1. Структура систем ЦОС. Структура систем сбора данных

Структура цифровых информационно-управляющих систем (ИУС) для общего случая представлена на блок-схеме Типовая цифровая ИУС состоит из четырёх составляющих систем: 1) ОУ – объекта управления; 2) ССД – системы сбора данных; 3) СОИ – системы обработки информации; 4) СВУ – системы выработки управления. системы ОУ, ССД, СОИ и СВУ-прямоугольники; стрелки-направления движения входной и выходной информации.

Система ЦОС, являющаяся частью ИУС, состоит из ССД и СОИ и помещена в пунктирный прямоугольник

ОУ – объект управления – характеризуется вектора­ми входных управляющих переменных и векторами выходных переменных, которые в ряде случаев определяются как векторы фазовых координат– векторные парамет­рические функции.

. В простейшем случае для статических ОУ связь между входными и выходными переменными определяется модельными нелинейными функциями от нескольких переменных, которые можно представить в скалярном или векторном виде:

(1.1.1)

. (1.1.2)

Связь между векторами управляющих переменных и векторами фазовых координат для динамических ОУ определяется системами модельных дифференциальных уравнений. Для динамических ОУ с сосредоточенными параметрами модельные дифференциальные уравнения в векторном виде представляются следующим образом:

.

.

{Необходимо отметить отличия параметрических функций и управляющих переменных. Управленияявляются полностью известными; параметрические функции– некоторые неизвестные функции, относительно которых могут быть сведения только об их самых общих характеристиках.}

ССД – система сбора данных – обеспечи­вает промежуточное накопление и предварительную цифровую обработку многоканальной информации об объекте управления. На вход системы ССД поступает вектор фазовых координат и вектор управления, реализующий настройку ССД. Выходом ССД являются векторы наблюде­нийфазовых коорди­нат, связанные с фазовыми координатамии помеховыми возмущениями, которые обусловливают погрешности в наблюдениях. Наблюдения описываются следующей модельной зависимостью:, (1.1.3)

где вид модельной функции наблю­де­ния опреде­ля­ется конструкцией ССД.

СОИ – система обработ­ки информа­ции – обеспечивает по входной информации-наблюдениям от ССД и вектору управлениякоторый предназначен для настройки алгоритмов СОИ, решение задачи вычис­ле­ния оценок фазовых координати оценок парамет­рических функции, которая, по-существу, является центральной для ЦОС.

СВУ – система выработки управле­ний – осущес­твляет формирование необходи­мых управля­ющих воздействий для ОУ,для ССД идля СОИ по информа­ции от СОИ. В общем виде можно записать:.

Структура ССД существенным образом определяет возможности проведения ЦОС. ССД состоит из системы датчиков, усилителей, противомаскировочных фильтров, электронных коммутаторов, аналого-цифровых преобразователей и устройств буферной памяти. упрощённой конструкции ССД, цифрами отмече­ны основ­ные элемен­ты системы.

ССД состоит из системы датчиков, усилителей, противомаскировочных фильтров, электронных коммутаторов, аналого-цифровых преобразователей и устройств буферной памяти.

Датчики назначение которых состоит в преобра­зовании фазовых координат объекта в систему электрических сигналов – выходные напряже­ния, в которых содержится информация о параметрах объекта. Каждому датчику ставится в соответствие функция преобразования, которая связывает значение величины со значением напряжения

Усилители назначение данных усилителей cостоит в обеспечении усиле­ния входных сигналов до стандартно­го значения: ,, чаще всегоЧастот­ные характеристики передаточной функции для УС должны быть подобраны таким образом, чтобы для входного сигнала в заданном частот­ном диапазоне амплитуд­ные и фазовые искаже­ния были незначительными.

Противомаскировочные фильтры На вход аналогового противомаскировочного фильтра подаётся сигнал выходной сигнал фильтра обозначается в видеНизко­частот­ные аналоговые фильтры (непро­пускающие высокие частоты) с передаточ­ными функциями обеспе­чи­вают устранение высокочас­тотных составляющих в выходном сигнале Как правило, для противомаскировочных фильтров их АЧХ в точке среза должны иметь большую крутизну. Вследствие чего в рабочей полосе частоткоэф­фициент усиления фильтра должен быть примерно равен 1, в высоко­частотной областикоэффициент усиления фильтра должен быть близок к нулю:

, ;,.Частота срезааналогового фильтра обычно регулиру­ется в зависимости от полосы исходного сигнала (его частотных свойств) и заданной частоты дискретизации.

