Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Uchebnoe_posobie_Astrakov_S_N_20

.pdf

Скачиваний:

159

Добавлен:

28.03.2016

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

		z	1
7.4. z x cos y;	7.5.		1		.


			y
			y	x

Задание 8. Исследовать на непрерывность функцию двух переменных. Пояснить результат, используя определение непрерывности и разрывности.

Метод решения. Выяснить, где функция не определена. Исследовать поведение функции на границах области определения.

Варианты заданий.

8.1. z ln x2 y2 ;

8.2. z

;

8.3.

;

(x y)2

1 x2

8.4. z tg( y x);

8.5. z

1 ex y

Задание 9. Найти пределы функций или показать их расходимость. Метод решения. Перейти к полярной системе координат (при

x 0	x
		) или к другим переменным. Для расходимости
	или	) или к другим переменным. Для расходимости

y 0	y

достаточно показать, что по разным «путям» приближения к точке (x0 , y0 ) получаются разные предельные значения.

Варианты заданий.

9.1. lim	x y	;	9.2.	lim		x 2 y	;

x 0 cos(x2 y2 )				x x2 y2
y 0				y
9.4. lim	sin x2 sin y2		; 9.5.	lim	x y 5		.
	x2 y2
x 0				x 2 x y 6
y 0				y 3

		x	y
		x
9.3. lim	1		;

x 3
y

Задание 10. Найти частные производные первого и второго порядка.

Показать, что	2 z	2 z	(т. е.	zxy	zyx ).
	x y	y x

Метод решения. Применить обычные правила и формулы дифференцирования, учитывая, что при дифференцировании по x

переменная y считается константой, а при дифференцировании по y переменная x считается константой.

Варианты заданий.

10.1. z (x 2 y)3;			10.2. z (x 3)y ;
10.4. z sin	x	;	10.5. z	x y	;

	y			x y
Задание 11.			Используя расчеты

10.3. z	x2 y2 ;
10.6. z		x	.


		x2 y2
		x2 y2
задания		10, записать

дифференциалы dz и d 2 z					в общем виде или в некоторых точках
A(x0 , y0 ) .
Указание.	dz	z	dx	z	dy	z	x	z	y;
				y
		x				x		y

x x0

y y0

y y

(2)

dy;

dxdy

x y

	оператор, действующий на z
2 z	dx2 2	2 z	dxdy	2 z	dy2 z	x2 2z	x y z	y2 .

x2		x y		y2	xx	xy	yy

d 2 z

вычисляется аналогично

Производная функции

z f (x, y) по направлению

Задание 12.

вектора в точке M (x0 , y0 ) :

cos a

cos b; e

(cos a, cos b).

Варианты заданий.

12.1. Найти производную функции z x2 2xy 3 в точке M (1, 2)

направлении вектора

a(2, 1).

12.2. Найти производную функции z x2	xy 3y2		в точке P(1,1)	в
направлении, идущем от этой точки к точке вектора K (3, 2) .

12.3. Найти производную функции z ln		x2 y2	в точке M (2, 2)	в

направлении биссектрисы первого координатного угла.

Задание 13. Для всех задач задания 12 найти градиент функции (grad z) в соответствующей точке. Далее, найти производную

функции в направлении grad z и сравнить ее со значением dz . da

Формулы для вычислений:

		z
		z		z
grad z			,		; grad z
grad z			,		; grad z
						M
						M
	x			y
Задание 14.	Исследовать на
переменных:

14.1. z (x 1)2 3y2 ; 14.3. z (x2 y2 )e ( x2 y2 ) ;

x x

x x0

y y

y y0

экстремум (max, min) функции двух

14.2. z x2 xy y2 2x y;

14.4. z xy 1 x2 y2 .

Указание. Необходимое условие экстремума для z f (x, y) :

z

	f (x, y) 0
	f (x, y) 0
x	x		- система уравненийдля определения
x			- система уравненийдля определения
z
z			стационарных точек.
			стационарных точек.
	f y	(x, y) 0
	f y	(x, y) 0
y
y

Достаточные условия существования экстремума:

(1)имеется стационарная точка M (a, b) ;

(2)AC B2 0 , где A fxx (a, b); B fxy (a, b); C f yy (a, b).

Замечание. При 0, A 0 (C 0) – max;

при 0, A 0 (C 0) – min; при 0 – экстремумов нет; при 0 – требуются дополнительные исследования.

Задание 15. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Сделать проверку.

Указание. Желательно провести расчеты табличным способом при помощи элементарных преобразований строк (метод Гаусса).

Варианты заданий.

x x x 6				3x x		2x 7
1	2	3		1	2	3
15.1. 2x1 x2		3x3	6	15.2. 2x1 x2		x3 3

	3x2 x3		14;		x2	5x3 11.
4x1	3x2 x3		14;	8x1	x2	5x3 11.

Задание 16. Проверить, что определитель основной матрицы системы 0 , и решить ее методом Крамера и методом обратной матрицы.

