Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MathAn / !Лекция_II(4)-№4(2014-15)_St

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

609.34 Кб

Скачать

☆

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

Лекция №4 Ряды Тейлора и Маклорена

Напоминание

Основная идея дифференциального исчисления?!

…

0. Формула Тейлора

Def 0. Пусть функция f дифференцируема n раз ( n N ) в точке x0 . Многочленом

(полиномом) Тейлора степени

n для функции f в окрестности x0 называется

многочлен вида

P x f x

f x0

x x

f x0

x x

f n x0

x x

n . (0)

2 !

n !

???

x f x

f x0

x x

- ???

x f x

f x0

x x

f x0

x x

- ???

2 !

Пусть Rn x f x Pn x

f x Pn x Rn x .

(0*)

!!! Если Rn x ~ б.м. в окрестности x0 , то формула (0*) называется формулой Тейлора с остаточным членом Rn x .

Терминология:

"Формула Тейлора в окрестности точки x0 "

"Формула Тейлора с центром в точке x0 "

"Формула Тейлора по степеням (x x0 ) "

!!! ЗАМЕНА f (x) ~ Pn (x)

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

1. Представление функций в виде ряда Маклорена и Тейлора

Теорема 1

Если функция f x на R, R разлагается в с.р. f x a0 a1x a2 x2 an xn ,

то это разложение единственно.

Доказательство

По условию ряд сходится при x R, R и функция f x - сумма ряда

по свойству дифференцируемости с.р. ряд можно дифференцировать наR, R любое число раз.

f x 1 a1 2a2 x 3a3x2 nan xn 1

n 2

4a4 x n n 1 an x

x 1 2a2 2 3a3x

…

f n x n !an 2 3 4 n 1 an 1x

x 0

f 0 a0 , f

1 a1, f

, , f

0 n !an , , откуда

0 2 !a2

коэффициенты ряда

f 0 , a

, a

f 0

, , a

, (@)

2 !

n !

Таким образом, все коэффициенты с.р. определяются единственным образом по формуле (@), ч.т.д.

!!! Если функция f x разлагается в с.р., то ряд имеет вид

	f					f	n	0

f x f 0		0	x	f 0	x2				xn	(ряд Маклорена)

		1!		2 !			n !

!!! Аналогично можно получить разложение функции для общего случая x x0

f x f x0

f x0

x x0

f x0

x x0 2

f n x0

x x0 n

2 !

n !

(ряд Тейлора)

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

Можно общее название - ряд Тейлора или ряд Тейлора-Маклорена.

Обратная задача

Пусть f x - бесконечно дифференцируемая функция и ее можно разложить в ряд Тейлора.

!!! ? При каких условиях сумма ряда Тейлора будет совпадать с функцией f x .

Def 1. Многочленом Тейлора степени n называется частичная сумма ряда Тейлора

f x f x0	f x0	x x0	f x0	x x0 2	f n x0	x x0 n
	1!		2 !		n !

Остаточным членом ряда Тейлора называется функция

Rn x f x Sn x

Теорема 2

Для выполнения равенства

f x0

f x

x x0

n f x0

x x0

x x0 2

n 0

n !

2 !

f n x

x x0 n

n !

при x R,

R (сумма ряда совпадает с функцией

f x )

необходимо и достаточно, чтобы

lim Rn x 0 , где

Rn x f x Sn x - остаточный член ряда Тейлора.

Доказательство

Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть

f x - сумма ряда Тейлора на R, R

lim

x f x lim f

x S

x lim

R x 0.

Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть

lim Rn x 0 x R, R , тогда

f x Sn x 0

x f x , т.е. ряд Тейлора сходится и его

lim

lim Sn

f x , ч.т.д.

сумма равна

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

Остаточный член в форме Лагранжа

f n 1

x x

n 1, x x

, 0 1

, т.е. лежит между x

и x .

1 !

при x 0 R

f n 1

x n 1

, x, 0 1 , т.е. лежит между 0 и

x .

1 !

