1 семестр / molekulyarka_i_mekhanika_fizika_2015-16 / Лаб. раб. №1.10_исправленная_15_11_2014

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.10

«ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА МЕТОДОМ ИЗГИБА»

I. Цель работы: изучение упругих деформаций различных материалов.

II. Описание установки.

Д

Рис.1. Общий вид установки ФМ-19.

ля выполнения работы используется установка ФМ-19, общий вид которой представлен на рис. 1. Основание снабжено регулируемыми опорами и узлом крепления вертикальной стойки, в верхней части которой закреплен кронштейн. Исследуемая пластина 1 помещается на призматические опоры 2, установленные на кронштейне. Там же установлен часовой индикатор 3 для измерения величины прогиба. При измерениях на середину пластины 1 кладется скоба нагружения 4 с наборным грузом 5.

В комплект установки также входят фотодатчик с узлом крепления к стойке и блок электронный ФМ-1/1 (на рис.1 не показаны).

III. Методика измерений и расчетные формулы.

Деформация — это изменение формы и/или размеров тела без изменения массы под действием внешней силы. Разные виды деформации сводятся к двум основным: сжатию-растяжению и сдвигу. При деформации образца в нем возникает сила упругости. Отношение силы упругости к площади поперечного сечения образца называется напряжением. При деформации сжатия- растяжения в образце возникает нормальное напряжение в направлении, перпендикулярном поперечному сечению. Деформация сдвига вызывается силами, направленными по касательной к сечению образца, при этом в образце возникает тангенциальное напряжение.

При малых деформациях с

Рис.2. Прогиб стержня под нагрузкой, приложенной к середине.

праведлив закон Гука: напряжение прямо пропорционально относительной деформации. Коэффициентом пропорциональности для деформации сжатия-растяжения является модуль Юнга, который определяется ка напряжение, возникающее в образце при единичном относительном удлинении (т. е. при увеличении первоначальной длины вдвое).

Деформация изгиба представляет собой неоднородную деформацию сжатия-растяжения.

Прямой упругий стержень, свободно лежащий обоими концами на твердых опорах и нагруженный в середине грузом весом Р, претерпевает деформацию изгиба, как показано на рис. 2. При таком изгибе верхние слои стержня сжимаются, нижние растягиваются, а некоторый средний — нейтральный — слой сохраняет длину и только претерпевает искривление. Перемещение d, которое получает середина стержня, называется стрелой прогиба. Стрела прогиба зависит от величины нагрузки, от формы и размеров стержня, а также от упругих свойств стержня.

Найдем связь между стрелой прогиба и характеристиками упругого стержня. В данной работе используется пластина прямоугольного сечения размерами L (длина), h (высота), b (ширина). Под воздействием внешней силы пластина искривляется, и ее форма может быть описана функцией у(х) (см. рис.2).

Возникающие в пластине силы упругости пропорциональны кривизне пластины, т. е. второй производной у"(х). Условие равновесия имеет вид:

, (1)

где E — модуль Юнга, M(x) — изгибающий момент, коэффициент I зависит от формы и размеров пластины.

Величина изгибающего момента определяется по формуле:

.

Коэффициент I для прямоугольной пластины определяется по формуле:

.

Из условия равновесия изогнутой пластины с учетом выражения для изгибающего момента получаем дифференциальное уравнение для формы пластины:

.

После интегрирования имеем:

. (2)

Константа интегрирования C определяется из условия нулевого наклона пластины в середине:

.

После подстановки выражения для C в (2) и интегрирования получаем:

.

Стрела прогиба d равна смещению середины пластины:

.

Отсюда можно выразить модуль Юнга:

. (3)

IV. Порядок выполнения работы

Определение модуля Юнга методом изгиба

1. Измерить штангенциркулем размеры одной из пластин, записать результаты. Пластину установить на опоры.

2. Установить часовой индикатор 3 таким образом, чтобы его наконечник коснулся пластины. Установить на пластину скобу нагружения.