Метод Крамера: x				1	; x		2		; x		3	.
Метод Крамера: x					; x				; x			.
		1			2			3

												x			b
									1				1			1
Метод обратной матрицы:									1									– правая
Метод обратной матрицы:						X A				B, X x2				, B	b2			– правая


												x3			b3
часть системы.
Варианты заданий.
					2x 3x 5x 3										2x x 5
2x 3x		5				1		2		3						1		2
2x 3x		5
1	2		16.2.													3x3			16
16.1.	5x	9;	16.2.		3x1 7x2 4x3 15 16.3.										x1	3x3			16
3x	5x	9;
1	2					2x2 5x3 10;											x3		10.
					x1	2x2 5x3 10;									5x2		x3		10.

Замечание. Обратную матрицу уметь находить двумя способами: (а) через алгебраические дополнения, (б) при помощи элементарных преобразований.

Задание 17. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса и составить фундаментальную систему решений.

Варианты заданий.

	2x 3x			x 0
		1	2	3		2x		x 4x 0
						2x		x 4x 0
17.1.		x2	x3 0				1	2	3
17.1.	x1	x2	x3 0			17.2.		5x 7x 0;
						3x		5x 7x 0;
				2x3			1	2	3
	3x1 2x2			2x3	0;

	x		x	x 0
		1	2		3
			x 2x 0										x x 7x 2x 0
	x		x 2x 0										x x 7x 2x 0
17.3.		1	2		3						17.4.				1	2		3	4
17.3.											17.4.
																x2	x3 5x4 0.
	3x1 x2 4x3 0												2x1			x2	x3 5x4 0.

	4x 2x 7x 0;
			1		2	3
Пояснения.					Для системы 17.4 ответ может быть записан в разном
виде:
x 2x x												x 2t s
	1		3		4								1
		5x 3x
x		5x 3x										x 5t 3s
(а)	2		3		4						(б)		2	t любое число
x		t любое число										x		t любое число
	3												3
	4	s любое число;											4	s любое число;
	4												4
x												x
x			2		1						2					1
	1
x2
x2			5		3		te se		;	e	5		; e			3		e , e		– фунда-
(в)		t			s		te se		;	e			; e		2		;	e , e		– фунда-
							1	2		1					2			1 2
x			1		0						1					0
	3

x4
x4			0		1						0					1
ментальная система решений.
Задание 18. Показать, что векторы												e1, e2 , ..., en						образуют базис в
пространстве Rn и найти координаты вектора x в этом базисе.
Метод			решения.			Представить				x в		виде				линейной			комбинации
x 1e1			2e2 ... nen ,					составить					соответствующую							систему

линейных уравнений с неизвестными 1, 2 , ..., n и решить ее.

Варианты заданий.

18.1.e1 (1,5,3); e2 (2,7,3), e3 (3,9, 4), x (2,1,1).

18.2.e1 (2,1, 3); e2 (3, 2, 5), e3 (1, 1,1), x (6, 2, 7).

18.3.e1 (1, 2, 1, 2); e2 (2,3,0, 1), e3 (1, 2,1, 4), e4 (1,3, 1,0), x (7,14, 1, 2).

Задание 19. Убедиться, что векторы a1 и a2 ортогональны, и дополнить их до ортогонального базиса пространства.

Варианты заданий.

19.1.a1 (2,1,2) , a2 (1,2, 2) ;

19.2.a1 (1,1,1,2) , a2 (1,2,3, 3) .

Задание 20. Найти размерность и какой-либо базис (максимальную линейно независимую подсистему) линейной оболочки векторов.

Метод решения. Найти ранг матрицы, составленной из векторов системы (ранг определяет размерность). Затем выбрать подсистему линейно независимых векторов в количестве, равном размерности.

Варианты заданий.

20.1.a1 (3,1,5) , a2 ( 1,2,4) , a3 ( 1,9,21) .

20.2.a1 (1,2,2, 1) , a2 (2,3,2,5) , a3 ( 1,4,3, 1) , a4 (2,9,3,5) .

20.3.a1 (1,0,0, 1) , a2 (2,1,1,0) , a3 (1,1,1,1) , a4 (1,2,3,4) ,

a5 (0,1,2,3) .

III.ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

1.Место дисциплины в структуре образовательной программы

Дисциплина «Математика» читается студентам 1-го года обучения (1-й и 2-й семестры), обучающимся на отделении Менеджмента Экономического факультета НГУ, и относится к базовой части Профессионального цикла Основной образовательной программы бакалавриата по направлению подготовки 080200 «Менеджмент».

2.Цели освоения дисциплины «Математика»

Учебный курс представляет собой изложение основных положений математического анализа, аналитической геометрии и линейной алгебры, необходимых для изучения дисциплин экономического профиля.

Целью курса является развитие алгоритмических навыков при решении формализованных задач, получение фундаментальной математической подготовки, изучение математических методов исследования функциональных систем, развитие способностей по моделированию экономических процессов и решению прикладных задач.

Основные задачи дисциплины.

Изучение основных математических понятий и вычислительных операций.

Усвоение необходимых математических навыков решений систем линейных уравнений, действий с матрицами и векторами. Усвоение методов дифференциального и интегрального исчисления.

