4.Структурные преобразования днс

1. E^*(s)=G^*(s)-X₁^*(s), X₁(s)= E^*(s)W₁(s)W₂(s),

X₁^*(s)= E^*(s)[W₁(s)W₂(s)]^*= E^*(s)W₁W₂^*(s)

X^*(s)= E^*(s)W₁^*(s)

Ф*(s)=X*(s)/G*(s)

2. E^*(s)=G^*(s)-X₁^*(s),

X₁^*(s) = E^*(s)W₁^*(s)W₂W₃^*(s),

3. (лучше не писать, подозрительно)

ПФ = не существует

5. Основы теории z-преобразования.

Z=e^sT s=σ+jω, s – комплексная переменная.

ReZ= e^TσcosωT ImZ= e^TσsinωT

z-преобразование используется только для дискретных по времени сигналов. X(z) – z-преобразование сигнала x*(t), если x(t), то предполагается, что сигнал квантуется по времени.

Таким образом основная полоса преобразуется в окружность единичного радиуса. Причем полюса, находящиеся в левой полуплоскости, лежат внутри круга.

Доп. полюса наложатся точно также. Следовательно, вся левая полуплоскость отражается в круг единичного радиуса.

W(s) 3-го порядка, λ_i – полюса. W*(s) -> появляется полоса . Полюса повторяются, так как появляется трансцендентная модель.

Z=e^sT s=jω

точки: 1) s=0 2) 3) 4)

|λ_i |< 1 для всех полюсов в левой полуплоскости, она находятся внутри окружности. Для 2-й полосы полюсы в z-плоскости получаются те же. Проблема трансцендентности снимается.

, где M(z) и D(z) – дробно-рациональные ф-ии

Пример

Теоремы z-преобразований:

1) Теорема о начальном значении: . Если x(t) имеет z-преобрахование, и предел существует, то выполняется теорема, и начальное значение функции равно пределу.

2) Теорема о конечном значении: Если x(t)->X(z) для любого |z_i| < 1 и если функция (1-z^-1)X(z) не имеет полюсов вне единичной окружности, то .

Обратное z-преобразование:

5. Методы анализа устойчивости цифровых систем.

Замкнутая система

1+W(z)=0 => a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₁z+a₀=0

полюса – z₁…z_n

Система устойчива для всех полюсов

1) алгебраические критерии.

- критерий Гурвица

- критерий Шур-Кона

Они оперируют с коэффициентами a_n, a_n-1, …, a₁, a₀. По алгебраическим критериям нельзя определить запасы устойчивости.

2) частотные критерии

Критерий Найквиста для дискретного случая остается практически неизменным, за исключением того, что  меняется на :

Для того, чтобы ЛДС была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы ее частотные характеристики в разомкнутом состоянии обладали следующими свойствами: число переходов фазовой характеристики через прямую -180 ( -540, … ) при L() > 0 равнялось m/2 (m-число полюсов в правой полуплоскости в разомкнутом состоянии).

Переход сверху–вниз с минусом, снизу-вверх с плюсом

5. Применение билинейного преобразования к передаточным функциям разомкнутых систем управления.

пл. s пл.z пл.w

Вводится новая плоскость – разворачиваем окружность единичного радиуса в левую полуплоскость.

z = e^jT = cos(T) + jsinT

 - псевдочастота (безразмерная величина) – чисто мнимая переменная, окружность снова разворачивается в левую полуплоскость.

Связь псевдочастоты с кр. частотой :

если , то зависимость линейная

При применении сначала z-, а затем w-преобразования к передаточной функции получим W(w). Появятся типовые звенья, но уже от w, а не от s.

;

s = j  w = j

 - псевдочастота