9. 2. Косвенный метод наименьших квадратов

Так как корреляция между ииYв уравнении (9.1) приводит к нежелательным последствиям, естественно рассмотреть альтернативные методы оценивания, которые позволяют их избежать. Один из таких методов основан на соотношениях (9.4) и (9.5). Эти два уравнения представляют собой альтернативную запись модели, формализованной в уравнениях (9.1) и (9.2), то есть являютсяприведенной формойэтой модели.Основное свойство приведенной формы состоит в том, что она возникает в результате решения первоначальной системы уравнений относительно текущих значений эндогенных переменных и выражает их как функции всех остальных переменных системы, так что каждое уравнение в приведенной форме модели содержит текущее значение только одной эндогенной переменной.

Предположения (9.3) позволяют непосредственно применить метод наименьших квадратов для оценивания коэффициентов приведенной формы, т. е. уравнений (9.4) и (9.5). Следовательно,

- наилучшая линейная несмещенная оценка; (9.6)

1

- наилучшая линейная несмещенная оценка; (9.7)

- наилучшая линейная несмещенная оценка; (9.8)

а

- наилучшая линейная несмещенная оценка. (9.9)

Каждая из оценок (9.6) и (9.7) позволяет получить оценку * параметра, а, используя ее, с помощью (9.8) или (9.9) найдем оценку* параметра. Из (9.6) получим

.

Но так как

Y=C+Z;

y=c+z,

где малыми буквами обозначены отклонения от средних,

следовательно,

.

Аналогично из (9.7) получим

,

так что оба уравнения приводят к идентичной оценке параметра . Точно так же (9.8) и (9.9) дадут нам одну и ту же оценку параметра:

.

Хотя оценки (9.10) и (9.11) сформированы из несмещенных оценок параметров приведенной формы, сами они не будут несмещенными оценками параметров  и структурнойформы. Однако этиоценки будут состоятельными. Так, легко показать с помощью (9.4) и (9.5), что оценка*, определенная в (9.10), даст нам

(9.12)

Поскольку m_Zu 0 приn

plim *=(9.13)

Чтобы установить смещение для конечной выборки, мы вычислим

.

Пусть переменная Zпринимает фиксированные значения, так чтоm_ZZ— константа. Хотя в силу предположений относительноидля выборки некоторого данного объема имеемM(m_Zu) =0,этого недостаточно, чтобы сделать оценку * несмещенной. Пусть, например, значенияи таковы, что порождают значенияm_Zulm_ZZи соответствующие им вероятности, указанные в табл. 9.1. При этом условиеM(m_Zu) =0 удовлетворяется. Предположив истинное значениеравным 0,5 и вычислив оценки* с помощью формулы (9.8), мы видим, чтоM(*) равняется 0,4870, т. е. имеется смещение в сторону занижения.

Таблица 9.1

	mZulmZZ	Вероятности	*
	—0,2 —0,1 0,1 0,2	0,25 0,25 0,25 0,25	3/8=0,3750 4/9=0,4444 6/11=0,5454 7/12=0,5833
			M(*) =0,4870

Рассмотренный способ оценивания называется косвенным методом наименьших квадратов,он состоит в применении обыкновенного метода наименьших квадратов к отысканию оценок параметров приведенной формы и в последующем использовании этих оценок для вычисления оценок структурных параметров. Как мы увидим, этот метод пригоден только при некоторых специальных обстоятельствах.