MathAn / !Лекция-II(4)-№7(2014-15)_St
.pdfМатематический анализ. Модуль-4
Лекция №7 Дифференциальные уравнения
основные понятия теории дифференциальных уравнений (ДУ);
ОДУ 1-го порядка.
Def 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение вида
|
|
n |
0 |
, |
(1) |
F x, y, y , y , , y |
|
связывающее независимую переменную x , искомую функцию y y x , и ее производные y , y , , y n .
!Если искомая функция y y x - функция одной независимой переменной, то уравнение (1) называется обыкновенным (ОДУ).
!Если искомая функция y - функция двух и более независимых переменных x , то уравнение (1) называется уравнением в частных производных (УЧП).
Например,
y y x,t |
|
y |
|
y |
|
m y |
|
|
0 , k,l Z \ 0 : k l m. |
||
F x,t, y, |
|
, |
|
, , |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
k |
|
|
||||||
|
|
x |
|
t |
|
x |
t |
l |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Def 2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например,
y xy e x - уравнение 1-го порядка;
y p x y 0 ( p x - известная функция) - уравнение 2-го порядка; y 7 xy x2 - уравнение 7-го порядка.
Def 3. Решением ДУ n -го порядка на интервале x a,b называется функция
y x , x a,b вместе со своими производными до n -го порядка включительно, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Пример 1
y sin x cos x - решение ДУ y y 0, x , .
y cos x sin x , y sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0 .
1
Математический анализ. Модуль-4
Def 4. Дифференциальным уравнением 1-го порядка (ДУ-1) называется уравнение вида
F x, y, y 0 , |
(1.1) |
где x - независимая переменная; y - искомая функция; y - ее производная.
! Если уравнение можно разрешить относительно |
y , то оно принимает вид |
y f x, y |
(2) |
и называется уравнением 1-го порядка, разрешенным относительно производной.
Записи ДУ-1:
dydx f x, y ,
f x, y dx dy 0 (частный случай уравнения P x, y dx Q x, y dy 0 ).
Пример 2
…
Def 5. Решением ДУ-1 называется функция y x , x a,b , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
! Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием ДУ.
Проинтегрировать простейшее ДУ: y f x .
dydx f x dy f x dx dy f x dx y F x C ,
F x - первообразная функции f x, y , C - произвольная константа. #
Пример 3
…
Def 6. График решения ДУ-1 называется интегральной кривой.
Теорема Коши (существования и единственности решения ДУ)
Пусть функция f x, y определена в некоторой области G плоскости xOy .
2
Математический анализ. Модуль-4
Если
а) функция f x, y непрерывна в области G ;
б) ее частная производная |
f |
|
|
|
|
|
|||
y |
f y x, y непрерывна (и ограничена) в области |
|||
|
|
|
|
|
G , |
|
|
|
|
то какова ни была точка x0 ,y0 G , в некоторой окрестности этой точки |
||||
существует единственное решение уравнения y |
f x, y , удовлетворяющее |
|||
условию: |
|
|
|
|
|
|
|
y x0 y0 |
(3) |
! Условия (3) – начальные условия решения.
Теорема Коши дает возможность по виду ДУ решать вопрос о существовании и единственности его решения.
!!! Важно, если неизвестно заранее, имеет ли уравнение решение.
Геометрически: через каждую внутреннюю точку x0 ,y0 области G проходит единственная интегральная кривая.
В области G - уравнение (2) имеет бесконечное множество решений.
! Задача нахождения решения ДУ, удовлетворяющего начальным условиям,
называется задачей Коши.
!!! Теорема Коши – достаточное условие существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (2), но не необходимое.
3
Математический анализ. Модуль-4
Может существовать единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию (3), но при этом в точке x0 ,y0 не выполняются условия a) или б) или оба.
Пример 4.1
…
Пример 4.2
…
Общее и частное решение ДУ
Def 7. Общим решением ДУ-1 в некоторой области G называется функция y x,С , зависящая от x и произвольной константы С , если она является
решением ДУ при любом значении С , и если при любых начальных условиях (3):x0 , y0 G , существует единственное значение постоянной С C0 : y x,С0
удовлетворяет данным начальным условиям x0 ,С y0 .
Def 8. Частным решением ДУ-1 в области G называется функция y x,С0 ,
которая получается из общего решения при определенном значении постоянной
С C0 .
Геометрически общее решение y x,С – семейство интегральных кривых на плоскости xOy , а частное решение y x,С0 - одна из кривых этого семейства, проходящая через точку x0 , y0 G .
Def 9. Особым решением ДУ-1 в области G называется решение y x , во всех точках которого не выполняется условие единственности (теорема Коши).
4
Математический анализ. Модуль-4
!!!Через каждую точку M x0 , y0 особого решения, кроме этого решения, проходит другое решение, не совпадающее с y x в сколь угодно малой окрестности этой точки.
!!!Геометрически особое решение – огибающая семейства интегральных кривых (если ) = линия, касающаяся в каждой своей точке хотя бы одной интегральной кривой.
Пример 4.3
…
Пример 5
…
Решение
…
Геометрический смысл ДУ-1 (подробнее)
График решения ДУ-1 y f x, y – интегральная кривая.
Через каждую точку интегральной кривой можно провести касательную к ней.
Угловой коэффициент y касательной в каждой точке x, y равен правой части ДУ-1 f x, y .
5
Математический анализ. Модуль-4
ДУ-1 устанавливает зависимость между координатами точки x, y и угловым коэффициентом y касательной в этой точке.
Def 10. Полем направлений ДУ-1 называется направленный отрезок, проведенный в каждой точке x, y интегральной кривой, угловой коэффициент которого равен
fx, y .
!Поле направлений строится по правой части ДУ-1
!По полю направлений можно приближенно построить интегральные кривые.
Пример 6.1
…
Решение
…
Пример 6.2
…
Решение
…
6
Математический анализ. Модуль-4
!Соотношение вида x, y,C 0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом ДУ-1.
!Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении С , называется частным интегралом ДУ-1.
7