Эконометрика. Тихомиров

является вектором ошибок оценок параметров линейной эконометрической модели с учетом наложенных на них ограничений в вида равенств (типа

(2.84)).

Их ковариационная матрица определяется следующим выражением:

С учетом вида матрицы Р (см. (2.96)) также несложно доказать справедливость следующего равенства* :

В результате ковариационная матрица оценок параметров линейной эконометрической модели с учетом наложенных на нее ограничений в виде

равенств ( ~ ) определяется следующим выражением:

R a r

* Это делается путем подстановки данного выражения в (2.99) и непосредственного перемножения матриц с учетом правила их транспонирования.

взаимосвязаны между собой эконометрической моделью с функционалом f( ,

x) в общем случае. Оптимальные оценки a0*, a1*,..., an* параметров этого функционала характеризуются в такой ситуации максимальной вероятностью, равной значению функционала правдоподобия в точке (п+1)-

мерного пространства оценок с координатами a0*, a1*,..., an*. Такие оценки и называют оценками максимального правдоподобия.

При их нахождении обычно учитывается, что каждому набору значений

совместного распределения значений ошибки модели t в моменты t=1,2,...,

Т, и оценки максимального правдоподобия находить, максимизируя эту функцию.

В целом, в основе ММП лежат следующие рассуждения.

1. Выбранная модель адекватна процессу изменения (распределению)

зависимой переменной yt , в том смысле, что ее форма и состав факторов

“правильно” выражают причинно-следственные связи, определяющие его закономерности. Таким образом, истинная ошибка t является ”абсолютно” случайной переменной. Ее закон распределения выражает закон

влиянием на этот процесс каких-либо случайных воздействий, которые невозможно учесть в рамках данной модели и т. п.

условного совместного распределения значений yt при известных значениях

независимых факторов хit определяется следующим выражением: (yt хt ) N

Для совокупности случайных величин yt, t=1, 2,..., T этот закон можно выразить путем задания их совместной плотности распределения, в общем случае имеющей следующий вид:

где M[y ] – вектор математических ожиданий наблюдаемых значений y1,..., yТ,

y – ковариационная матрица значений yt, определяемая следующим выражением:

ковариации случайных переменных yt и yt и yt+j

* Дисперсия переменной yt в точке t может рассматривать как характеристика, построенная на множестве выборочных оценок математических ожиданий M[yt ] при соответствующих вариантах оценок их параметров, т.е. как

где R – количество возможных вариантов оценок параметров и Mr[yt]= yrt – выборочное математическое ожидание переменной yt в r-м варианте. Аналогичным образом могут быть проинтерпретированы и определены и ковариации значений yt и yt+j , t=1, 2,...Т; j= 1, 2,...,T–1

В “классическом” варианте ММП в отношении зависимой переменной yt

выдвигается предположение о независимости распределений значений yt,

рассматриваемых в разные моменты времени t=1, 2,..., T, и о постоянстве их

функции плотности закона распределения переменной yt , т. е. ( t )= (yt ), и

в общем случае ( t ) N(0, ).

Данное предположение вытекает из того факта, что производные ошибок

взаимосвязана с плотностью закона совместного распределения ошибки t, t=1, 2,..., T следующим образом:

где / y – якобиан перехода от переменной к y, рассчитываемый как абсолютное значение следующего определителя:

(y /Х )= ( ).

Из этого факта вытекает, что соответствующие плотности распределения ошибки имеют следующий вид:

С учетом (2.107) условия независимости разновременных переменных уt и

постоянства их дисперсий переходят в соответствующие условия для разновременных значений ошибки t и тогда вместо выражения (2.105)

можно записать

y= = 2 Е. (2.108)

по неизвестным параметрам 0 , 1 ,..., n при заданных массивах исходных данных, выражаемых вектором известных значений зависимой переменной уt и матрицей значений независимых факторов Х размера

Т (п+1).

в которой столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели 0.

2.5.2. Процедура получения оценок максимального правдоподобия

Целевая функция типа (2.109) называется функцией максимального правдоподобия. Несложно заметить, что оптимальные значения оценок параметров a0*, a1*,..., an* и дисперсии фактической ошибки e2,

соответствующие ее максимуму, должны обеспечивать и максимум ее логарифма. Иными словами, при определении значений этих оценок можно

случае в условиях независимости разновременных ошибок t и t–i

Не принимая во внимание первое постоянное слагаемое в правой части выражения (2.111), заметим, что оптимальные значения a0*, a1*,..., an* и e2 в

этом случае могут быть найдены путем решения следующей системы из п+2-

Дифференцируя выражение (2.115) по неизвестному вектору параметров и по неизвестной дисперсии ошибки 2, получим следующую векторно-

матричную форму записи системы (2.112):

Поскольку 2 0, из первого уравнения системы (2.116) непосредственно получаем вектор оценок ММП коэффициентов линейной эконометрической модели в следующем виде:

а из второго – оценку ММП дисперсии ошибки эконометрической модели:

Заметим, что выражение (2.117) ничем не отличается от своего аналога

(2.8), полученного с использованием МНК, а оценка дисперсии ошибки модели, полученная на основании выражения (2.118), является смещенной.

Вследствие этого на практике используют несмещенную оценку дисперсии,

определяемую следующим образом*:

* Доказательство справедливости выражения (2.119) приведено в разделе 2.3.