Электронные коммутаторы Электронный коммутатор (мультиплексор) реализует переключение измерительных каналов с частотой дискретизации T – интервал временной дискретиза­ции Следует отметить, что использование в ССД электронного коммутатора не является обязательным; его применение диктуется в ряде случаев требованием уменьшения аппаратурных затрат для снижения числа микросхем АЦП для трёх информационных входных каналов, на которые подаются напряжения , приведён на рис. 1.3.7.

С временным шагом дискретизации T происходит запоминание на время (время коммутации) соответствующего кусочно-постоянного напряжения, которое предназначено для подачи в устройство дискретизации. Для работы электронного коммутатора должно выполняться соотношение

АЦП Аналого-цифровые преобразователи (АЦП) осуществляют преобразование последо­вательности кусочно-постоянных напряжений от мультиплексо­ра в последовательность цифровых кодов. Следует отметить существенные парамет­ры АЦП для формирования систем ЦОС: 1) – время преобра­зования АЦП аналогового напряженияв цифровой код; очевидно, должно выполняться неравенство2)– число разрядов цифрового кода с выхода АЦП (не считая знака); 3)– рабочий диапазон АЦП по входному напряже­нию; этот параметр устанавливается стандартным рядом значений – чаще всего1 и 5 В. Последовательностьс выхода АЦП является дискретизованной по времени и по уровню.

Ус-во буферной памяти На вход буферного запоминающего устройства (БЗУ) поступают данные от АЦП. БЗУ обеспечивает промежуточное хранение массивов дискретизованных данных. Для БЗУ следует отметить параметры, существен­ные при реализа­ции сбора данных: 1) – время ввода одного кода от АЦП в БЗУ;2) объем памяти БЗУ –в Кб (Мб), где б – байт. При формирова­нии конкретной системы сбора данных необходим учёт типа памяти БЗУ.

2. Аппроксимация наблюдений для линейных моделей, действительный и комплексный случай.

наблюдаемый сигнал связан с исходным сигналоми случайным помеховым возмущениемчерезмодельную функцию наблюдения известного вида

Действительный случай: есть наблюденияна конечном временном интервале дляПредставим линейную по параметрам модельную функцию:зависящая от вектора параметров_,в скалярном виде:

функционал мера близости модели и наблюдений, определяется разностями=_{(из-за линейности S имеет квадратич. Форму)}

векторно-матричные переменные:

, ,,

где Y– вектор наблюдений размерностиc– вектор параметров модели размерностиX– матрица плана сигнала размерности Нетрудно видеть, что разность для наблюдений и модели может быть сформирована в векторном виде

. (2.4.5)

На основе введённых векторов и матриц функционал записывается как скалярное произведение и представляет собой квадратичную форму

(2.4.6)

С учётом того, что имеет место равенство можно записать

=0 ; ;

минимальное значение этой квадратичной формы достигается при

(2.4.7)

Представим в виде системы линейных уравнений (в лекциях D=A,d=a)

Введём обозначения МатрицаDимеет размерностьэлементы этой матрицы симметричны относительно главной диагонали и определяются как скалярные произведения базисных функций

Элементы вектора размерности– коэффициенты Фурье, вычисляются как взвешенные суммы наблюдений

,

Нахождение оптимального вектора параметров сводится к решению линейной системы уравнений

Комплексный случай: Рассмотрим решение задачи оценивания параметров линейных моделей для комплексных сигналов. Введём комплексные наблюденияи комплексную модель сигналаопределяемую комплексным вектором параметрови комплексной базисной функциейФункционал с использованием суммы произведений сопряженных комплексных множителей

(2.4.8)

комплексную разность функции наблюдения и модели Воспользовавшись введёнными векторно-матричными переменными, но в комплексной форме, представим функционал(2.4.8)

С учётом равенства запишем

(2.4.9)

=0

Минимальное значение этой квадратичной формы (2.4.9) дости­гается при

(2.4.10)

Оценка из (2.4.10) может быть найдена с помощью решения системы линейных уравнений (в лекцияхA=D)

(2.4.11)

Коэффициенты матрицы Dвычисляются в виде скалярных произведений векторов

,(2.4.12)

Коэффициенты вектора b(коэффициенты Фурье) вычисляются в виде скалярных произведений векторов

,(2.4.13)

Если базисные функции ортогональны, то нахождение параметров модели упрощается. Матрица Dбудет диагональной с элементами

Оптимальные параметры модели выразятся через коэффициенты Фурье

(2.4.14)

3. Модели сигналов на основе действительного и комплексного ряда Фурье.