Обучение умению строго формулировать задачи, исследовать корректность исходных данных, предлагать подходящие методы решений проблемы и проводить анализ конечного результата.

Развитие умения использования математических методов и математического аппарата для моделирования экономических систем и процессов управления.

3.Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

Формирование у выпускников компетенций (согласно ФГОС) в процессе изучения дисциплины.

Наименование компетенции	Код компетенции

Общекультурные компетенции	ОК

Владение культурой мышления,	ОК–5
способностью к восприятию,
обобщению и анализу информации;
постановка цели и выбору путей ее
достижения
Умение логически верно,	ОК–6
аргументировано и ясно строить
устную и письменную речь, отстаивать
правильность утверждений
Способность находить организационно-	ОК–8
управленческие решения и готовность
нести за них ответственность
Владение методами количественного	ОК–15
анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального
исследования
Профессиональные компетенции	ПК

Умение применять количественные и	ПК–31
качественные методы анализа при
принятии управленческих решений и
строить экономические, финансовые и
организационно-управленческие модели
Способность выбирать математические	ПК–32
модели организационных систем,
анализировать их адекватность,
проводить адаптацию моделей к
конкретным задачам управления

Необходимые требования к студентам по усвоению дисциплины, предъявляемые в процессе обучения.

Знать:

теоретико-множественные основы математических дисциплин;

основные математические функции и их свойства;

вычислительные и операционные методы обработки числовых и аналитических величин;

методы дифференциального и интегрального исчисления;

методы и инструменты линейной алгебры и аналитической геометрии.

Уметь:

строго формулировать утверждения;

проводить обсуждение проблемы и доказывать теоремы;

определять требуемые алгоритмы и правила для выполнения численных расчетов;

анализировать конечный результат;

оценивать эффективность реализуемых методов.

Владеть:

математическим аппаратом и применять его для точных и приближенных (оценочных) вычислений;

способностью представлять числовые данные и результаты в виде наглядных графиков и диаграмм, показывающих основные закономерности;

умением самостоятельно пользоваться справочными и информационными материалами.

4.Структура и содержание дисциплины «Математика»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц.

Число семестров – 2. Суммарное количество часов – 288. Контрольных работ – 4. Экзаменов – 2.

Основные разделы дисциплины, календарный план, виды учебной работы и формы текущего контроля приведены в следующей таблице.

									Таблица 3
	Календарный план первого семестра

	Раздел		Неделя семестра	Виды учебной работы,					Формы
	дисциплины	Семестр			включая				текущего
№		Семестр		самостоятельную работу					контроля
№				самостоятельную работу					контроля
п/п					студентов и				успеваемости
				трудоемкость (в часах)

				Лек.	Сем.	Конс.	Сам/раб
1	Введение в теорию	1	1	2	2	0		0	Контроль
	множеств. Операции								освоения теории
	над множествами
2	Числовые множества.	1	2–3	4	4	0		2	Самостоятельная
	Множество								работа
	действительных чисел
3	Функции. Способы	1	4–5	4	4	0		2	Контроль
	задания функций.								освоения теории
	Графики функций
4	Последовательности.	1	6–7	4	4	0		2	Коллоквиум
	Пределы числовых
	последовательностей
5	Пределы функций.	1	8–9	4	6	0		2	Контрольная
									работа
6	Непрерывность и	1	10–11	4	4	0		2	Контроль
	разрывность функций								освоения теории
7	Производная функции.	1	12–13	6	4	0		2	Самостоятельная
	Правила								работа
	дифференцирования
8	Дифференцируемость.	1	14	4	4	0		2	Контроль
	Дифференциал								освоения теории
	функции
9	Применение	1	15	6	4	0		2	Индивидуальное
	производных для								домашнее задание
	исследования функций
10	Неопределенный	1	16–17	6	6	0		2	Контрольная
	интеграл. Методы								работа
	интегрирования
11	Дифференциальные	1	18	4	4	0		2	Контроль
	уравнения								освоения теории
12	Сессия	1				12		16	Подготовка к
									экзамену
	ИТОГО			48	48	12		36

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.2019283.76 Кб1TGP_otvety_sborka.docx
#
24.11.2019168.45 Кб3THE_SUBJUNCTIVE_MOOD+++.doc
#
28.03.2016121.65 Кб24Topichesky_diagnoz_v_nevrologii_1 (2).docx
#
17.04.201964.62 Кб2Tovarovedenie_OTVYeT.docx
#
06.06.20152.28 Mб24turkot_t_i_osnovi_pedagogiki_vishoi_shkoli.doc
#
28.03.20161.23 Mб159Uchebnoe_posobie_Astrakov_S_N_20.pdf
#
28.03.20167.7 Mб5Ukrayinsko-angliyskiy_slovnik_z_prav_lyudini.pdf
#
06.06.20151.59 Mб32UMK_quant.doc
#
20.11.201977.31 Кб2unit 3 minerals.doc
#
14.11.201983.87 Кб1UROK1_2002.rtf
#
18.11.201988.06 Кб2UTL Chapter 1. Exercises.doc