Лабораторная работа № 1.9а «изучение закона сохранения момента количества движения с помощью гироскопа»

I.Цель работы: изучение законов сохранения момента импульса, определения угловой скорости процессии и момента инерции гироскопа.

II.Описание экспериментальной установки

Фотография установки «Гироскоп ФМ 18M» представлена на рис.1.В состав установки входят следующие элементы.

Основание 2.Оно снабжено тремя регулируемыми опорами 1 с фиксирующими винтами 3 и уровнем 15.Корпус 4 с узлом подшипников, вертикальным валом с винтом фиксации 13 и коллектором. На валу установлены лимб 12 и вилка 6. Лимб и указатель 5, установленный на корпусе 4, предназначены для определения угла поворота гироскопической системы во время прецессии. На вилке 6 установлена гироскопическая система 8, которая состоит из электродвигателя-маховика с встроенным датчиком скорости вращения и стержней 7, 11.Гироскопическая система настроена так, что центр тяжести маховика находится точно над точкой опоры гироскопа O_. При этом ℓ_ = 0. Так как стержни 7, 11 совершенно одинаковые, то суммарный момент внешних сил равен нулю. На стержни в процессе работы устанавливается противовес 10 с фиксирующим винтом 9.Масса противовеса равна m_ =207,2 кг. Электронный блок ФМ 1/1 М, который подключается к разъему 14 гироскопа с помощью кабеля.

III. Методика измерений и расчетные формулы.

Гироскоп – это быстро вращающееся твёрдое тело, ось вращения которого не фиксирована, а может свободно изменять своё направление в пространстве, то есть поворачиваться. Одна из точек оси вращения обычно закреплена. Эту точку называют точкой опоры гироскопа. Главная особенность гироскопа состоит в том, что для поворота его оси вращения требуется очень большое внешнее воздействие. Иными словами, направление заданной изначально оси вращения гироскопа обладает высокой устойчивостью.

Наибольшее значение в науке и технике имеют симметричные гороскопы. Они обладают геометрической осью симметрии, и их приводят во вращение именно вокруг этой оси.

Теория гироскопов основана на уравнении моментов. Его ещё называют основным законом динамики вращательного движения. Этот закон состоит в том, что моменты внешних сил M_i, действующие на механическую систему, приводят к изменению момента импульса системы L. При этом скорость изменения момента импульса равна суммарному моменту внешних сил:

. (3.1)

Момент импульса системы L– это по определению сумма моментов импульсов L_k материальных точек, образующих систему, а момент импульса материальной точки L_k – это векторное произведение радиус-вектора точки r_k на её импульс p_k.

. (3.2)

Если твёрдое тело вращается вокруг неподвижной (фиксированной) оси с угловой скоростью , то оказывается, что его момент импульса L параллелен вектору  и, более того, связан с ним формулой

, (3.3)

где I – момент инерции тела относительно оси вращения. При этом оба вектора Lи  направлены вдоль оси вращения. Ось вращения гироскопа не фиксирована, поэтому связь между L и немного иная. Выясним её (без доказательства). Как известно, всякий вектор можно представить в виде суммы двух взаимно перпендикулярных векторов (Это называется «разложить на составляющие»). Вектор можно разложить на следующие составляющие:_, направленную вдоль оси симметрии, и _, направленную перпендикулярно оси симметрии,

, (3.4)

При этом оказывается, что

, (3.5)

где I_ – момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, I_ – момент инерции гироскопа относительно оси, перпендикулярной оси симметрии. Так как I_и I_обычно не равны друг другу, то в общем случае L,  и ось вращения направлены по-разному. Как отмечалось выше, гироскоп первоначально раскручивают вокруг его оси симметрии. Поэтому в начальном состоянии

. (3.6)

Таким образом, в начальном состоянии L,  и ось вращения направлены одинаково. Однако с течением времени эта параллельность может нарушиться, так как согласно уравнению моментов (3.1) моменты внешних сил изменяют момент импульса гироскопа, что, в свою очередь, приводит к изменению угловой скорости. В чём состоит это изменение и нарушается ли при этом параллельность между L,  и осью вращения, зависит от конкретного устройства гироскопа и от сил, создающих моменты.

Рассмотрим гироскоп, состоящий из лёгкого стержня, на котором надеты диск-маховикM, масса которого много больше массы стержня, и цилиндрический противовес Р (рисунок 3.1). Маховик соединён со стержнем с помощью подшипника, поэтому он может вращаться вокруг стержня. Противовес вокруг стержня не вращается, но его можно перемещать вдоль стержня и закреплять в любой точке O₂. В точкеO₁ стержень гироскопа шарнирно закреплен с вертикальной подставкой S, так что O₁ является точкой опоры гироскопа. Ось O_s – это ось симметрии гироскопа.

