5.3. Вычисление апериодических свёрток

Рассмотрим алгоритмы вычисления апериодических свёрток. Пусть последовательности входящие в свёртки (5.1.1), определены вточках,длядляАпериодическая свёртка определяется следующим выражением

(5.3.1)

На рис. 5.3.1 схематически изображена процедура вычисления апериодической свёртки, основанный на движении вправо графика функции за счёт увеличения индексаi.

Рис. 5.3.1. Процедура вычисления апериодической свёртки

Последовательность определена вточках. Если раскрыть выражение для апериодической свёртки, то из представления суммыследует возможность следующей записи:

Апериодические свёртки могут быть сведены к круговым. Введём последовательности определённые вточках:

Периодически продолжим последовательности с периодомПосле доопределения можно убедиться в справедливости записи исходной апериодической свёртки в форме круговой:

и возможности равенства

Сведение апериодических свёрток к круговым в ряде случаев не всегда удобно реализовывать, когда длина одной последовательности много больше длины другой, например при Разобьём интервал определения свёртки на некоторое число состыкованных участков – локальных интервалов, и вычислим основную свёртку по частям – осуществим секционирование свёртки. Положим, что m – число локальных интервалов; N – число точек на локальном интервале. Последовательность разобьём на суммуm подпоследовательностей

Благодаря такому определению входная последовательность может быть сформирована в виде суммы

Выпишем выражение для образующихся секционированных свёрток

Получим окончательный результат – апериодическая свёртка представляется суммой перекрывающихся свёрток

Вычисление сводится к короткой круговой свёртке размерностинахождениеэквивалентно вычислениюm круговых свёрток длиной точек. Видно, чтоопределена вточках, тогда как подпоследовательностьимеет длинуN, поэтому суммирование при вычислении исходной свёртки осуществляется с «перекрытием».

Список вопросов для самопроверки к гл. 5

1. В чём состоит определение для круговых свёрток?

2. Каким образом реализуется вычисление круговых свёрток на круговой диаграмме?

3. Каким образом вычисление круговых свёрток сводится к вычислениям ДПФ?

4. В чём состоит отличие определения для апериодических свёрток от определения круговых вёрток?

5. Каким образом вычисление апериодических свёрток сводится к вычислению круговых свёрток?

6. Каким образом реализуется секционирование апериодических свёрток?

Глава 6. Цифровая фильтрация сигналов

6.1. Разностные уравнения и импульсно-переходные функции

цифровых фильтров

6.1.1. Разностные уравнения цифровых фильтров

Разностные уравнения для цифровых фильтров (ЦФ) задаются соотношениями типа

. (6.1.1)

В соответствии с (6.1.1), ЦФ осуществляют линейное преобразование входного сигнала в виде скалярной последовательности , определённой для дискретных индексов, в выходной сигнал в виде последовательности,. ЗдесьT – интервал дискретизации, хотя в явном виде разностные уравнения (6.1.1) не зависят от T.

ЦФ полностью определяется набором коэффициентов разностного уравнения – весовыми параметрами , и, как следствие, целыми числами, которые задают порядок ЦФ. Формирование выходной последовательности начинают с дискретного индекса. Значениевычисляется на основеначальных условий для входной последовательности изначений входной последовательностидлявычисляется на основезначений входной последовательностиизначений входной последовательностии т.д. Выходной сигнал ЦФ (6.1.1) состоит из суммы сдвинутых и взвешенных значений входного сигнала – скользящего среднего входного сигнала и обратной связи – суммы сдвинутых и взвешенных значений выходного сигнала.

ЦФ делятся на два класса. К первому классу относятся нерекурсивные цифровые фильтры (НРЦ-фильтры) или фильтры скользящего среднего, разностные уравнения для которых представляются соотношением

. (6.1.2)

Сигнал с выхода таких фильтров не зависит от обратной связи. Ко второму классу относятся рекурсивные цифровые фильтры (РЦ-фильтры), являющиеся фильтрами общего вида, разностные уравнения для которых определены в (6.1.1); для этих фильтров выходной сигнал зависит от сигнала обратной связи. Следует отметить один частный вид РЦ-фильтров без скользящего усреднения

.

