10. Действия над комплексными числами

10.1 Сложение: Суммой двух комплексных чисел

Называется комплексное число, определяемое равенством

Z₁ + Z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

Сложение комплексных чисел обладает переместительным и сочетательным св-ми:

10.2 Вычитание: Разностью двух компл.чисел называется такое компл.число z, которое ,будучи сложенным с z₂, дает число z₁.

Z = Z₁ - Z₂ = (x₁ - x₂) + i(y₁ - y₂)

10.3 Умножение: Произведением компл.чисел

Называется компл.число, определяемое равенством

Z = Z₁Z₂ = (x₁x₂ – y₁y₂) + i (x₁y₁ + y₂ x₂)

Формула Муавра: zⁿ =(r(cos+ i sin)ⁿ = rⁿ(cos+ i sin).

10.4 Деление

Частным двух компл.чисел z₁ и z₂ 0 называется комплексное число z.

Z = =+ i

При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.

10.5 Извлечение корней из комплексных чисел

Извлечение корня n-ой степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.

Корнем n-ой степени из компл.числа z называется комплексное число w, удовлетворяющее равнству wⁿ =z, т.е =, еслиwⁿ = z.

Глава 4: введение в анализ

11 Функция

11.1 Понятия функции: Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств.

11.2 Сложная функция: Пусть функции y = f (u) определена на множестве D, а функции u = на множестве D₁, причём для D₁ соответствуещее значение u = (x) D

12. Предел функции

12.1 Пусть функция у = f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ кроме быть может самой точки х₀.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке:

-Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число А называется пределом функции y =f(x) в точке x₀, если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n,n сходящийся к х₀.

-Определение 2 (на языке « » ,или по Коши) Число А называется пределом функции в точке х₀. (или при х , если для любого положительногонайдётся такое положительное число, что для всех х, удовлетворяющих неравенству<, выполняется неравенство<.

12.2 Предел функции при х→∞

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке (-∞;+∞) Число А называется пределом функции f(x) при х→∞ если для любого положительного числа ε существует такое число

М = М(ε) > 0, что при всех х удовлетворяющих неравенству

> M выполняется неравенство <.

12.3 Первый замечательный предел:

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

Называемый 1-ым замечательным пределом.

Пример:

12.4 Второй замечательный предел: