Эконометрика. Тихомиров

средние объемы потребления, среднее число членов домохозяйств и средние доходы всех домохозяйств, т. е.

Требуется:

1.Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели на основе всех имеющихся данных.

2.Построить ковариационную матрицу ошибки модифицированного уравнения.

3.Определить вектор оценок параметров .

Задание 3.9

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

yt = 0+ 1 хt + t (t=1,...,Т)

имеется T=20 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.3.

Будем исходить из нормального распределения ошибки и отсутствия автокорреляции. Имеется подозрение на гетероскедастичность.

Требуется:

1.Проанализировать следующий способ проверки на гетероскедастичность: с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о гомоскедастичности для Т1=5, для Т2=10 и для Т3=15 наблюдений при уровне значимости =0,05, и если хотя бы один из этих тестов отклонит нулевую гипотезу, то имеется гетероскедастичность.

2.Для уровня значимости =0,05 проверить гипотезу, что дисперсии ошибки для первых и последних 10 пар наблюдений различны.

Задание 3.10

этого домохозяйства. Имеется выборка из задачи 3.6. Рассматриваемые домохозяйства разбиваются на две группы: с доходом до 50 единиц и с доходом от 50 до 100 единиц.

Требуется с учетом предположения о нормальном распределении ошибки проверить при уровне значимости =0,05 нулевую гипотезу, что дисперсия ошибки во второй группе домохозяйств в два раза больше, чем в первой.

Задание 3.10

Имеется линейное уравнение множественной регрессии

для ошибок которого выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка, параметр известен. Для оценивания параметров 0, 1,..., n

предлагается провести следующее преобразование: из t-го уравнения вычесть

t–1-e уравнение, умноженное на , t=1,...,Т, т. е. осуществить переход к

обобщенным первым разностям.

Требуется:

1.Определить матрицу преобразований T , с помощью которой осуществляется переход к модифицированному уравнению.

2.Определить “оптимальные” оценки параметров модифицированного уравнения и показать, как от них можно перейти к оценкам параметров исходного уравнения.

3.Определить “оптимальные” оценки параметров исходного уравнения и сравнить их с оценками из п. 3.

Задание 3.11

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

yt = 0+ 1 хt + t (t=1,...,Т)

имеется T=12 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Требуется:

1.Оценить параметры уравнения 0 и 1 с помощью обобщенного МНК.

2.Оценить параметры уравнения 0 и 1 с помощью модифицированного уравнения из задачи 3.10.

3. Определить ошибки, которые возникают при использовании классического МНК и оценивания из п. 2 по сравнению с “оптимальными” оценками из п. 1.

Задание 3.12

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

yt =0+ 1 хt + t (t=1,...,Т)

имеется T=18 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.5.

первого порядка.

Требуется:

1.Определить оценку r параметра авторегрессии ошибки.

2.Определить с использованием полученной в п. 1 оценки параметра авторегрессии первый вектор оценок параметров 0 и 1.

3.Рассчитать с использованием полученного в п.2 результата новую оценку r и определить с ее помощью новый вектор оценок обоих параметров регрессии.

4.Определить следующую оценку r и сравнить оценки r, r и r друг с другом.

Задание 3.13

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

yt = 0+ 1 хt + t (t=1,...,Т)

имеется T=18 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.5 (см. задание 3.12).

Требуется:

1.Проверить при уровне значимости =0,10 гипотезу об отсутствии автокорреляции первого порядка у ошибок t.

2.Проверить при уровне значимости =0,05 гипотезу о наличие негативной автокорреляции ошибок линейного регрессионного уравнения с тремя экзогенными переменными, если для 20 наблюдений получены следующие остатки: 0,8; –1,2; 0,0; –0,6; 1,1; 0,9; 0,2; 0,4; –0,6; 0,1; –0,7; 1,4; 1,0; 1,5; –0,8; 0,2; –1,4; 0,3; 0,8; –1.

отражать явление ложной корреляции, а не вытекать из содержания отображаемых ими явлений. При этом каждая из этих переменных может быть чрезвычайно важна для выражения закономерностей развития независимой переменной.

Невозможность использования «классических» подходов при построении эконометрических моделей в условиях плохой обратимости матрицы (X X)

обусловливает необходимость применения при оценке их параметров специальных процедур и методов, которые позволяют снизить отрицательное влияние высокой корреляции между объясняющими переменными на точность и достоверность получаемых оценок.

4.1. Рекуррентные методы оценки параметров эконометрических

моделей

Использование рекуррентных методов при оценке параметров эконометрических моделей позволяет избежать обращения матрицы X X и

тем самым, появления ошибок в результатах этой операции, обусловленных высокой корреляцией ряда ее столбцов и строк. Обращение матрицы в этом случае заменяется последовательностью более простых вычислительных процедур, которые на каждом шаге расчетов определяют обратную матрицу (Xt+1 Xt+1)–1, t=T1, T1+1,..., T, T1 п+1, где Xt+1 – матрица, образованная t+1-ми строками матрицы X, на основе предварительно оцененной матрицы (Xt Xt)–1

МНК сводится к итеративной процедуре, на каждом шаге которой уточняются оценки коэффициентов модели для исходных данных интервала

(1, t+1) с учетом оценок, полученных для интервала (1, t), и новой информации, содержащейся в t+1-м элементе уt +1 вектора у и строке t+1-й

строке матрицы Х.

Рассмотрим рекуррентные методы оценивания параметров эконометрических моделей более детально.