Пособие_к_тесту_Интегрирование

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ОБЩЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

А.И. Архангельский В.М. Кесельман А.Н. Кречетников Е.А. Пушкарь

Сдать тест по математике? Это просто…

Тест по интегрированию функции одной переменной

Учебно-методическое пособие

Характеристики тем и заданий Необходимый теоретический материал Образцы решений Задания для тренировки

Типовой тест для самоконтроля

Москва 2007

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов высших технических учебных заведений и соответствует государственному образовательному стандарту.

Данное пособие предназначено для целенаправленной подготовки к выполнению теста «Интегрирование функции одной переменной», разработанного на кафедре Общей и прикладной математики ГОУ МГИУ, и содержит все необходимые студенту сведения об особенностях проведения теста, анализ типов заданий, необходимые теоретические сведения, методические рекомендации и образцы решения типовых заданий, задания для тренировки и типовой тест для самоконтроля.

2

Содержание

Введение …………………………………………………………….. 4

Правила проведения тестов ……………………………………….. 5

1.Неопределенный интеграл…. …………………………………….7

1.1.Необходимый теоретический материал ………………….. 7

1.2.Образцы решений типовых заданий …………………..… 25

1.3.Задания для тренировки ……………………………..…… 36

2.Определенный интеграл……… …………………………………40

2.1.Необходимый теоретический материал …………………. 40

2.2.Образцы решений типовых заданий ………………..……. 43

2.3.Задания для тренировки ……………………………..……. 44

3.Приложения определенного интеграла…………………………. 45

3.1.Необходимый теоретический материал ………………….. 45

3.2.Образцы решений типовых заданий ………………...….… 47

3.3.Задания для тренировки …………………………………… 51 Вопросы из теста для самоконтроля…..……………………...….… 52

Заключение ………………………………………………………….. 59 Ответы ……………………………………………………………….. 60 Литература ………………………………………………...………… 61

3

Введение

Данное пособие ставит своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть методами решения задач по курсу высшей математики. Это определило его структуру. В каждом разделе даны краткие теоретические сведения и приведены формулы, необходимые для решения задач, приводится значительное число подробно разобранных задач с разъяснениями методов их решения; наконец, ряд задач предлагается для самостоятельного решения, некоторые из них снабжены указаниями. Среди решенных задач немало таких, которые можно было бы назвать типовыми; во всяком случае, ознакомление с ними позволяет студенту при минимальной помощи со стороны преподавателя овладеть основными методами решения задач конкретного раздела высшей математики.

Как правило, в пособии приводятся только задачи, по уровню сложности соответствующие тестовым заданиям. Авторы сознательно старались избежать задач повышенной трудности, так как ставили перед собой цель научить студента решать основные элементарные задачи, дать, если угодно, некоторый минимум, необходимый для усвоения студентом требований вузовской программы курса высшей математики. Вместе с тем работа с настоящим пособием не закрывает возможности более углубленного изучения предмета.

По каждой теме дается минимальное число задач в предположении, что обучающийся будет разбирать все приведенные задачи подряд. Этим объясняется уменьшение общего числа задач по сравнению с распространенными задачниками. Такая установка, конечно, ограничивает возможность работы с данным пособием преподавателя на занятиях со студентами, но в то же время она значительно облегчает работу студента, обучающегося самостоятельно.

Особенности содержания и структуры проверочных заданий по математике, которые разрабатываются для проведения теста «Интегрирование функции одной переменной», определяются основными целями проведения этого теста – обеспечить аттестацию студентов по этому разделу курса высшей математики, изучаемого на первом курсе студентами инженерных специальностей АФ и ФПМТФ ГОУ МГИУ, а также оценить степень подготовленности студентов к проведению итогового

4

экзамена по высшей математике за первый семестр по данному разделу курса. При этом в содержание проверки включаются только те вопросы, которые соответствуют государственному образовательному стандарту.

Структура, содержание, типы и уровень сложности проверочных заданий определяются: целями теста, содержанием курса высшей математики, изучаемого студентами инженерных специальностей МГИУ, требованиями экзамена по высшей математике за первый семестр, технологическими требованиями компьютерной обработки ответов студентов.

Тестовая работа «Интегрирование функции одной переменной» включает 10 заданий для проверки знания и понимания основных математических понятий и умения применять стандартные алгоритмы. Данное пособие предназначено для целенаправленной подготовки к выполнению тестовой работы «Интегрирование функции одной переменной» и содержит:

-все необходимые студенту сведения об особенностях проведения теста;

-анализ типов заданий;

-методические рекомендации;

-необходимые теоретические сведения;

-образцы решения типовых заданий;

-задания для тренировки;

-типовой тест для самоконтроля.

Безусловно, данное пособие окажется полезным и при выполнении типовых расчетов, и при подготовке к семестровому экзамену.

Правила проведения тестов

Выполнение тестовой работы проводится на компьютере в соответствии с расписанием занятий и графиком проведения тестирований. Все задания тестовой работы являются заданием с выбором ответа. К каждому из них предлагается 4–6 вариантов ответа, из которых только один верный. Задание считается выполненным верно, если выбран верный ответ. Исключение составляет только задание по оценке истинности или ошибочности теоретических утверждений: здесь количество верных (ошибочных) утверждений может быть любым и задание считается выполненным верно, если выбраны все истинные (ошибочные) утверждения. Для допуска к тестовой работе студент обязан предъявить свой

5

студенческий билет и получить у оператора системы тестирования персональный ключ доступа. На выполнение тестовой работы отводится 40 минут. Во время проведения тестовой работы запрещается пользоваться учебной и справочной литературой, конспектами лекций и семинаров, шпаргалками, калькуляторами и мобильными телефонами, переговариваться и покидать свое рабочее место. В тех заданиях, где использование калькулятора является необходимым, в специальном окне открывается доступ к калькулятору на компьютере. Не разрешается покидать аудиторию во время проведения тестовой работы: выход из аудитории означает завершение работы.

