcsin 3x;

Задание 17. Табличное интегрирование и замена переменной при интегрировании: [1] – №№ 1051‒1207 (выборочно); [2] – №№ 6.15‒6.123 (выборочно).

Задание 18. Найти интегралы, применяя формулу интегрирования «по частям» udv uv vdu .

Варианты заданий.

18.1. arctgxdx;					18.2. x sin 2xdx;	18.3.	ln x	dx;
18.1. arctgxdx;					18.2. x sin 2xdx;	18.3.	2	dx;
							x
18.4. x arctgxdx;					18.5. (x 1)e2 xdx;	18.6. xe 3x dx;
18.7. x2 ln xdx;					18.8. 3x cosxdx;	18.9. (x2 x 3)e 2xdx;
18.10.	x cos xdx
				.
	sin	2		.
	sin		x

Задание 19. Вычислить интегралы, содержащие квадратный трехчлен.

Варианты заданий.

19.1.

;

19.2.

xdx

;

19.3.

;

2x 5

x2 4x 5

7x 13

19.4.

(2x 8)dx

19.5.

19.6.

;

x2 2x 5dx.

1 x x2

x 1 x2

Задание 20. Вычислить интегралы при помощи разложения на простые дроби.

Варианты заданий.

20.1.

;

20.2.

(x 1)dx

; 20.3.

;

1)(x 2)

(x 2)(x 3)

x(x 1)

20.4.

x2 5x 9

dx;

20.5.

(x 1)dx

;

20.6.

5x 6

x(x

(x 1)(x

2)(x 3)

Задание

21.

Вычислить

интегралы

для

некоторых

тригонометрических функций.

Варианты заданий.

21.1. cos3 x dx;

21.2. sin2 x cos3 x dx;

21.3. tg2 x dx;

21.4.

;

21.5. cos 2x sin 6x dx;

21.6. sin

cos

dx;

sin

21.7. cos x cos2

3x dx; 21.8. cos

cos

dx.

Задание 22. Вычислить интегралы для тригонометрических

функций с помощью универсальной подстановки

t tg

, используя

соотношения: sin x

;

cos x

1 t 2

; dx

2dt

1 t 2

t 2

Варианты заданий.

22.1.

;

22.2.

;

22.3.

cos x dx

;

5 cos x

sin x cos x

1 cos x

22.4.

;

22.5.

1 tgx

dx.

cos x 2 sin x 3

1 tgx

Дополнение. Для следующих вариантов используется подстановка t tgx , для которой выполняются соотношения:

sin x

; cos x

; dx

1 t 2

1 t2

1 t 2

Варианты заданий.

22.6.

;

22.7.

;

3cos

3sin

x 5cos

22.8.

sin 2x dx

;

22.9.

cos 2x dx

sin

cos

x sin

2.Типовые задания II семестра

Задание 1. Вычислить простейшие определенные интегралы. Изобразить соответствующую криволинейную трапецию. Визуально оценить ее площадь и сравнить с ответом.

Метод решения. Таблица интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.

Варианты заданий.

	1						1	dx			p
1.1.		1 x2			dx;	1.2.		dx	;	1.3.		sin x dx;
1.1.		1 x2			dx;	1.2.			;	1.3.		sin x dx;
								1 x
	0						0				0

	2						ln 3				2
	2	dx					ln 3					2		dx
1.4.		dx		;		1.5. e x dx;				1.6.				dx	.
1.4.		1 x	2	;		1.5. e x dx;				1.6.					.
	1	1 x					1				0		1 x2

Задание 2. Вычислить определенный интеграл с помощью замены переменных.

Метод решения. Приведение интеграла к табличному виду с помощью замены переменных.

Варианты заданий.

e	sin(ln x)dx				3		dx
2.1.	sin(ln x)dx		,	t ln x;	2.2.		dx			, t 25 3x;
2.1.			,	t ln x;	2.2.					, t 25 3x;
1		x			0		25 3x
1					0
1					4		dx
2.3.	1 x2 dx,			x sin t;	2.4.		dx		, x t2 ;


0					0	1		x
0					0
ln 2
2.5.		ex 1 dx,		ex 1 z2 .
0

Задание 3. Несобственные интегралы от неограниченных функций: вычислить или установить расходимость.

Варианты заданий.