Действительный случай. Рассмотрим построение моделей сигналов на основе действительного ряда Фурье.

Пусть наблюдения cигнала заданы в виде действительной функциина конечном интервале времени{Будем полагать, что для рассматриваемого сигналавыполнены сформулированные условия сходимости. }

Выбирается модель для указанного сигнала в форме действительного ряда Фурье следующего вида

(2.5.1)

модельные частоты и определяются длиной интервала наблюдения, модельные синусоиды располагаются с шагом по частотекоторый зависит отВектор параметров модели имеет бесконечную размерность,{Благодаря выбору частотного параметраоказывается, что на интервале времениукладывает целое число периодов базисных функцийиВследствие этого, указанные} базисные функции являются ортогональными.

Функционал для решения задачи аппроксимации функции наблюдений на основе сформированной модели имеет вид

Нахождение вектора параметров модели сводится к минимизации указанного функционала, который, очевидно, является квадратичным по с:

,

Устремим число базисных функций в бесконечность, Естественно, можно сразу записать, опустив знакформулы для оптимальных параметров модели, которые являются известными коэффициентами разложения Фурье:

.

В силу ортогональности базисных функций модели ряда Фурье мощность Pсигнала, сформированного на основе ряда Фурье, слагается из мощностей составляющих синусоидмощность дляl‑й синусоиды определяется амплитудами

.

{Благодаря ортогональности данного базиса для рассматриваемой модели возможно представление дискретного спектра мощности в виде бесконечной последовательности равноотстоящих на по оси частот значений_}

Комплексный случай.Пусть произведено наблюдение комплексной функции=y₁(t)+jy₂(t) на интервалемодель сигнала представится комплексным рядом Фурье

(2.5.5)

Комплексный вектор параметров модели имеет бесконечную размерность Функционал остаточной суммы примет вид

(2.5.6)

Так же как и для разд. 2.5.1, ограничимся конечным числом комплексных модельных синусоид, которые составляют модель; пусть число модельных синусоид равняется L. В этом случае вектор базисных функций для модели (2.5.5) имеет размерностьи выглядит следующим образом

на интервале времени составляющие базис функции ортогональны.

Оптимальные параметры модели обеспечивающие минимум функционала (2.5.6) {после того как сделаны необходимые выкладки и предельный переходопределяются следующими интегралами (опущен знак)}:

(2.5.7)

{Пусть для рассматриваемой функции сигнала выполняются сформулированные в разд. 2.5.1 условия сходимости с учётом комплексности. Тогда на оптимальныхиз (2.5.7), очевидно, должно выполняться равенство }

(2.5.8)

Мощность l-й комплексной модельной синусоидальной функции вычисляется интегрированием на интервале

Благодаря ортогональности используемого комплексного базиса общая мощность сигнала представляется в виде суммы мощностей составляющих как для положительных, так и отрицательных частот.

4.Интеграл Фурье. Свойства интеграла Фурье. (пф-преоб-е Фурье, фс-физический смысл)

Интеграл Фурье реализуется на основе рассмотрения комплексного ряда Фурье для бесконечного временного интервала; Симметричен относительно нуля,меняются только фазовые соотношения

временной интервал симметричным пусть этот интервал расширяется

Запишем коэффициенты разложения комплексного ряда Фурье для расширяющегося временного интервала

Подставим выражение в:.

Устремим обозначимполучим в пределе

Сформируем интегралы

Функцию называютинтегралом Фурье, илипреобразованиемФурьедляпрямое и обратное преоб-е Фурье. Сигнал представляется как во временной области при традиционном анализе, так и в частотной области в виде непрерывных коэффициентов разложений Фурье

ФC_:Преоб-е Фурье-предельная функция коэффициентов комплексного ряда Фурье.

