6.3. Задачи синтеза цф

6.3.1. Классификация фильтров по типу АЧХ

Как правило, построение ЦФ начинается с выбора варианта синтезируемой передаточной функции (варианта амплитудно-фазо­частотной характеристики). Для решения этой части задачи синтеза целесообразно рассмотреть достаточно часто встречающуюся классификацию фильтров по типу АЧХ. Приведённые здесь варианты АЧХ являются функциями, которые зависят от нормированных цифровых частот w; разумеется, представленные АЧХ могут быть рассмотрены как функции аналоговых частот .

Низкочастотные фильтры (lowpass-фильтры) реализуют функцию пропускания сигналов с низкими частотами с коэффициентом усиления и непропускания сигналов с высокими частотами с коэффициентом усиления Общий вид функций АЧХ таких фильтров, обозначаемых как в зависимости от нормированной частоты для диапазонапредставлен на рис. 6.3.1а.

Рис. 6.3.1а. АЧХ для низкочастотных фильтров

Рис. 6.3.1б. АЧХ для высокочастотных фильтров

Для АЧХ таких фильтров могут быть справедливы следующие соотношения:

где – нормированная частота среза

АЧХ рассматриваемых фильтров отличаются крутизной в окрестности (рис. 6.3.1б); так, для рис. 6.3.1а уменьшение АЧХ от единицы до нуля происходит в диапазоне для случая рис. 6.3.1в уменьшение АЧХ происходит в диапазоне

Рис. 6.3.1в. АЧХ для низкочастотных фильтров с увеличенной крутизной

Рис. 6.3.1г. АЧХ с колебаниями для низкочастотных фильтров

Во втором случае АЧХ имеет большую крутизну, чем в первом. Идеальная АЧХ для низкочастотного фильтра удовлетворяет соотношениям

для

для

где – граничная частота, определяющая полосу пропускания. Для некоторых типов фильтров функции АЧХ (низкочастотные и др.) допускают колебания(рис. 6.3.1г).

Высокочастоные фильтры (highpass-фильтры) пропускают сигналы с высокими частотами и не пропускают сигналы с низкими частотами. Общий вид АЧХ таких фильтров, обозначаемых в виде функции зависящей от нормированной частоты в диапазонеизображён на рис. 6.3.1б. По аналогии с низкочастотными фильтрами, запишем

Полосовые пропускающие фильтры (bandpass-фильтры) реализуют функцию пропускания сигналов в заданной полосе частот. Возможный вариант функции АЧХ для полосовых пропускающих фильтров имеет вид, представленный на рис. 6.3.2а. Для указанных фильтров назначаются две частоты среза которые определяют нормированные частоты полосы пропускания. АЧХ полосовых фильтров удовлетворяет условиям

Для идеальной АЧХ полосового пропускающего фильтра в области частот, удовлетворяющих неравенству должно выполняться условие

для для .

Рис. 6.3.2а. АЧХ для полосового пропускающего фильтра

Рис. 6.3.2б. АЧХ для полосового заграждающего фильтра

Полосовые заграждающие фильтры (stopbandpass-фильтры) задерживают сигналы в заданной полосе частот. Вариант АЧХ для полосовых задерживающих фильтров изображён на рис. 6.3.2б. Так же как и для полосовых пропускающих фильтров, для указанных фильтров назначаются две частоты срезаАЧХ полосовых заграждающих фильтров удовлетворяет условиям

Приведённая классификация типов АЧХ не является полной. АЧХ, изображённые на рис.6.3.1а, 6.3.1б, 6.3.2а, 6.3.2б, являются базовыми. Целый ряд АЧХ для ЦФ может быть сформирован на основе рассмотренных базовых АЧХ.

6.3.2. Постановки задач синтеза ЦФ

Разберём некоторые варианты постановок задач синтеза ЦФ. В самом общем случае задача синтеза ЦФ интерпретируется как задача аппроксимации.