Остаточный член в форме Пеано

Rn x o x x0 n

Вывод: Выяснения вопроса о разложимости функции в ряд Тейлора сводится к исследованию остаточного члена Rn x при n .

! ДЛЯ ПРАКТИКИ

Приемы разложения в ряды Тейлора и Маклорена

I. Непосредственное разложение

Общий алгоритм разложения функции в ряд Тейлора (Маклорена)

1.Составить для f x ряд Тейлора (Маклорена)

a.Найти производные f x до n-го порядка.

b.Вычислить значение производных в точке x x0 x 0 .

c.Записать коэффициенты ряда по формуле (@) x 0

f 0 , a

f 0

, a

f 0

, , a

2 !

n !

(аналогично для x x0 ).

2. Найти интервал сходимости ряда, например, по признаку Даламбера.

3. Проверить, что f x - сумма ряда, т.е. выполняется	lim Rn x 0 .
	n

II.Использование известных разложений элементарных функций и действий над с.р.

Разложения элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

1. f x e x

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

1) Находим производные

x e ,

f x f

x f

0 e

1 и получаем ряд Тейлора

f 0 f

0 f

e x 1

(*)

2 !

n !

2) Интервал сходимости:

R lim

1 n 1 !

lim

n 1

n ! 1

ряд сходится абсолютно на ,

3)Записываем Rn x в форме Лагранжа

Rn x e xn 1 , x, 0 1 n 1 !

Функция e x монотонно e e x

n 1

, x, 0 1. Так как ряд (*)

n 1

сходится по необходимому признаку сходимости

lim

xn 1

n n 1 !

lim R

x 0 e x

- сумма ряда (*).

2.f x sin x

1)Находим производные

				2
f		, f			,
	x cos x sin x		x sin x sin x
		2		2

		3		n		n
f			, , f		x sin x

	x cos x sin x
		2				2

f 0 0, f			1 ,
f 0 0, f	0 sin		1 ,	f 0 0,	f 0 1 , ,
		2

f2n 1 0 1 n 1

ипри x 0 получаем ряд

	x3	x5	1 n 1 x2n 1
sin x x			2n 1 !	(*)
	3 !	5 !

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

2) Интервал сходимости

R lim

1 2n 1 !

lim

2n 2n 1

n 2n 1 ! 1

ряд сходится абсолютно на ,

3) Записываем Rn x в форме Лагранжа

xn 1

Rn x sin

n 1

, x, 0 1,

1 !

n 1

sin n 1

Rn x

. Т.к. ряд

n 1

то lim

n 1

0 lim

Rn x 0.

n 1 !

	x	n 1
		n 1
			сходится,

	n	1 !
n 0

3.
3.	f x cos x . Используем cos x sin x
		x2	x4	1 n x2n
	cos x 1			2n !
	cos x 1	2 !	4 !	2n !
	сходится абсолютно на , .
4.	f x 1 x m , m R (биномиальный ряд)
При m N получаем бином Ньютона, где					b	x, ab 0 :
При m N получаем бином Ньютона, где					a	x, ab 0 :
					a

m m 1 m n 1

m !

m n

a b

n !

n ! (m n) !

n 0

C n

m !

- число сочетаний из m по n (биномиальный коэффициент,

n ! (m

n) !

комбинаторика)

m N . Находим производные

f x m 1 x m 1 , f x m m 1 1 x m 2 , f x m m 1 m 2 1 x m 3 , ,

f n x m m 1 m n 1 1 x m n

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

1 , ,

f 0 1, f 0 m , f 0 m m

f n 0 m m 1 m n 1

1 x m 1

m m 1

m m 1 m n 1

2 !

n !

2) Интервал сходимости

R lim

m m 1 m n 1

n 1 !

n !

m m 1 m n

lim

n 1

m n

Ряд сходится абсолютно на 1, 1 .

Если m N , то на , 1 1, ряд расходится. На концах

x 1, x 1 сходимость исследуется при конкретном

m .