1	dx			3		dx				e		dx
3.1.	dx		;	3.2.		dx			;	3.3.		dx			;

					(x 1)			2			x ln		2
	2	x						2					2
0	2	x		1						1				x
0				1						1
p				2						4
2				2		dx				4		dx
2				3.5.						3.6.
3.4. ctgx dx;							;									.
3.4. ctgx dx;							;									.
0				1		x				0		4 x
0				1						0

Задание 4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования: вычислить или установить расходимость.

Варианты заданий.

	dx			dx			0		dx
4.1.	dx	;	4.2.	dx		;	4.3.		dx		;
	2			3					x	2
	2			3						2
1	x		2		x			1
1			2
						dx
4.4. e 2 x dx;			4.5.			dx	.

				(x 1)(x 3)
1			0	(x 1)(x 3)
1			0

Задание 5. Вычисление площадей для областей двух видов:

	a x b				a y b
D1				D2
D1	:	(x) y	f2 (x);	D2	:	( y) x g2
	f1	(x) y	f2 (x);		g1	( y) x g2	( y).

Метод решения. Определить параметры области и применить одну из формул:

b	b
S f2 (x) f1 (x) dx;	S g2 ( y) g1 ( y) dy.
a	a

В отдельных случаях рекомендуется разбивать область на две и более части.

Варианты заданий.

	1 x 3


5.1.		1
	1 y			.
	1 y		2	.
			2
		x
		x

0 y 2

5.2. y

x y2 1.

5.3.D ограничена кривой y ln x , прямой x e и осью OX.

5.4.Область D ограничена параболой y 4x x2 и прямой y x 2 .

5.5. Область D ограничена гиперболой	x2		y2	1	и прямой x 4 .

4		9
5.6. Область D ограничена окружностью		x2 y2			16 и параболой
x2 12( y 1) .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой. Выполнить чертеж. Метод решения. Применить одну из формул:

	b
	b
(1)	L	1 ( y )2 dx, где
	a
	t1
	t1
(2)	L	(x )2 ( y )2 dt,
	t2

y f (x), a x b .

	x x(t)	t1 t t2 , это линия,
где		t1 t t2 , это линия,
	y y(t),

заданная в параметрическом виде.


(3) L	r2 (r )2 d ,	где r f ( ), , это линия,

заданная в полярной системе координат.

Варианты заданий.

6.1.Вычислить длину дуги параболы y 2x, 0 x 1.

6.2.Найти длину дуги кривой y ln x, 3 x 8.

6.3.Найти длину дуги y arcsin(e x ), 0 x 1.

6.4.Найти длину дуги кривой, заданной в параметрическом виде:


x a(2 cos t cos 2t)	, 0 t 2p.
	, 0 t 2p.

y a(2sin t sin 2t)

6.5.Найти длину кардиоиды r a(1 cosj) .

6.6.Найти длину первого витка спирали Архимеда r aj .

Замечание. Задания по теме «Объемы тел вращения» рекомендуется брать из задачника. По темам заданий 1‒5 также рекомендуется решать дополнительные задачи из разных сборников задач.

Задание 7. Найти область определения функций двух переменных. Построить найденные области на чертеже.

Метод решения. Выписать все ограничения на операции, определяющие функцию, и найти допустимое множество точек плоскости.

Варианты заданий.
7.1. z 1 x2 y2 ;	7.2. z xy ;	7.3. z	x2 4	4 y2 ;

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.2019283.76 Кб1TGP_otvety_sborka.docx
#
24.11.2019168.45 Кб3THE_SUBJUNCTIVE_MOOD+++.doc
#
28.03.2016121.65 Кб24Topichesky_diagnoz_v_nevrologii_1 (2).docx
#
17.04.201964.62 Кб2Tovarovedenie_OTVYeT.docx
#
06.06.20152.28 Mб24turkot_t_i_osnovi_pedagogiki_vishoi_shkoli.doc
#
28.03.20161.23 Mб159Uchebnoe_posobie_Astrakov_S_N_20.pdf
#
28.03.20167.7 Mб5Ukrayinsko-angliyskiy_slovnik_z_prav_lyudini.pdf
#
06.06.20151.59 Mб32UMK_quant.doc
#
20.11.201977.31 Кб2unit 3 minerals.doc
#
14.11.201983.87 Кб1UROK1_2002.rtf
#
18.11.201988.06 Кб2UTL Chapter 1. Exercises.doc