Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
matematikac.docx
Скачиваний:
21
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
64.39 Кб
Скачать

Сибирская Государственная Геодезическая Академия

Реферат

По Высшей Математике

Выполнила: Карташова Екатерина Николаевна

Проверил: Могельницкий Б.С.

2012г

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Матрицы......................................................

1.1. Основные понятия.......................................

1.2. Действия над матрицами................................

§ 2. Определители.................................................

2.1. Основные понятия................... . . . .... .............

2.2. Свойства определителей........................... ......

§ 3. Невырожденные матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Основные понятия... ....................................

3.2. Ранг матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 4. Системы линейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3. Решение невырожденных линейных систем.

Формулы Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. .

4.5. Системы линейных однородных уравнений. . . . . . . . . . . . . .

Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 5. Векторы.......................................................

5.1. Основные понятия.......................... . ................................. .

5.2. Линейные операции над векторами.......... ...........

5.3. Проекция вектора на ось. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§6. Скалярное произведение векторов и его свойства

6.1. Определение скалярного произведения ………………………….

6.2. Свойства скалярного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3. Выражение скалярного произведения

через координаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства. . . . . . . . . . . .

7.1. Определение векторного произведения ........... ........................

7.2. Свойства векторного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 8. Смешанное произведение векторов.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.1. Определение смешанного произведения,

его геометрический смысл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2. Свойства смешанного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

Глава 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

§ 9. Понятие и представления комплексных чисел...............

9.1 Основные понятия.......................................

9.2. Геометрическое изображение комплексных чисел.. . . . ..

9.3.Формы записи комплексных чисел .....................

§ 10. Действия над комплексными числами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.1. Сложение комплексных чисел...........................

10.2. Вычитание комплексных чисел ................. . . . . . . ..

10.3. Умножение комплексных чисел.........................

10.4. Деление комплексных чисел ...... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.5. Извлечение корней из комплексных чисел. . . . . . . . . . . . ..

Глава 4. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

§11. Функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1. Понятие функции..... .. ....... .. ....... . . .. . . . . ... . .. .. .

§12. Предел функции

12.1. Первый замечательный предел. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.2. Второй замечательный предел................... .. ......

Глава1. Элементы линейной алгебры

1. Матрица

Основные понятия: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины).Матрица записывается в виде:

A =

Или, сокращенно, А = (aij), где i = 1,m (т.е i = 1,2,3,…m) – номер

строки, j = 1, n (т.е. j = 1,2,3,…,n) – номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размера m х n и пишут Аm х n. Числа aij, составляющие матрицу, называются её элементами.

Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой,если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е.

А=В, если aij=bij, где i= 1,m, j=1,n.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера (n х n) называют матрицей n-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы,кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается Е.

Пример:

Езхз =

- единичная матрица 3-го порядка.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Обозначается буквой О. Имеет вид:

О=

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно).

Вид:

А=

В=(b1 b2 b3……bn)

Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ.

Так, если А=, то АТ =

Транспонированная матрица обладает следующим св-ом: {АТ}T = A

Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель не равен 0,если равен 0,то матрица – вырожденной.

Матрица А-1 – обратной матрицей А, если выполняется условие:

Ах А-1 = А-1 х А =Е,

Где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Св-ва обратной матрицы: 1) det (A-1) = 1/det A

2) (AxB)-1 = B-1 x A-1

3)(A-1) = (AT)-1

1.2 Действия над матрицами:

Сложение: Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц Аm x n = (aij) и Bm x n = (bij) называется матрица Сm x n = (cij) такая, что сij = aij + bij (i=1,m, j =1,n).

Пример:

+ =

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число:

Произведением матрицы Аm x n = (aij) на число k называется матрица Вm x n = (bij) такая, что bij = k x aij (i= 1,m, j= 1,n).

Пример:

А = ,k = 2, A k =

Матрица -А= (-1) х А называется противоположной матрице А.

Операция сложения матриц и умножение матрицы на число обладают следующими свойствами:

  1. A + B = B + A

  2. A + (B + C) = (A + B) + C

  3. A + O = A

  4. A - A = O

  5. 1 x A = A

  6. c x (A+B) = cA + cB

  7. (c + y)x A = cA + yA

  8. c x (yA) = (cy) x A

где А,B,C – матрицы, с и y – числа.

Произведение матриц:

Операция умножение двух матриц возможно только, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы Аm x n = (aij) на матрицу Вn x p =(bjk) называется матрица Сm x p = (cik) такая, что

сik = ai1 x b2k + ai2 x b2k +…+ainbnk, где i= 1,m, k = 1,p,т.е.

элемент i строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца В.

Для операции транспонирования верны свойства:

  1. (А + В)Т Т + ВТ

  1. (АВ)Т = ВТ х АТ

2. Определители

    1. Основные понятия:

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A (или | A |, или ), называемое её определителем, следующим образом:

  1. n = 1. A = ; det A = a1.

  1. n = 2. A = ; det A == a11a22 – a12 · a21

  1. n = 3. A = ; det A ==

= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – a31a22a13 – a21a12a33 – a32a23a11.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

= -

Пример: 2 -3 = (2х6) – (5х(-3))= 12 – (-15)=27

5 6

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса),которое символически можно записать так:

= -

Пример: Вычислить определитель матрицы:

А =

Решение:

Det A = 5 х1 х(-3) + (-2) х (-4) х 6 + 3 х0 х 1- 6х1х1 – 3 х (-2) х (-3) – 0 х (-4) х 5 = -15 + 48 - 6 – 18 = 9

    1. Свойства определителей:

1 Свойство: («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменяется, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2 Свойство: При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3 Свойство: Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

4 Свойство: Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5 Свойство: Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6 Свойство: («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Минором некоторого элемента аij Определителя n-го порядка называется определитель n- 1-го, полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находятся выбранный элемент. Обозначается mij:

Так, если =, тоm11 = ,m32 = .

Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма i+j – четное число, и со знаком ­«-», если эта сумма нечётная. Обозначается Аij: Аij = (-1)i+j x mij.

Ранг матрицы: Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля,- рангом матрицы. Обозначается r, r (A)

Или rang A.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, - базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Св-ва ранга матрицы:

1) При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

2) Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3) ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]