1. Всеобщность |
избирателей). |
|
Система должна работать всегда (т.е. нет плохих кандидатов или плохих |
A B
2. Сравнение A, B A ~ B
A B
Любые два кандидата сравнимы (и, даже, могут быть равны)
3. |
Независимость3го |
|
|
|
отсутствия ЛЮБОЙ Третьей альтернативы |
|
|
|
|
Сравнение двух альтернатив не зависит от наличия- |
|
4. |
Транзитивность |
A B |
и |
A C |
|
|
B C |
|
|||
|
|
|
|
|
|
5.Единство на 1 000 000 000 (!! мнение 999 999 999 из 1млрд не достаточно).
Пятая – самая слабая аксиома. Она ничего не требует по тем вопросам, по которым нет единогласия!!
И только в тех УНИКАЛЬНЫХ случаях, когда ПОЛНОЕ единогласие есть, 5я АКСИОМА требует согласится с ЕДИНОГЛАСНЫМ мнением Общества!!
Теорема Эрроу
нужен Председатель Мао
Доказательство
Теорема:
Пусть число альтернатив больше 2. Тогда функционал, удовлетворяющий условиям эффективности и независимости от посторонних альтернатив, является диктаторским.
Arrow K. Social Choice and Individual Values. - 2nd ed. New York: John Wiley, 1963. (1st ed., 1951)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
К.Эрроу
по Савватееву-Шварцу
x Кандидат 1 (лучший)
Профиль i-го Агента |
|
(Избирателя): |
y |
i-й агент |
|
Pi |
|
Все альтернативы В ГЛАЗАХ |
z |
каждого агента СТРОГО |
|
упорядочены |
Кандидат 2
Кандидат 3
(стрелка всегда идёт от лучшего к |
t |
Кандидат 4 |
|
(худший) |
|||
ХУДШЕМУ) |
|
||
|
|
Профиль общества состоит из вектора ВСЕХ профилей
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
ге |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
т |
|
|
|
-й |
|
н |
|
|
|
|
|
||
|
а |
|
|
||
|
1 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
P1 |
|
|||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
а |
|
т |
|
н |
|
е |
|
г |
|
й |
|
- |
|
i |
z |
|
,....Pk , x
t
|
t |
т |
|
н |
|
-й |
|
е |
|
г |
|
а |
|
N |
y |
|
..PN , z
x
|
Мы рассматриваем отображения |
|
|
|||||||||||||||||||
|
вектора профилей ВСЕХ агентов в |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
КОНКРЕТНЫЙ Профиль |
|
|
|
|
|
|
|
Про фил ьоб |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Профили ВСЕХ агентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
н |
? |
щест |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ваУд( |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
о |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
т |
|
|
|
влет |
|||||
|
|
н |
|
|
|
|
т |
|
|
н |
|
|
|
е |
И |
Ь |
|
|||||
|
|
|
ге |
|
|
|
н |
|
|
ге |
|
|
л |
|
||||||||
|
|
|
а |
|
|
|
г |
|
|
а |
|
|
о |
|
Ф |
Л |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
вореятА |
||||
й |
|
|
а |
|
|
й |
|
К |
|
|
О |
|
|
|
|
|||||||
|
|
- |
|
y |
i |
|
|
z |
- |
|
y |
|
П |
|
|
|
|
? |
|
|||
|
|
1 |
|
|
й |
|
|
N |
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P P , ....P |
|
, ..P |
|
, |
|
P |
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
СИОК |
|||
|
|
|
|
z |
|
|
|
x |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МА Э |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
рроу ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Избиратель 1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
P |
P1 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
Избиратель k |
Избиратель N |
yt
zy
,....Pk , ..PN ,
xz
t x
общество
x
y
Pi z
t
избиратель
|
|
|
|
x |
|
y |
t |
|
? |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y |
|
z |
y |
? |
||||
P |
|
|
|
|
||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
P |
,....P , ..P |
, |
|
P |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
k |
N |
|
* |
|
|
|
|
|
|
z |
|
x |
z |
|
? |
|
|
Результат |
|
|
|
|
|
|
|
|
общество |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
обработки |
|
|
t |
|
t |
x |
|
? |
||
|
|
предпочтений |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
и |
|
н |
|
е |
|
ш |
|
е |
|
Р |
|
Результат обработки системой Заявленных предпочтений ОБЩЕСТВА |
|
V (x, y, P) i : Pi (x, y) true
Множество агентов, предпочитающих x относительно y
Лемма
о Нейтральности
Лемма 1 (о нейтральности)
Пусть V (x,y, ~ P) = V (z,t, ~ P), тогда из xPy следует zPt.
Переставив местами пары (x,y) и (z,t), получаем, что на самом деле в этом случае наблюдается эквивалентность: xPy zPt.
Лемма о нейтральности: Если множество агентов предпочитающих x альтернативе y совпадает с множеством агентов предпочитающих z альтернативе t, то УДОВЛЕТВОРЯЮЩАЯ АКСИОМАМ К.Эрроу система примет одно и то же решение в обоих случаях.
Лемма о Нейтральности
V (x, y, P) V (z,t, P)
Докажем
V (x, y, P) V (x, t, P)
|
|
x |
y |
t |
|
|
? a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
z |
y |
|
|
? |
|
|
,....Pk |
|
|
P1 |
|
|
P |
P1 |
|
, ..PN , |
|
|||
|
|
z |
x |
z |
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
x |
|
|
t |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V (x, y) : i P
1
****
xy
y ,....Pj **,....Pk
**x
****
**
x
**, ..PN
y
**
** |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
** |
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
** |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
x |
||
|
||
|
|
|
|
|
P(x, y) P(z, t)
P(x, y) P(x,t)
Лемма |
о Нейтральности |
V (x, y, P) V (x,t, P) |
|
Докажем |
P(x, y) P(x,t) |
V (x, y) : i P
1
****
xy
y ,....Pj **,....Pk
**x
****
V (x,
****
|
|
|
|
|
|||
x |
** |
|
|
|
|
|
|
|
|||
**, ..P |
y |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
y |
** |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
** |
x |
||
|
y, P)
|
|
|
** |
** |
|
** |
|
|
|
|
|||
|
|
Частный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
xслучайx |
|
x |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
V |
x |
|
P t ,....P **,....P |
**, ..P |
||
t) : i |
||||||
|
|
1 |
j |
k |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** |
t |
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
** |
** |
|
** |
|
|
|
|
|
|||
V (z,t, P)
**
** x
|
|
|
** |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
t |
||
|
||
|
|
|
|
|
P(x, y) P(z,t)