Пусть задаётся структура синтезируемого ЦФ – определены порядки числителя и знаменателя ПФ, что означает возможность формирования вектора с, состоящего из параметров фильтра. Задание структуры фильтра и набора параметров означает, что для любых значениях T и вектора параметров с можно вычислить значения ПФ для синтезируемого ЦФ в виде модельной комплексной функции Далее в задаче синтеза задаётся эталонная комплексная ПФкоторая должна быть аппроксимирована с помощью модельной ПФсинтезируемого ЦФ в заданной области частот, например дляЗадача синтеза состоит в подборе оптимального вектора параметров ЦФкоторый должен служить решением задачи аппроксимации эталонной комплексной функциис помощью модельной комплексной функции

Во многих практических случаях возможны ситуации, когда требуется решать задачу синтеза ЦФ, учитывая только АЧХ ФЧХ при этом не принимается во внимание. В более общем случае синтезируются одновременно заданного вида АЧХ и ФЧХ. Иногда при синтезе учитываются дополнительные требования на передаточную функцию. Например, требование на вид ФЧХ – обеспечение линейности требования к величинам порядков для числителя и знаменателя ПФ; требова­ния, предъявляемые к параметрам для обеспечения устойчи­вости; иногда при синтезе может возникать требование к крутизне АЧХ  (Дб/Гц) в некотором заданном диапазоне частот на основе обеспечения неравенства

Рассмотрим более подробно синтез ЦФ как задачу аппроксимации. Пусть задан диапазон частот на котором рассматривается построение ЦФ, определяется набор частотне обязательно распложенных равномерно, и в этих частотных точках задаются значения эталонной ПФ

Далее определяется модель ПФ зависящая от вектора параметровc. Модель для ПФ может быть задана двумя способами: на основе соотношения (6.2.2), выведенного из разностных уравнений

и на основе соотношении (6.2.5), выведенного из представления ПФ на комплексной плоскости

.

В первом и втором случаях вектор c модели при фиксированных значениях порядковимеет размерность

Требование устойчивости цифрового фильтра удобно сформировать из второй модели. Это требование эквивалентно назначению ограничения на параметры

Затем формируются разности комплексных передаточных функций и функционалопределяющий меру их близости

Построение ЦФ сводится к решению задачи аппроксимации, решаемой на основе нелинейного программирования:

Отметим, что сформулированная в общем виде подобная задача синтеза ЦФ может быть решена для БИХ-фильтров только в исключительных случаях из-за того, что формируемая модель зависит от вектора параметровc достаточно сложным образом. Для КИХ-фильтров модельная линейно зависит от вектораc, аппроксимационная задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Следует иметь в виду, что предложенная постановка является полезной для формирования правильного подхода к задачам синтеза ЦФ.

6.3.3. Метод билинейного z-преобразования

Решение задачи построения ЦФ может быть достаточно просто и эффективно осуществлено на основе метода билинейного z-преобразования с использованием аналоговых фильтров-прото­типов. Рассмотрим основные соотношения для реализации указанного метода.

Заметим, что ПФ для аналоговых фильтров, являющаяся комплексной функцией, определена в верхней полуоси комплексной плоскости в точках ПФ для ЦФ определена на точках единичной окружности в точкахгде– частоты аналоговых и цифровых фильтров. Пусть реализуется перевод точек единичной окружности комплексной плоскости в точки верхней полуоси с помощью конформного отображения, называемого билинейным

(6.3.1)

где  играет роль масштабирующего множителя. Найдём связь аналоговых и цифровыхчастот для указанного преобразования

В дальнейшем будем полагать С учётом введённой нормированной частотызапишем два варианта формул для связи аналоговых и цифровых частот в результате билинейного преобразования переменныхp и z:

. (6.3.2)

На рис. 6.3.3 изображён график нелинейной зависимости (6.3.2), связывающей аналоговые и цифровые нормированные частоты  и w.

Рис. 6.3.3. График нелинейной зависимости для аналоговых

и цифровых частот  и w

Исходя из предлагаемого перевода частот по формуле (6.3.2), вытекающей из билинейного z-преобразования (6.3.1), может быть предложен метод преобразования ПФ аналоговых фильтров-прототипов в ПФ для ЦФ. В заданной ПФ аналогового фильтра-прототипа, зависящей от оператора Лапласа p, сделаем формальную замену переменной p в ПФ аналогового фильтра с помощью рассматриваемого билинейного преобразования. Получим ПФ цифрового фильтра, которая зависит от опера­тора z:

.

