Лабораторная № 6.1

В таблице представлены данные о среднедушевых сбережениях (y) и доходах (x) вnсемьях. Сравнить точность оценок параметров 1) при соблюдении исходных предпосылок классической регрессионной модели и 2) гетероскедастичности случайных регрессионных остатков.

№ семьи (i)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yi (млн. руб.)	0,3	0,1	2,2	0,9	4	1,7	5,8	2,5	7,5	3
xi(млн. руб.)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Решение

Представим данные графически. На рис.6.2 представлены наблюдения, а также график линейного уравнения регрессии =a₀+a₁x_i+e_i, i=1…n.Пользуясь функцией ЛИНЕЙН(), оценим коэффициентыa₀ и a₁, а также определим⁰и¹.

Тогда оценка уравнения регрессии имеет вид: =-0,21+0,545x_i

^{(1,25) (0,20)}

1. Перейдем к построению регрессии в предположении гетероскедастичности случайных регрессионных остатков. На графике хорошо видно, что с увеличением доходов размах отклонений сбережений уот линии регрессии растет пропорциональнох, что свидетельствует о гетероскедастичности случайных остатков, то естьи уравнение регрессии имеет вид: =a₀+a₁x_i+e_i x_i.

Оценим уравнение /x_i =a^/₁1 /x_i +a^/₀+e_i

Для этого преобразуем переменные:

ŷ/xi	0,3	0,05	0,733333	0,225	0,8	0,283333	0,828571	0,3125	0,833333	0,3
1 /xi	1	0,5	0,333333	0,25	0,2	0,166667	0,142857	0,125	0,111111	0,1

Теперь оценим линейную регрессию относительно новых переменных:

/x_i =-0,3671 /x_i +0,574

Окончательно уравнение регрессии можно записать:

=-0,367+0,574x_i.

(0,36) (0,14)

Второе уравнение имеет более точные оценки ^0/=0,36<⁰=1,25 и^1/=0,14<¹=0,20.

6.3. Автокорреляция остатков

Близкое к единице значение коэффициента детерминации R² еще не свидетельство высокого качества уравнения регрессии.

Пример

Рассмотрим рис. 6.3. На нем показана зависимость реального объема потребления(CONS,млрд-долл., 1982 г.) от численности населения(РОР,млн.) в США за 1931-1990 гг., а также линия оцененного по этим данным уравнения парной линейной регрессии. Формула этого уравнения следующая:

CONS=-1817,3 + 16,7РОР

Стандартные ошибки свободного члена и коэффициента регрессии равны, соответственно, 84,7 и 0,46; их t-статистики - (-21,4 и 36,8). По абсолютной величинеt-статистики намного превышают 3, и это свидетельствует о высокой надежности оцененных коэффициентов. Коэффициент детерминацииR²уравнения равен 0,96, то есть объяснено 96% дисперсии объема потребления. И в то же время уже по рисунку видно, что оцененная регрессия не очень хороша: зависимость величинРОР иCONSявно нелинейна.

Рис. 6.3. График зависимости реального объема потребления (СОNS, млрд. долл., 1982 г.) от численности населения (РОР, млн.) в США в 1931-1990 гг.

Если использовать проведенную прямую, скажем, для прогнозирования дальнейшей динамики потребления, результат будет неудовлетворительным. Существо вопроса здесь понятно - в течение рассматриваемого периода значительно вырос объем потребления в расчете на душу населения. Численность населения США росла во времени почти линейно (то есть с постоянными годовыми приростами), а объем потребления - по экспоненте (то есть с примерно постоянным темпом). Это ясно и без уравнения линейной регрессии, но мы специально оценили его для иллюстрации.