!!! Можно доказать, что с.р.

an xn

, nan xn 1 (диф.) и

xn 1 (интегр.)

n 0

n 1

n 0 n 1

имеют одинаковый радиус сходимости

Во внутренних точках области сходимости суммы f x , x , x этих рядов связаны соотношениями

x f x , x f t dt

Пример 1

Почленное интегрирование и дифференцирование геометрической прогрессии


a1 1, q x . Найти область сходимости рядов					nan xn 1 (диф.) и
					n 1

	an		xn 1	(интегр.)
			xn 1	(интегр.)
n 0 n		1

Решение

…

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

Вывод: после почленного интегрирования область сходимости (НО не радиус сходимости!) может расшириться за счет некоторых граничных точек.

! Сумма с.р. непрерывна всюду в области сходимости x 1; 1 , поэтому равенство

ln 1 x x

или ln 1 x x

сохраняется в силу непрерывности функции ln 1 x и при x 1

ln 1 1 ln 2 1

Пример 2

Если в примере 1 заменить

x на x , получим новые с.р. с уже известной суммой

Из (*)

1 x

1 n xn ,

x 1; 1

(биномиальный ряд m 1)

Из (**)

1 2x 3x2 4x3 n 1 1 n xn , x 1; 1

1 x 2

(биномиальный ряд m 2 )

n 1 xn

Из (***) ln 1 x x

, x 1; 1 .

!!! Для того чтобы представить функцию в виде суммы с.р., иногда удобно сначала ее продифференцировать

Пример 3

f x arctg x разложить в ряд Маклорена (прием II).

Решение

…

! Самостоятельно поверить сходимость ряда в точках x 1.

При x 1 из (&) можно вычислить число с любой точностью

							Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)
arctg1			1	1		1		1	1 n 1	1	(1-&).
arctg1			1						1 n 1	2n 1	(1-&).
		4	3		5			7		2n 1
x	1	arctg			1				(2-&).
x		arctg						6	(2-&).
3					3			6
! С.р. (2-&) сходится к								значительно быстрее, чем с.р. (1-&).
								6

Пример 4 (прием II)

Разложить в ряд Маклорена функцию ln 1 3x 2x2 .

Решение

…

Пример 5 (прием I)

Разложить в ряд Тейлора функцию

при x 2 .

Решение

n 1

, f

, , f

x 1

n ! x

f x 1 x , f

x 1 2 x

x 1 2 3 x

2 !

n !

f 2

2 2n 1 ,

2 , f 2 22

, f

2 23

, , f

x 2

x 2 2

x 2 3

x 2 n

2) Интервал сходимости

x 2 n 1 2n

lim ... … n 2n 1 x 2 n

Границы …

…

Математический анализ. Модуль-4 (2014-15)

Не выполняется н.у. сходимости ( lim an 0 НЕТ!) оба ряда расходятся.
		n
3) Можно показать, что lim Rn x 0			ряд при x 4, 0 сходится к
		n
функции f x	1	.
	x

Соседние файлы в папке MathAn

#
26.03.2016515.67 Кб18!Лекция-II(4)-№7(2014-15)_St (1).pdf
#
26.03.2016515.67 Кб15!Лекция-II(4)-№7(2014-15)_St.pdf
#
26.03.2016416.95 Кб19!Лекция-II-4-№1(2014-15)_St.pdf
#
26.03.2016576.72 Кб19!Лекция_II(4)-№3(2014-15)_St.pdf
#
26.03.2016411.12 Кб19!Лекция_II(4)-№3.1(2014-15)_St.pdf
#
26.03.2016609.34 Кб15!Лекция_II(4)-№4(2014-15)_St.pdf
#
26.03.2016565.74 Кб17!Лекция_II(4)-№5(2014-15)_St.pdf
#
26.03.2016315.43 Кб16!Лекция_II(4)-№8(2014-15)_St.pdf
#
26.03.2016431.56 Кб16!Лекция_II-4-№6(2014-15)_St.pdf
#
26.03.2016427.57 Кб16!Лекция_II_№10(2014-15)_St_n.pdf
#
26.03.2016390.56 Кб16!Лекция_II_№9(2014-15)_St_n.pdf