Эконометрика. Тихомиров

например, технологическими сдвигами, изменениями цен на ресурсы, в

покупательной способности населения, в потребительских предпочтениях,

внешними событиями (войнами, природными катаклизмами и т. п.),

изменениями в законодательстве и рядом других объективных и субъективных причин.

Вместе с тем, зачастую даже по чисто вычислительным причинам без устаревшей информации порой бывает затруднительно построить эконометрическую модель (например, из-за недостатка объема исходных данных). Кроме того, новые взаимосвязи обычно образуются на фоне старых,

они являются закономерным итогом эволюции отношений в социально-

экономической, технической и других сферах общественной жизни.

Вследствие этого информация более ранних периодов также может представлять определенную ценность с точки зрения адекватного отображения рассматриваемых явлений и процессов.

Эти причины в совокупности выдвигают проблему сопоставительного представления в эконометрической модели разновременной информации,

которая обычно решается взвешиванием исходных данных, относящихся к различным моментам периода (1, Т). Весовые коэффициенты в таком случае выражают степень важности, ценности разновременной исходной информации, полноты ее учета при формировании модели.

Взвешенная эконометрическая модель для момента времени t=1,2,..., T

выражена в виде следующего уравнения:

где рt – весовой коэффициент, учитывающий степень полноты исходной информации момента t, необходимой при построении эконометрической модели, описывающей рассматриваемые процессы в интервале (1, Т), t –

ошибка модели.

С учетом (3.44) сумма квадратов ошибки модели определяется следующим выражением:

где qt=рt2 – весовой коэффициент, отражающий важность значения ошибки невзвешенной модели в момент t при определении ее коэффициентов; t=уt–

0– 1x1t–...– nxnt – истинная ошибка невзвешенной модели.

Применяя известную процедуру метода наименьших квадратов для оценки коэффициентов модели, записанной в матричной форме

получим следующее выражение вектора оценок коэффициентов этой модели:

где Q – диагональная матрица, образованная весовыми коэффициентами qt:

Отождествляя матрицу Q с матрицей –1 (см. (3.4) и (3.40)), получим, что выражение (3.47) абсолютно идентично выражению (3.14), определяющему оценки коэффициентов эконометрической модели на основе обобщенного МНК.

Из выражения (3.48) вытекает, что веса qt являются функцией времени,

характеризующей “память” модели. Интуитивно понятно, что при более быстрых изменениях условий развития процессов уt, xit, i=1,2,... , n, значения qt, относящиеся к началу интервала (1, Т), должны быть значительно меньше, чем значения, относящиеся к его концу. Иными словами qt, как функция времени в этом случае должна затухать быстрее при движении времени в прошлое.

Выбор функции qt в практических исследованиях обычно осуществляется на основе субъективных суждений относительно ценности исходной информации, относящейся к разным моментам времени. Обычно значения этой функции нормируют таким образом, чтобы в сумме они составляли единицу, т. е.

В таком случае в качестве весовой функции удобно использовать члены

где константы q0 и выбираются из условий 0 q0, 1 и нормировки (3.49).

3.3. Метод инструментальных переменных

Для получения несмещенных (по крайней мере состоятельных) оценок параметров эконометрических моделей в ситуациях, когда имеют место

(теоретически допускаются) корреляционные взаимосвязи между независимыми переменными xit и ошибкой t, теория рекомендует подходы и методы, основанные на использовании инструментальных переменных.

Напомним, что в тех случаях, когда некоторые столбцы матрицы значений независимых переменных Х и вектор-столбец ошибки взаимосвязаны

между собой, математическое ожидание второго слагаемого в правой части выражения (2.9) отлично от нуля, M[(Х Х)–1Х ] 0, и, следовательно,

например, оценки МНК параметров модели, определяемые согласно известному выражению а=(Х Х)–1Х у, оказываются смещенными, поскольку

Заметим, что появление смещения у оценок МНК всех параметров моделей вызывает присутствие только одной независимой переменной, например, xi,

1 =сi (s0i,s1i,...,sni) = =сi si, где sji – j-й элемент i-го столбца si матрицы (Х Х)– 1. Из полученного результата вытекает, что в соответствии с выражением

(2.9) имеем а= + сi si. Из чего следует, что смещенными оказываются все оценки коэффициентов модели.

В эконометрике обычно исследуются асимптотические свойства оценок параметров моделей. В этом случае, если в пределе при Т существует зависимость между столбцами матрицы Х и ошибкой модели , т. е.

то оценки МНК параметров эконометрической модели являются несостоятельными (а, следовательно, и асимптотически смещенными).

Это непосредственно вытекает из того факта, что второе слагаемое в правой части выражения

plim(a)= plim plim(T1 ' ) 1 plim(T1 ' )

где дисперсия ошибки 2 на практике может быть оценена на основании следующего выражения:

В пределе при Т с учетом предположений (3.59) и (3.60) можно определить асимптотическую ковариационную матрицу оценок az на основании следующего выражения:

Для получения эффективных оценок на базе инструментальных переменных можно использовать обобщенных МНК. Для ковариационной матрицы ошибок модели, определенной выражением (3.63), оценки коэффициентов, полученные с использованием этого метода, определяются на основании следующего выражения, вытекающего из формулы (3.57):

az.0=(Х Z(Z Z)–1Z Х)–1Х Z(Z Z)–1 у=(Х Рz Х)–1Х Рz у, (3.67)

где Рz = Z(Z Z)––1.