9.Разностные уравнения цифровых фильтров. Импульсно-переходные функции цифровых фильтров.

_{- входная последовательность для дискретных индексов}

_{- выходная последовательность для дискретных индексов}

T– интервал дискретизации, разностные уравнения не зависят от Т, так как он постоянен.

Разностные уравнения для цифровых фильтров (ЦФ) задаются соотношениями типа

. (6.1.1) (рекурсивные цифровые фильтры)

Фильтр считается определенным, если заданы весовые параметрами .Целые числа, которые задают порядок ЦФ. Н.у.x(-1),x(-2),…x(-m)y(0),y(-1),…y(-k)

Выходной сигнал ЦФ состоит из суммы сдвинутых и взвешенных значений входного сигнала – скользящего среднего входного сигнала и обратной связи – суммы сдвинутых и взвешенных значений выходного сигнала.

два класса ЦФ.1. рекурсивные цифровые фильтры (РЦ-фильтры), являющиеся фильтрами общего вида, разностные уравнения для которых определены в (6.1.1); для этих фильтров выходной сигнал зависит от сигнала обратной связи 2. нерекурсивные цифровые фильтры (НРЦ-фильтры) или фильтры скользящего среднего, разностные уравнения для которых представляются соотношением

. (6.1.2)

Импульсно-переходные функции ЦФ, зависящие от целочисленных аргументов, позволяют без обратной связи, напрямую, связать значения входного сигнала с выходным. Рассмотрим общий вид ЦФ в виде РЦ-фильтра. РЦ-фильтр является линейной структурой. Запишем выходной сигнал РЦФс использованием взвешенных сумм

(6.1.6)

Функции двух переменных определённые в дискретных точках, обычно называютсяимпульсно-переходными(2 составляющие: начальные условия, выходные данные) Необходимо, однако, иметь в виду, что выходной сигналзависит от функциии функцииучитывающей вклад начальных условий. Если начальные условия являются нулевыми, то формула связи (6.1.6) упрощается:

(6.1.7)

Таким образом, основываясь на (6.1.6), (6.1.7), выходной сигнал ЦФ с помощью импульсно-переходной функции может быть напрямую связан со входным сигналом.

вычисление импульсно-переходной функции для рекурсивного скалярного фильтра первого порядка

Выразим череззатемчерези т.д.:

,

…

Для линейных фильтров: h(n,i)=h(n-i)

Для импульсно-переходных функций НРЦ-фильтров:

Фильтры, имеющие импульсно-переходные функции определенные в конечном числе точек(формула выше), называются КИХ-фильтрами. РЦ-фильтры имеют импульсно-переходные функции, определённые в бесконечном числе точек; такие фильтры называютсяБИХ-фильтрами

10.Передаточные функции цифровых фильтров. Передаточные функции на комплексной плоскости.

А Передаточные функции (ПФ) для ЦФ определяются его выходным сигналом в установившемся режиме при действии на входе фильтра единичного дискретного комплексного синусоидального сигнала

где T– интервал дискретизации, частота входного сигнала –В установившемся режиме выходной сигнал ЦФ представляет собой комплексную синусоидальную функцию с частотой входной синусоиды и отличающуюся от входной синусоиды амплитудными и фазовыми искажениями, которые зависят от частоты. Проиллюстрируем этот факт с помощью математического моделирования.

после непродолжительного переходного процесса наступает установившийся режим – на выходе ЦФ формируется установившийся синусоидальный сигнал с частотой входного сигнала и с амплитудными и фазовыми искажениями.

Свяжем входной и выходнойкомплексные синусоидальные сигналыв установившемся режиме:

Коэффициент по определению является передаточной функцией.

Произведём вычисления для сдвинутых комплексных синусоид

Подставив эти выражения в разностное уравнение для ЦФ, получим формулу для передаточной функции ЦФ

(6.2.2)

Отметим, что ПФ является комплексной функцией частоты и может быть представлено в показательной форме

где – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) для ЦФ;– его фазочастотная хактеристика (ФЧХ).

АЧХ показывает во что преображается единичная амплитуда в зависимости от частоты. ФЧХ показывает фазовый сдвиг между входной и выходной синусоиды.

Как следует из свойств периодичности, ПФ имеет смысл рассматривать для частотного диапазона, удовлетворяющего неравенству

_{Вводится переменная с} обозначениемкоторая представляет собой при фиксированной частоте некоторую точку единичной окружности на комплексной плоскости. Тогда запишем ПФ как функцию отношения полиномов от введённых переменных

(6.2.5)

где комплексные числа являются нулями;– полюсами ПФ;может трактоваться как комплексный коэффициент усиления.

Крайне полезно для задач ЦОС рассмотреть геометрическую интерпретацию ПФ. На рис. 6.2.3 изображена единичная окружность на комплексной плоскости. Угол задаёт положение переменнойzна единичной окружности – точкуO, стрелкой обозначено направление положительного вращения. Точки с кружками соответствуют обозначению нулей ПФзвёздочки обозначают положение полюсовМодуличислителя ПФопределяются длинами векторовсоединяющих точкуOс нулямиАналогичным образом вводятся модули векторовзнаменателя ПФ, которые определяются длинами векторовсоединяющих точкуOс полюсамиУглыопределяют угловой наклон векторови

Рис.6.2.3. Геометрическая интерпретация ПФ на комплексной плоскости

Классификация

Рис. 6.3.1б. АЧХ для высокочастотных фильтров Рис. 6.3.1а. АЧХ для низкочастотных фильтров

_Рис. 6.3.2а. АЧХ для полосового пропускающего фильтра Рис. 6.3.2б. АЧХ для полосового заграждающего фильтра

1