5. Основы теории z-преобразования.

Z=e^sT s=σ+jω

ReZ= e^TσcosωT ImZ= e^TσsinωT

z-преобразование используется только для дискретных по времени сигналов. X(z) – z-преобразование сигнала x*(t), если x(t), то предполагается, что сигнал квантуется по времени.

Таким образом основная полоса преобразуется в окружность единичного радиуса. Причем полюса, находящиеся в левой полуплоскости, лежат внутри круга.

Доп. полюса наложатся точно также. Следовательно, вся левая полуплоскость отражается в круг единичного радиуса.

W(s) 3-го порядка, λ_i – полюса. W*(s) -> появляется полоса . Полюса повторяются, так как появляется трансцендентная модель.

Z=e^sT s=jω

точки: 1) s=0 2) 3) 4)

|λ_i |< 1 для всех полюсов в левой полуплоскости, она находятся внутри окружности. Для 2-й полосы полюсы в z-плоскости получаются те же. Проблема трансцендентности снимается.

, где M(z) и D(z) – дробно-рациональные ф-ии

Пример

Свойства z-преобразований:

1) Теорема о начальном значении: . Если x(t) имеет z-преобрахование, и предел существует, то выполняется теорема, и начальное значение функции равно пределу.

2) Теорема о конечном значении: Если x(t)->X(z) и если функция (1-z^-1)X(z) не имеет полюсов вне единичной окружности, то .

3) Обратное z-преобразование:

5. Методы анализа устойчивости цифровых систем.

Передаточная функция замкнутой системы: . Нужно найти все полюса z_i замкнутой системы.

1+W(z)=0 => a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₁z+a₀=0

1) алгебраические критерии.

- критерий Гурвица

- критерий Шур-Кона

Они оперируют с коэффициентами a_n, a_n-1, …, a₁, a₀. По алгебраическим критериям нельзя определить запасы устойчивости.

2) частотные критерии

Критерий Найквиста. Нужно построить АЧХ W(z) и выделить полосу .

Для того, чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число охватов критической точки (-1,j0) (снизу-вверх с минусом, сверху-вниз с плюсом) было равно числу полюсов разомкнутой системы, лежащих вне окружности единичного радиуса при изменении круговой частоты в диапазоне , где .

. N(z)=0 -> полюсы z₁…z_n, k полюсов вне окружности .

5. Применение билинейного преобразования к передаточным функциям разомкнутых систем управления.

Вводится новая плоскость – разворачиваем окружность единичного радиуса в мнимую ось левой полуплоскости.

z = e^jT = cos(T) + jsinT

 - псевдочастота (безразмерная величина) – чисто мнимая переменная, окружность снова разворачивается в левую полуплоскость.

Связь псевдочастоты с кр. частотой :

Внешне плоскость S похожа на ω-плоскость.

При применении сначала z-, а затем ω-преобразования к передаточной функции получим W(ω). Появятся типовые звенья, но уже от ω, а не от s.

;

s = j  w = j

 - псевдочастота

Значит, мы получим абстрактное восстановление типовых звеньев.

Критерий Найквиста в том же виде, что и для s-плоскости