Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

MathAn / !Лекция-II(4)-№7(2014-15)_St

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
515.67 Кб
Скачать

Математический анализ. Модуль-4

Лекция №7 Дифференциальные уравнения

основные понятия теории дифференциальных уравнений (ДУ);

ОДУ 1-го порядка.

Def 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение вида

 

 

n

0

,

(1)

F x, y, y , y , , y

 

связывающее независимую переменную x , искомую функцию y y x , и ее производные y , y , , y n .

!Если искомая функция y y x - функция одной независимой переменной, то уравнение (1) называется обыкновенным (ОДУ).

!Если искомая функция y - функция двух и более независимых переменных x , то уравнение (1) называется уравнением в частных производных (УЧП).

Например,

y y x,t

 

y

 

y

 

m y

 

 

0 , k,l Z \ 0 : k l m.

F x,t, y,

 

,

 

, ,

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

x

 

t

 

x

t

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Def 2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например,

y xy e x - уравнение 1-го порядка;

y p x y 0 ( p x - известная функция) - уравнение 2-го порядка; y 7 xy x2 - уравнение 7-го порядка.

Def 3. Решением ДУ n -го порядка на интервале x a,b называется функция

y x , x a,b вместе со своими производными до n -го порядка включительно, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Пример 1

y sin x cos x - решение ДУ y y 0, x , .

y cos x sin x , y sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0 .

1

Математический анализ. Модуль-4

Def 4. Дифференциальным уравнением 1-го порядка (ДУ-1) называется уравнение вида

F x, y, y 0 ,

(1.1)

где x - независимая переменная; y - искомая функция; y - ее производная.

! Если уравнение можно разрешить относительно

y , то оно принимает вид

y f x, y

(2)

и называется уравнением 1-го порядка, разрешенным относительно производной.

Записи ДУ-1:

dydx f x, y ,

f x, y dx dy 0 (частный случай уравнения P x, y dx Q x, y dy 0 ).

Пример 2

Def 5. Решением ДУ-1 называется функция y x , x a,b , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

! Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием ДУ.

Проинтегрировать простейшее ДУ: y f x .

dydx f x dy f x dx dy f x dx y F x C ,

F x - первообразная функции f x, y , C - произвольная константа. #

Пример 3

Def 6. График решения ДУ-1 называется интегральной кривой.

Теорема Коши (существования и единственности решения ДУ)

Пусть функция f x, y определена в некоторой области G плоскости xOy .

2

Математический анализ. Модуль-4

Если

а) функция f x, y непрерывна в области G ;

б) ее частная производная

f

 

 

 

 

 

y

f y x, y непрерывна ограничена) в области

 

 

 

 

G ,

 

 

 

 

то какова ни была точка x0 ,y0 G , в некоторой окрестности этой точки

существует единственное решение уравнения y

f x, y , удовлетворяющее

условию:

 

 

 

 

 

 

 

y x0 y0

(3)

! Условия (3) – начальные условия решения.

Теорема Коши дает возможность по виду ДУ решать вопрос о существовании и единственности его решения.

!!! Важно, если неизвестно заранее, имеет ли уравнение решение.

Геометрически: через каждую внутреннюю точку x0 ,y0 области G проходит единственная интегральная кривая.

В области G - уравнение (2) имеет бесконечное множество решений.

! Задача нахождения решения ДУ, удовлетворяющего начальным условиям,

называется задачей Коши.

!!! Теорема Коши – достаточное условие существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (2), но не необходимое.

3

Математический анализ. Модуль-4

Может существовать единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию (3), но при этом в точке x0 ,y0 не выполняются условия a) или б) или оба.

Пример 4.1

Пример 4.2

Общее и частное решение ДУ

Def 7. Общим решением ДУ-1 в некоторой области G называется функция y x,С , зависящая от x и произвольной константы С , если она является

решением ДУ при любом значении С , и если при любых начальных условиях (3):x0 , y0 G , существует единственное значение постоянной С C0 : y x,С0

удовлетворяет данным начальным условиям x0 ,С y0 .

Def 8. Частным решением ДУ-1 в области G называется функция y x,С0 ,

которая получается из общего решения при определенном значении постоянной

С C0 .

Геометрически общее решение y x,С семейство интегральных кривых на плоскости xOy , а частное решение y x,С0 - одна из кривых этого семейства, проходящая через точку x0 , y0 G .

Def 9. Особым решением ДУ-1 в области G называется решение y x , во всех точках которого не выполняется условие единственности (теорема Коши).

4

Математический анализ. Модуль-4

!!!Через каждую точку M x0 , y0 особого решения, кроме этого решения, проходит другое решение, не совпадающее с y x в сколь угодно малой окрестности этой точки.

!!!Геометрически особое решение – огибающая семейства интегральных кривых (если ) = линия, касающаяся в каждой своей точке хотя бы одной интегральной кривой.

Пример 4.3

Пример 5

Решение

Геометрический смысл ДУ-1 (подробнее)

График решения ДУ-1 y f x, y – интегральная кривая.

Через каждую точку интегральной кривой можно провести касательную к ней.

Угловой коэффициент y касательной в каждой точке x, y равен правой части ДУ-1 f x, y .

5

Математический анализ. Модуль-4

ДУ-1 устанавливает зависимость между координатами точки x, y и угловым коэффициентом y касательной в этой точке.

Def 10. Полем направлений ДУ-1 называется направленный отрезок, проведенный в каждой точке x, y интегральной кривой, угловой коэффициент которого равен

fx, y .

!Поле направлений строится по правой части ДУ-1

!По полю направлений можно приближенно построить интегральные кривые.

Пример 6.1

Решение

Пример 6.2

Решение

6

Математический анализ. Модуль-4

!Соотношение вида x, y,C 0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом ДУ-1.

!Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении С , называется частным интегралом ДУ-1.

7