Очевидно, что общий вид АЧХ ЦФ будет совпадать с АЧХ аналогового фильтра прототипа, изменится только масштаб по оси частот в соответствии с выведенными формулами (6.3.2) связи аналоговых и цифровых частот.

Рассмотрим пример АЧХ аналогового фильтра второго порядка в виде колебательного звена

(6.3.3)

На рис. 6.3.4 изображена АЧХ для рассматриваемого аналогового фильтра для численных значений Применим к ПФ(6.3.3) аналогового фильтра-прототипа билинейное преобразование, получим ПФ для ЦФ

,

(6.3.4)

Так как то на основе (6.3.4) может быть вычислена АЧХ для ЦФНа рис.6.3.4 изображён графикв зависимости от нормированных частотПроцедура перевода АЧХ аналогового фильтра-прототипа в АЧХ ЦФ с помощью билинейного преобразования иллюстрируется на рис. 6.3.4. Возьмём некоторые частоты икоторые связаны с помощью формулы (6.3.2)(см. рис. 6.3.3). Видно, что применённое билинейное преобразование меняет только масштаб кривых АЧХ, поскольку

Рис. 6.3.4. Перевод АЧХ аналогового фильтра в АЧХ цифрового фильтра с помощью билинейного преобразования

Рассмотрим этапы метода билинейного преобразования для задачи синтеза ЦФ. В этом методе назначаются последовательность характерных частот для синтезируемого ЦФ (в частном случае это могут быть частоты среза), последовательность характерных значений АЧХ ЦФинтервал дискретизацииT и задаётся ПФ аналогового фильтра-прототипа зависящая от вектора параметровС использованиемформируется функция АЧХ

На первом этапе на основе (6.3.2) характерные цифровые частоты переводятся в характерные аналоговые частоты

i = 1, 2,…, m.

На втором этапе с помощью АЧХ аналогового фильтра-прототипа и последовательностейi = 1, 2,…, m, записывается в общем случае нелинейная система уравнений, зависящих от параметров ,i = 1, 2,…, m:

Решение этой системы, например, подходящим численным методом, позволяет найти параметры аналогового фильтра-прототипа

и на их основе полностью определить ПФ аналогового фильтра.

На третьем этапе с помощью билинейного преобразования (6.3.1) ПФ полностью определённого аналогового фильтра переводится в ПФ ЦФ – формируется ПФ для синтезированного ЦФ в видезависящая от оператораz, на основе которой формируется АЧХ ЦФ Очевидно, для назначенныхсинтезированный ЦФ должен обеспечить выполнение соотношений

Реализуем этапы задачи синтеза ЦФ низких частот с назначенными цифровой частотой среза и интервалом дискретизации T. Выберем апериодическое звено в качестве аналогового фильтра-прототипа. Передаточная функция и квадрат АЧХ для такого фильтра будут иметь вид

. (6.3.5)

На основе заданного значения цифровой частоты среза вычислим требуемую частоту среза для аналогового фильтра-прототипавоспользуемся формулой (6.3.2)

Найдём параметр для аналогового фильтра-прототипа на основе найденной частоты среза

Благодаря найденному значению параметра ПФ аналогового фильтра-прототипа является полностью определённой.

Сформируем ПФ для ЦФ путём подстановки билинейного преобразования в определённой ПФ аналогового фильтра-прототипа:

. (6.3.6)

Запишем выражение для квадрата АЧХ синтезируемого цифрового фильтра

(6.3.7)

Разберём численный пример, зададим для синтеза ЦФ исходные значения и Применив (6.3.2), найдём частоту среза аналогового фильтра-прототипа на основе которой вычислим постоянную времениДалее ПФ (6.3.5) с помощью подстановки билинейного преобразования переведём в ПФ ЦФ (6.3.6). На рис. 6.3.5 изображены функции АЧХ для синтезированного ЦФ – сплошная кривая и аналогового фильтра-прототипа– пунктирная кривая,Видно, что аналоговый фильтр-прототип удалось с помощью билинейного преобразования перевести в ЦФ с назначенной частотой среза.

Рис. 6.3.5. Синтез ЦФ низких частот