Лабораторная работа № 2.18 изучение явления взаимной индукции.

I. Цель работы:исследование явления взаимной индукции двух коаксиально расположенных катушек.

II. Описание установки.

Рисунок 1 – Общий вид модуля ФПЭ-05

Для выполнения работы используется модуль ФПЭ-05, общий вид которого показан на рис.1. Внутри корпуса, состоящего из крышек 1,2 и панелей 3,4 имеется короткая катушка L2 (поз. 5), которая может перемещаться вдоль соосной с ней длинной катушкиL1 (поз. 6) с помощью штока 7, выведенного наружу через переднюю панель 3. На панели 3 имеются также гнезда 8 и переключатели 9. В работе также используются генератор синусоидального сигнала и осциллограф (на рис.1 не показаны).

III. Методика измерений и расчетные формулы.

Р

Рисунок 2 – Контуры с взаимной индукцией

ассмотрим два контура, расположенные на некотором расстоянии друг от друга (рис.2). ТокI₁, протекающий по контуру 1, создает в нем магнитное поле. Часть силовых линий этого поля проходит и через контур 2, создавая в нем магнитный потокФ₂₁, пропорциональный токуI₁:

Ф₂₁=M₂₁I₁. (1)

Коэффициент M₂₁называется коэффициентом взаимной индукции, или взаимной индуктивностью контуров.Он зависит от формы и взаимного расположения контуров 1 и 2, а также магнитных свойств окружающей среды. При изменении тока в первом контуре магнитный поток через второй контур изменяется, следовательно, в нем наводится ЭДС взаимной индукции:

. (2а)

Если поменять местами контуры 1 и 2 и провести все предыдущие рассуждения, то получим:

. (2б)

Покажем, что коэффициенты М₁₂иМ₂₁всегда равны друг другу. Для этого определим энергию магнитного поля, создаваемого обоими контурами. Если ток течет только в контуре 1, то энергия магнитного поля равна:

, (3)

где L₁– индуктивность контура 1.

Объемная плотность энергии равна:

,

где H₁– напряженность магнитного поля, создаваемого токомI₁.

Аналогично, если ток течет только в контуре 2, то энергия и ее объемная плотность соответственно равны:

, (4)

где L₂– индуктивность контура 2,H₂– напряженность магнитного поля, создаваемого токомI₂.

Если в обоих контурах одновременно протекают токи, то результирующая напряженность поля определяется принципом суперпозиции:

.

Поэтому:

,

т. е. полная совместная энергия контуров не равна сумме энергий каждого из контуров в отдельности.

Чтобы найти энергию W, вычислим работу, которую должны совершить источники тока, включенные в оба контура, для того, чтобы в контурах возникли токиI₁иI₂и было создано соответствующее результирующее магнитное поле. Пусть в начале токи в контурах равны нулю. Для создания в контуре 1 токаI₁источник тока должен совершить работу:

.

Теперь, поддерживая ток I₁неизменным, будем увеличивать ток во втором контуре от 0 доI₂. При этом источник тока во втором контуре совершит работу:

.

Поскольку часть магнитного потока от контура 2 пронизывает контур 1, то изменение тока I₂вызывает приращение магнитного потокаdФ₁в контуре 1 и индуцирует в нем ЭДС ε₁= –dФ₁/dt, и источник токаI₁должен дополнительно совершить работу:

.

Тогда полная работа обоих источников при установлении в контурах токов I₁иI₂равна:

. (5а)

Проведя такие же рассуждения для случая, когда сначала устанавливается ток I₂в контуре 2, а затем токI₁в контуре 1, получим:

. (5б)

Докажем теорему взаимности для коэффициентов взаимной индукции: M₁₂ = M₂₁. Для того, чтобы бесконечно мало изменить токиI₁иI₂, потребуется совершить работу, которая пойдет на изменение энергии магнитного поля:

dA = dW = I₁ dФ₁ + I₂ dФ₂. (6)

Энергия магнитного поля двух контуров дается выражением:

.

Приращение энергии составляет:

. (7)

Сравнивая выражения (6) и (7), получаем:

I₁ dФ₁ + I₂ dФ₂ = Ф₁ dI₁ + Ф₂ dI₂. (8)

Это соотношение справедливо при любых приращениях токов. Поэтому для упрощения можно принять dI₂ = 0, т. е.I₂ = const. Магнитные потоки в каждом контуре определяются выражениями:

Ф₁=L₁ I₁ + M₁₂ I₂;

Ф₂= L₂ I₂ + M₂₁ I₁.

Из них дифференцированием при I₂ = constнаходим:

dФ₁=L₁ dI₁;

dФ₂=M₂₁ I₁.

Подставляя эти выражения в формулу (8), получим:

L₁ I₁ dI₁ + M₂₁ I₂ dI₁ = (L₁ I₁ + M₁₂ I₂) dI₁.

Отсюда следует M₁₂ = M₂₁, что и требовалось доказать. При доказательстве не учитывалось сопротивление проводов, что не имеет значения, поскольку индуктивности зависят только от формы и расположения проводов, а также от распределения плотности тока по их сечениям.

Метод измерений.В данной работе изучается коэффициент взаимной индукции между длинной катушкой L1 (поз. 6 на рис. 1) и короткой катушкой L2 (поз. 5 на рис. 1), которая надевается на катушку L1 и может перемещаться вдоль ее оси (см. рис.1). Питание одной из катушек осуществляется от генератора синусоидального сигнала PQ, выходное напряжение которого подается на катушку через сопротивление R. Зависимость выходного напряжения генератора от времени имеет вид:

u(t) = U₀ cosωt.

Переменный ток i₁ = u₁/Rв катушкеL1 создает переменную ЭДС взаимной индукции в катушкеL2:

.

Для измерения величины ε₂используется осциллограф. Амплитуда ЭДС взаимной индукции составляет:

, (9)

где ν – частота напряжения на выходе генератора.

Измерив величины, входящие в (9), можно определить взаимную индуктивность M₂₁:

. (10а)

Если поменять местами катушки L1 иL2, то можно измерить взаимную индуктивностьM₁₂:

. (10б)

В составе модуля ФПЭ-05 имеется сопротивление R = 10 кОм.