Рассмотрим поведение гироскопа. Во-первых, так как маховик вращается, он обладает моментом импульса L– см. рисунок 3.2. Во-вторых, на маховик массой m_и противовес массой m_действуют силы тяжести и .(Сила тяжести, действующая на стержень, много меньше G_ и G₂, поэтому её можно не учитывать).

Линии, вдоль которых действуют силы G_ и G₂, не проходят через ось вращения O_, поэтому возникают два момента сил:и. Момент M_вызывает вращение гироскопа против часовой стрелки, следовательно, он направлен к наблюдателю (это показано точкой), Момент M₂вызывает вращение по часовой стрелки, следовательно, он направлен от наблюдателя (показано крестиком). Таким образом, векторы M_ и M2 антипараллельны.

Если противовес установлен так, что модули этих векторов одинаковы, то есть , то итогда суммарный момент сил, действующих на гироскоп, равен нулю. При этом ось гироскопа будет сохранять горизонтальное положение независимо от того, вращается маховик или нет. Если , то поведение гироскопа зависит от того, вращается маховик или нет. В случае, когда маховик не вращается, гироскоп под действием момента сил будет вести себя привычно: он будет поворачиваться по часовой стрелке или против часовой стрелки в зависимости от того, какой из моментов сил больше. Если же маховик вращается, то движение гироскопа необычно: его ось будет сохранять горизонтальное положение, а гироскоп в целом будет поворачиваться в горизонтальной плоскости. Это вращение называется вынужденной прецессией. Выясним причину этого явления и определим, от чего и как зависит частота прецессии.

На рисунке 3.3 показан вид на гироскоп сверху. Чтобы не загромождать рисунок, маховик показан в виде точки. Будем для определённости считать, что , так что суммарный момент сил на рисунке 3.2 направлен от наблюдателя, а на рисунке 3.3 – вверх.

Пусть в начальный момент времени (в момент установки и закрепления противовеса) маховик вращается с угловой скоростью (0). При этом он (и весь гироскоп в целом) обладает моментом импульса L(0).Согласно (3.6) и начальный момент импульса направлен так же, как и угловая скорость, то есть вдоль оси гироскопа. Из уравнения моментов следует, что за малое время dt момент силы M изменит момент импульса гироскопа на dL =Mdt. Так как ML(0),то и dLL(0). Поэтому вектор L по величине не изменяется, а только поворачивается на малый угол d.Из (3.5) следует, что

. (3.7)

Так как, то. По определению, вектор _ перпендикулярен оси гироскопа, поэтому в (3.7) два вектора d_и dL имеют одно и то же направление. Следовательно, такое же направление имеет и вектор d₀. Это значит, что d₀₀, то есть вектор ₀ не изменяется по величине, а только поворачивается – так же, как и вектор момента импульса L.

Итак, во-первых, скорость вращения гироскопа вокруг его оси ₀ сохраняется неизменной. Во-вторых, по определению, вектор ₀ направлен вдоль оси вращения, поэтому поворот вектора ₀ означает поворот оси гироскопа

Из (3.5) следует, что с течением времени у вектора L появляется составляющая, перпендикулярная оси вращения, однако по модулю эта составляющая невелика, так что . Поэтому можно в первом приближении отбросить в (3.5) второе слагаемое и утверждать, что не только в начальный, но и в любой момент времени

. (3.8)

Это означает, что векторыL и ₀и ось вращения параллельны не только в начальный момент, но и остаются параллельными через время dt, повернувшись все вместе на угол d. За следующий промежуток времени происходит то же самое. И так далее, то есть векторы L и ₀ и ось вращения постоянно все вместе вращаются в горизонтальной плоскости. А это и есть прецессия.

Определим теперь скорость прецессии. Для этого достаточно определить скорость вращения вектора L. Из рисунка 3.3 следует:

.

Итак, формула для частоты прецессии:

. (3.9)

Как показывает эта формула, частота прецессии пропорциональна суммарному моменту внешних сил и обратно пропорциональна частоте вращения маховика. Экспериментальная проверка этого факта, а следовательно, и проверка формулы (3.9) – это и есть цель лабораторной работы.

Примечание.

Нетрудно догадаться, что частота прецессии  – это и есть _. Вектор  = _ направлен перпендикулярно оси гироскопа вдоль оси вертикальной подставки S и, как следует из (3.9), остаётся неизменным до тех пор, пока не изменяется положение противовеса. Теперь от приближённой формулы (3.8) можно вернуться к точной (3.5):

, (3.10)

Таким образом, между вектором момента импульса и осью гироскопа есть некоторый угол , тангенс которого с учётом (3.9) равен

. (3.11)

Из этой формулы видно, что угол  – во-первых, очень маленький, а во-вторых, с течением времени он не изменяется, так что даже с учётом того, что L и ось гироскопа не параллельны, они всё равно прецессируют с одинаковой скоростью, то есть формула (3.9) – правильная.