Функция в общем случае является комплексной функцией частоты и допускает следующие представления:

где и– действительные и мнимые части;– модуль и фаза преобразования Фурье.

Св-ва:

1. Линейность.Пусть функцияпредставляет собой взвешенную сумму функцийдля которых заданы их преобразования Фурьепреоб-е Фурьедлявычисляется как взвешенная сумма преобразований Фурье:

2. СдвигПусть– масштабирующий множитель, преобразующий функциюви _-?

Пусть: сделаем подстановку ви выразимчерез:

3. СдвигПусть задано преобразование Фурье для функцииВведём запаздывание(сдвиг по времени) для функциисформируем

преобразование Фурье для функции умноженной насдвигается по частоте

4. Прео-е Фурье от комплексной синусоиды требует предварительного определения-функ­ции.

{ Импульсной-функциейназывается такая функция, которая удовлетворяет следующим двум условиям:

1) дляидля

2) для любого

Импульсная -функция может рассматриваться как предел обычной функцииприНапример,

для идля

Для -функции устанавливается важное равенство:

если непрерывна в точкеи}

С учётом сделанного определения можно записать преобразование Фурье для

ФС: если синусоида определена на интервале, ее энергия бесконечна. След-во в ПФ везде нули.

6. ПФ для симметричного единичного импульса:

,

Едичный импульс симметричен преобразование Фурьеявляется действительной функцией.

7. ПФ для произведения функций– ПФ

Изменив порядок интегрирования, с учётом выражения интеграла Фурье для комплексной синусоиды получим

Cy(w)=Преобразование Фурье от произведения функций равняется свёртке преобразований Фурье сомножителей.

5.Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова. Кажущиеся частоты и протимаскировочная фильтрация.

Положим, что задан исходный непрерыв­ный сигналкоторый является в общем случае комплек­сным и определённым в бесконечных временных пределах. Для данного сигнала производится дискретизация во времени, гдеT– интервал дискретиза­ции;– дискретные значения непре­рыв­ного сигнала;– частота дискретиза­ции, Гц;– круговая частота дискретизации. При фиксированном временном интервалеT, дискретизация осуществляется равномерно для моментов времени{Дискретизация может производиться неравномерно для произвольных моментов времении её результатом служит соответствующая последовательность дискретных значений непрерывного сигналаЗдесь} будем рассматривать только равномерную дискретизацию во времени; пренебрежём погрешностями, возникающими из-за дискретизации по уровню.

Задача восстановления непрерывного сигнала по его дискретным значениямзадача интерполяции. Восстановление сигнала здесь состоит в том, что по бесконечной последовательности дискретных значе­ний сигналанеобходи­мо найти значения непрерывного сигнала для промежуточных моментов времени

Исходный сигнал принадлежит к некоторому заданному классу функ­ций; допустим, что можно подобрать, у базис­ные функцииВ качестве восстановлен­ного сигналадляпримем предел

Задача восстановления может считаться успешно решённой, если будет выполнено равенство

(3.4.1)

{Возможность восстановления сигнала по его дискретизованным значениям зависит от частотных свойств сигнала и выбранной частоты дискретизации. Высокая частота дискретизации, очевидно, позволит осуществить восстановление сигнала; для низкой частоты дискретизации восстановление в ряде случаев проблематично. }

Появление «кажущихся» частот Неправильно выбранная частота дискретизации, которая не согласована с частотными свойствами сигналов, приводит к появлению так называемых «кажущихся» частотных составляющих.Разберём пример, в котором дискрети­за­ции подвергает­ся непрерывный синусоидальный сигнал видас периодомНа рис.  исходный сигнализобра­жен сплош­ной линией. Подвергнем исходный непрерывный сигналдискретизации с частотой– четыре точки дискретизации на один периодинтервал дискретизацииДискретизованные значения исходного сигнала отмечены чёрными жирными точками.Уменьшим частоту дискре­тизации, примем её равнойпериод дискретизацииэти точки дискрети­зации отмече­ны кругами на пунктирной линии. В первом случае частота дискрети­зации больше двойной частоты сигнала, дискретизован­ный сигнал воспринимается как сигнал с периодоми его «кажущая­ся» частота совпадает с частотой исходного сигнала. Во втором случае частота дискретизации меньше двойной частоты сигнала, дискретизованный сигнал восприни­мается как сигнал с перио­доми его кажущаяся частота меньше частоты исходного сигналаВследствие неудачного выбора частоты дискретизации имеет место очень сильное искажение информа­ции, «кажущаяся» частота сигнала меньше частоты исходного сигнала, что и видно из рис. 3.4.1.