Все задания тестовой работы предъявляются в произвольном порядке, что обусловлено их случайной выборкой из базы данных системы тестирования. Переход к следующему заданию без выбора ответа для текущего задания (пропуск задания) означает невыполнение текущего задания (возврат к пропущенному заданию не предусмотрен). Количество верно решенных заданий, необходимое для получения положительной оценки «Зачет» по тесту «Интегрирование функции одной переменной», устанавливается кафедрой Общей и прикладной математики и до проведения теста доводится до сведения студентов и преподавателей (база тестовых заданий постоянно обновляется, изменяется содержание заданий и их уровень сложности). Успешное выполнение заданий тестовой работы свидетельствует об удовлетворительном владении материалом, которое принято оценивать отметкой «3 (удовлетворительно)».

Для подготовки к сдаче теста «Интегрирование функции одной переменной» необходимо не только повторить материал курса высшей математики по теме теста, но и выполнить устанавливаемый преподавателем необходимый объем практических заданий из «Сборника типовых расчетов по курсу высшей математики» под редакцией Миносцева В.Б., уровень сложности которых, как правило, выше уровня сложности тестовых заданий. Анализ результатов тестирований показывает, что студенты самостоятельно выполнившие задания типовых расчетов, под контролем преподавателя разобравшиеся с допущенными ошибками и исправившие их, практически не испытывают затруднений при выполнении тестовых заданий и успешно сдают тест.

6

1.Неопределенный интеграл

1.1.Необходимый теоретический материал

1.1.1. Первообразная

Интегрального исчисления решает задачу, обратную дифференцированию, а именно: нахождение функции по ее производной или дифференциалу.

Функция F(x), дифференцируемая на интервале (а, b), называется первообразной функцией для функции f(x) на данном интервале, если для всех значений х, принадлежащих этому интервалу, выполняется равенство: F'(x) = f(x).

сделать заключение, что F1(x), F2 (x), , Fn (x) также являются первообразными для f (x) x .

Таким образом, поскольку прибавление любой постоянной С к дифференцируемой функции F(x) не изменяет ее производной:

(F(x) + C)' = F'(x),

то приходим к общему выводу: Если для некоторой функции существует хотя бы одна первообразная, то можно утверждать, что для нее существует бесчисленное множество первообразных, различающихся между собой на постоянные величины.

Общее выражение для всех первообразных F(x) + С, существующих для данной функции f(x), называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается следующим образом:

f (x)dx F(x) C ,

где С – произвольная постоянная интегрирования.

7

При этом функцию f (x) называют подынтегральной функцией, а выражение f (x)dx – подынтегральным выражением.

Процесс нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием, причем аргумент x подынтегральной функции выступает в качестве переменной интегрирования. Для примера,

рассмотренного выше, можно записать: xdx x2 C .

2

1.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Основные правила интегрирования

1)Если F (x) f (x) , то f (x)dx F (x) C,

где С – произвольная постоянная.

2)Af (x)dx A f (x)dx , где А – постоянная величина.

3)f1(x) f2 (x) dx f1(x)dx f2 (x)dx .

8) e x dx e x C .

8

9)sin xdx cos x C .

10)cos xdx sin x C .

Формулы для неопределенных интегралов от некоторых элементарных функций могут быть получены исходя из того, что интегрирование представляет собой математическую операцию, обратную дифференцированию.

Интегралы, приведенные в этой таблице, часто называют

основными табличными интегралами.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл x5dx .

Решение. Этот интеграл вычисляется по формуле 1 из таблицы

x5 1 x6

простейших интегралов, где n=5, т.е. x5dx 5 1 C 6 C .

Пример 2. Найти неопределенный интеграл xdx3 .

Решение. Этот интеграл вычисляется по формуле 1 из таблицы простейших интегралов, где n= -3, т.е.

Решение. Этот интеграл вычисляется по формуле 1 из таблицы

Пример 4. Найти неопределенный интеграл 4 x dx .

9

Решение. Этот интеграл вычисляется по формуле 7 из

таблицы простейших интегралов, где для первого интеграла а=2, а для второго а=3.

1.1.3.Основные методы интегрирования

Метод разложения (метод непосредственного интегрирования)

Этот метод основан на преобразовании интеграла (с применением основных свойств неопределенного интеграла – см. п. 1.1.2) и приведении его к виду, когда он представляет собой линейную комбинацию основных табличных интегралов.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл

(sin x 3x 4x5 3x )dx .

Решение. Для нахождения этого интеграла представим его в виде суммы четырех интегралов (в соответствии со свойством 3 неопределенных интегралов). Во втором и третьем интегралах вынесем постоянный множитель за знак интеграла, после чего используем табличные интегралы 9,2,1 (при п = 5) и 7:

(sin x 3x 4x5 3x )dx sin xdx 3 1x dx 4 x5dx 3x dx

постоянная интегрирования.

10