В качестве примера приведём разностное уравнение ЦФ первого порядка в виде цифрового апериодического звена

(6.1.3)

и разностное уравнение ЦФ второго порядка в виде колебательного звена – цифрового резонатора

(6.1.4)

На рис. 6.1.1а приведена иллюстрация выходного сигнала фильтра первого порядка (6.1.3) при действии входного единичного ступенчатого воздействия, полученная в результате математического моделирования. Для расчёта брались значения для. Начальное условиеВидно, что дискретные значения выходного сигнала фильтрадлястремятся асимптотически к величине Рис. 6.1.1б содержит изображение выходного сигнала фильтра второго порядка (6.1.4) при действии единичного воздействиядляПри моделировании для параметров фильтра были выбраны значенияиначальные условия –Выходной сигналпредставляет собой дискретные затухающие колебания, которые стремятся асимптотически к постоянной величине

Рис. 6.1.1а. Выход ЦФ первого порядка при действии ступенчатого

единичного входного сигнала

Рис. 6.1.1б. Выход ЦФ второго порядка при действии ступенчатого

единичного входного сигнала

Возможно дальнейшее обобщение для ЦФ, когда входная и выходная последовательности являются векторами размерности а весовые параметры – матрицамиразмерности

, ,,

.

Векторно-матричный фильтр записывается с использованием введённых обозначений

.

Очевидно, любой рекурсивный скалярный фильтр общего вида с помощью новых обозначений для сдвинутых переменных может быть записан в матрично-векторной форме. Действительно, для примера (6.1.4) введём новые переменные и вектортогда и ЦФ (6.1.4) может быть переписан в виде дискретной системы

(6.1.5)

Система (6.1.5), в свою очередь, может быть представлена в виде матрично- векторного ЦФ первого порядка

, ,

6.1.2. Импульсно-переходные функции ЦФ

Импульсно-переходные функции ЦФ, зависящие от целочисленных аргументов, позволяют без обратной связи, напрямую, связать значения входного сигнала с выходным. Рассмотрим общий вид ЦФ (6.1.1) в виде РЦ-фильтра. Заметим, что РЦ-фильтр является линейной структурой: если проследить по формулам (6.1.1) образование выходного сигнала для i-го момента, начиная с то нетрудно понять, что для РЦФ выходной сигналпредставляется в виде некоторой линейной комбинации значений начальных условийи последовательности входного сигналаВведём весовые коэффициентыкоторые всегда можно определить из разностных уравнений в виде громоздких зависимостей от целочисленных переменныхЗапишем выходной сигнал РЦФс использованием взвешенных сумм

(6.1.6)

Функции двух переменных определённые в дискретных точках, обычно называютсяимпульсно-переходными. Необходимо, однако, иметь в виду, что выходной сигнал зависит от функциии функцииучитывающей вклад начальных условий. Если начальные условия являются нулевыми, то формула связи (6.1.6) упрощается:

(6.1.7)

Таким образом, основываясь на (6.1.6), (6.1.7), выходной сигнал ЦФ с помощью импульсно-переходной функции может быть напрямую связан со входным сигналом.

Рассмотрим вычисление импульсно-переходной функции для рекурсивного скалярного фильтра первого порядка

Выразим череззатемчерез и т.д.:

,

…

Из приведённых выкладок заключаем, что для i-го шага справедливо выражение, позволяющее вычислить значение через начальное условиеи входную последовательность

(6.1.8)

Исходя из (6.1.8) можно записать формулу для импульсно-переходной функции и функцииОчевидно, что нахождение импульсно-переходных функций для ЦФ порядка выше первого сопряжено со сложными выкладками. Для векторно-матричной формы ЦФ первого порядка вывод, аналогичный (6.1.8), не должен измениться:

(6.1.9)

Из (6.1.8), (6.1.9) следует, что импульсно-переходные функции зависят от разности аргументов

и могут быть представлены как функции одного положительного целочисленного аргумента . Выходной сигнал рекурсивного фильтра представляется в виде свёртки. При нулевом начальном условии справедлива компактная запись для выходного сигнала

(6.1.10)

Из (6.1.10) видно, что импульсно-переходная функция фильтра при нулевых начальных условиях тождественно равна реакции фильтра на импульсное единичное входное воздействие:

Для импульсно-переходных функций НРЦ-фильтров, с учетом формул (6.1.10), нетрудно убедиться, что справедливы следующие равенства:

В данном случае импульсно-переходные функции определены в конечном числе точек. Фильтры, имеющие такие импульсно-переходные функции, называются КИХ-фильтрами. РЦ-фильтры имеют импульсно-переходные функции, определённые в бесконечном числе точек; такие фильтры называются БИХ-фильтрами.