Рассмотрим более детально существо проблемы возникнове­ния «кажущихся» частотных составляющих для дискретной синусоидальной функции Введём частоту Найквиста, равную половине частоты дискретиза­ции,Всегда можно представитьгде– целое,Учитывая равенствозапишем:

1) частота Найквиста больше частоты сигнала – тогдаи справед­ливо: ветствует значению -чай -частота Следует, что и– «кажущаяся» частота совпадает с частотой исходного сигнала. 2) частота Найквиста меньше частоты сигнала – в частном случае положимpчетным,при этомиОказы­вается, что во втором примере «кажущаяся» частота меньше частоты исходно­го сигнала. Данные примеры позволяют сделать заключение, что для совпадения частоты сигнала и «кажущейся» частоты, частота Найквиста должна быть больше частоты дискретизуемого сигнала.

Теорема Котельникова

Установим возможность точного восстановления непрерывных сигналов по их дискретным значениям. В рамках теоремы Котельникова рассматриваются сигналы, принадлежащие к классу сигналов с финит­ным преобразовани­ем Фурье. Сигналимеет финит­ное преобра­зование Фурье, обозначаемое какесли: 1)для всех частот2)тождественно не равно нулю для частотгде– верхнее значение частоты сигнала – полоса сигнала. Теорема Котельникова утверждает, что для сигналов с финитным преобразовани­ем Фурье возмож­но точное восста­новление сигнала по дискрет­ным наблюде­ни­ям, если круговая частота дискретиза­цииудовлетво­ряет строгому неравен­ствугде– полоса сигнала, Гц,

Представим исходный сигнал на основе обратного преобра­зо­вания Фурье, если– финит­ное преобра­зова­ние Фурье:

Возьмём разложим функциюв комплексный ряд Фурье на данном интервале

(3.4.2)

Учитывая введённое соотношение между величинами изапишем

(3.4.3)

Справед­ливо равен­ство, вытекающее из (3.4.2), (3.4.3), связыва­ющее дискрет­ные значе­ния сигнала и коэффициен­ты фурье-разложе­ния

Подставим коэффициенты фурье-разложения в выражение дляиз (3.4.2):

(3.4.4)

Подставим выражение (3.4.4) в ( 3.4.3)

Переменим порядок интегрирования и суммирования

Сделаем замену при этом частота дискретизации окажется равнойи переобозначим индексы суммирования

Сигналможет быть представлен в виде разложения по базисным функциямс весовыми коэффициентами:

Таким образом, в соответствии с теоремой Котельникова сигнал с финитным преобразованием Фурье с полосой при выборе частоты дискретизациидопускает точное восстановление – выполнение равенства (3.4.1).

Противомаскировочные фильтры Устранение эффекта маскировки (наложения) может быть реализовано двумя способами.

1. устранение может быть осуществлено с помощью назначения высокой частоты дискретиза­ции, которую необходимо выбрать таким образом, чтобы её величина была бы более чем в два раза больше, чем значение полосы сигнала.

2. если по некоторым техничес­ким причинам нельзя назначить высокую частоту дискретиза­ции, то исходный непрерывный сигнал, прежде чем подвергнуть дискрети­зации, следует пропустить через аналого­вый низкочас­тотный фильтр с частотой среза и с АЧХ, изображенной на рис. 1.3.6. В отфиль­трован­ном сигнале не должны содержать­ся составля­ющие с частотой выше, чем указанная частота срезаНизкочас­тотный фильтр должен отсечь неинфор­мативные (помеховые) высоко­час­тотные состав­ляющие сигнала. Для частоты дискретизации подобным образом отфильтрованного сигнала необходи­мо выполнение неравен­ства

Указанная фильтра­ция называется противомаскиро­вочной, а используемые аналоговые фильтры –противомаскировочными.

Рис. 1.3.6. АЧХ противомаскировочного фильтра