3. Повесить на скобу гирю массой т. По шкале индикатора определить величину прогиба. Для повышения точности повторить измерения 3 раз.

4. Повторить задание п. 3, увеличивая массу гири с помощью дополнительных грузов. Всего провести измерения для 4 значений т. Результаты записать в таблицу 1.

L = ________ мм, ΔL = ________ мм,

h = ________ мм, Δh = ________ мм,

b = ________ мм, Δb = ________ мм.

Таблица 1.

5. Вычислить модуль Юнга исследуемого вещества по формуле (3) при каждой массе гири. Определить погрешность:

.

6. Вычислить среднее арифметическое значений модуля Юнга E_ср, определенных при разных массах гирь. Из относительных погрешностей выбрать максимальную ε_Emax. Определить абсолютную погрешность модуля Юнга:

ΔE = E_ср·ε_Emax.

Окончательный результат записать в виде:

E = E_ср ± ΔE.

7. По справочнику определить номинальное значение модуля Юнга для изучаемого материала. Определить относительное отклонение измеренного значения E от справочного, сравнить его с погрешностью, сделать вывод.

8. Повторить пп. 1-7 для другой пластины.

Определение модуля сдвига

Теоретическое значение модуля сдвига G_T определяется по справочнику.

1. Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника.

1.1 Повесить одну из исследуемых пружин на кронштейн. Повесить на пружину наборный груз.

1.2 Кронштейн с вертикально подвешенной пружиной закрепить на вертикальной стойке таким образом, что бы наборный груз, подвешенный к пружине, своей нижней плоскостью совпадал с оптической осью фотодатчика, закрепленного в нижней части стойки (оптическая ось фотодатчика совпадает с рисками на фотодатчике).

1.3 Нажать кнопку «СЕТЬ» блока. При этом должно включиться табло индикации.

Поднять груз немного вверх и отпустить. При этом груз начинает совершать колебательные движения на пружине. Нажать на кнопку «ПУСК», определить значение времени 20 колебаний груза по формуле:

где t – время колебаний,с

n – число колебаний.

1.4 Определить модуль сдвига по формуле

где m – масса груза, кг;

D – средний диаметр пружины (измерить при помощи штангенциркуля);

d – диаметр проволоки (d₁=0,0008 м, d₁=0,001 м,);

N – число витков пружины.

1.5 Определить относительную погрешность модуля сдвига по формуле:

.

Окончательный результат записать в виде:

G_э = G_э ± ΔG.

1.6 Определить относительное отклонение экспериментального значения модуля сдвига от теоретического и сравнить его с погрешностью, сделать вывод.

2. Определение модуля сдвига методом растяжения пружины.

2.1 Снять кронштейн с фотодатчиком. Повесить на пружину груз массой m₁=0,05 кг. При помощи линейки замерить положение нижней плоскости груза y₂ .

2.2 Определить удлинение пружины y по формуле:

y = y₁ — y₂.

2.3 Определить модуль сдвига по формуле:

где F=mg – сила растягивающая пружину, Н; m=m₂-m₁=0,1 кг; R=D/2 – средний радиус пружины, м.

2.4 Определить относительную погрешность по формуле:

.

Записать окончательный результат в виде:

Gэ = Gэ ± ΔG.

2.5 Определить относительное отклонение экспериментального значения модуля сдвига от теоретического и сравнить его с погрешностью измерений. Сделать вывод.

Контрольные вопросы

1. Что такое ось изгиба?

2. Что такое нейтральная линия?

3. Что такое стрела прогиба?

4. Что такое напряжение? Тангенциальное и нормальное напряжение.

5. Что такое натяжение и давление? Чем отличаются эти понятия?

6. Из круглого бревна диаметра D требуется изготовить балку прямоугольного поперечного сечения, чтобы ее изгиб был минимальным. Определить ширину а и толщину h такой балки.

5