3.3.1 Гипотезы и критерии о законе распределения.

В параграфе 3.1.2 была изложена методика преобразования выборки в статистический ряд. Одной из целей такого преобразования является проверка гипотезы о законе распределения ГС, из которой получена выборка. Сформулировав гипотезу

H₀ = {F₀ – гипотетическая ФР} = {F = F₀}, (242)

мы можем протестировать либо отклонения F₀ от статистической ФР:

(x_i) = Q(X < x_i) = , (172)

либо отклонения выборочных частот _j статистического ряда (см. 3.1.2) от гипотетических частот n_j = p_j * n, где p_j – вероятность попадания гипотетической СВ в j-ый интервал. В первом случае тестирование осуществляется по критерию Колмогорова-Смирнова, а во втором – по критерию Пирсона.

3.3.1.1 Критерий согласия Колмогорова – Смирнова.

В данном критерии [19] предполагается, что гипотетическая непрерывная ФР F₀ известна с точностью до числовых значений своих параметров (без привлечения информации из выборки!). На практике этот критерий применяют и к сгруппированным данным. При этом возрастает вероятность ошибки второго рода.

Вычисляется разность

D_n = | _j – N⁰_j |, (243)

где _j – эмпирические частоты, накопленные к j-му интервалу, а N⁰_j - гипотетические значения этих же частот. Далее, следуя [19], находят эмпирическое значение критерия Колмогорова-Смирнова:

D_Э = D_n / n. (244)

Объединив две последние формулы в одно выражение, получим другую форму эмпирического критерия (244):

D_Э = |Φ_j - F_j|. (245)

Здесь Φ_j = N_j / n – эмпирическое значение статистической ФР к j-му интервалу, а F_j = F(ξ_j+1) – значение гипотетической ФР для правой границы j-го интервала.

Критическое значение данного критерия либо табулируется для определённого уровня значимости , либо вычисляется по приближённым формулам. При n>50 [19]рекомендует выражение

D_T = D_ 46

Более простой вариант для  = 0,05 и n > 80 рекомендован [18]:

D_T = D_0.05 47

Сопоставляя эмпирическое значение критерия (245) с его критическим значением (246) или (247), принимают решение по нулевой гипотезе. Если D_Э > D_T, то на уровне значимости  нулевая гипотеза (242) отвергается.

Задача 3.6. В таблице 3.3 приведена простая выборка, объёмом 120 элементов. Она получена по формуле (170), опирающейся на ЦПТ. Необходимо оценить качество работы генератора стандартных нормальных чисел.

С этой целью проверим гипотезу о стандартности нормальной генеральной совокупности по критерию Колмогорова-Смирнова, т.е. проверим нулевую гипотезу H₀ = {X N(E(X) = 0; _x = 1)} против альтернативной H_a = {X N(E(X) = 0; _x = 1)}.

Преобразуем исходную выборку в статистический ряд, положив число интервалов k = 10 и воспользовавшись необходимыми формулами из раздела 3.1.2.

Выборка.

Табл. 3.3

1,09	-0,33	-0,85	0,66	-0,26	1,32	0,03	0,31	-0,66	0,52
-0,99	-0,17	0,28	0,29	0,52	-1,28	-1,95	-0,24	0,84	-1,50
1,99	-0,45	1,01	1,72	1,76	0,76	0,07	0,33	0,09	-1,58
-0,83	-0,33	1,25	0,10	-0,06	1,09	-0,77	0,37	-0,45	0,45
-1,17	0,18	1,60	1,04	-0,25	1,54	-1,50	0,40	1,00	1,48
0,01	1,01	-0,66	-1,10	-0,70	-2,35	-1,03	-0,23	0,98	-1,15
0,74	0,67	0,77	-0,32	2,19	1,59	-1,19	-0,73	0,87	1,10
0,34	0,21	-0,58	0,32	-1,25	-0,09	-1,20	-0,09	-0,03	-0,16
-0,55	-1,43	-0,55	0,86	-0,58	-0,99	-0,05	-0,90	0,85	0,75
0,85	0,65	-0,20	0,50	-0,33	-0,31	0,40	0,12	2,61	-0,37
-0,24	1,16	-1,08	-1,04	-0,45	-1,41	0,35	-1,43	-1,28	1,36
0,61	0,21	1,62	0,53	-2,74	-1,05	-0,92	1,98	-1,33	-0,89

Определим_min = –2,74 и _max = 2,61. Размах выборки, согласно (180), будет равен R = _max – _min = 5,35. Ширина интервала, вычисленного по (181) и округлённая до чётного разряда, принимает значение c = R /k0,54. Далее, оперируя формулой (182), вычисляем границы интервалов

_j = _j + c,

(колонка 2, Табл. 3.4). В колонках 3 и 4 той же таблицы для каждого интервала зафиксированы выборочные наблюдённые и накопленные частоты:

= {x_i[_j; _j[}, (183)

N_j ==N_{j -1} + ν_j. (248)

В 5-ой колонке вычислены эмпирические значения статистической ФР, соответствующие частотам, накопленным к j-му интервалу:

_j = N_j / n. (249)

Соседняя, 6-ая колонка включает значения гипотетической (стандартной нормальной) ФР F(t), определяемой по аргументам ξ = t:

F(t) = ^–dt. (78)

Последняя, 7-ая колонка содержит абсолютные значения разностей Φ_j – F_j.

Табл. 3.4

Критерий Колмогорова-Смирнова
Интервалы	Границы	Эмпир.	Эмпир.	Эмпир.	Гип. ФР	Абс. разн.
		частоты	нак. част.	ФР		Ф и F
j			N	Ф	FN	Ф и FN
1	2	3	4	5	6	7
	-2,76
1		2	2	0,0167	0,0132	0,0035
	-2,22
2		1	3	0,0250	0,0465	0,0215
	-1,68
3		14	17	0,1417	0,1271	0,0145
	-1,14
4		17	34	0,2833	0,2743	0,0091
	-0,60
5		24	58	0,4833	0,4761	0,0073
	-0,06
6		22	80	0,6667	0,6844	0,0177
	0,48
7		21	101	0,8417	0,8461	0,0045
	1,02
8		10	111	0,9250	0,9406	0,0156
	1,56
9		7	118	0,9833	0,9821	0,0012
	2,10
10		2	120	1,0000	0,9959	0,0041
	2,64

Максимальное абсолютное значение такой разности принимаем за эмпирическое значение критерия Колмогорова-Смирнова:

D_Э = |Φ_j - F_j| = 0,0215.

Критическое значение критерия на уровне значимости  = 0,05 определяем по формуле (246) или (247). Для выборки объёмом в 120 элементов оба результата совпадают в пределах 0,001:

D_T = 0,124.

Итак, нулевая гипотеза H₀ = {X N(E(X) = 0; _x = 1)} не отвергается, поскольку неравенство D_Э > D_T не выполнено.

Таким образом, параметры генератора стандартных нормальных чисел (E(X) = 0; _x = 1), построенного с использованием ЦПТ, можно признать не противоречащими выдаваемым результатам.