MathAn / !Лекция_II(4)-№3.1(2014-15)_St
.pdf
Математический анализ. Модуль-4
Лекция №3.1 (продолжение) Свойства степенных рядов
Пример дополнительный
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти область сходимости с.р. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
3n |
n |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично примеру *. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: область сходимости 3; 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Ряд an xn сводится к ряду |
|
|
an x x0 n заменой переменных |
||||||||
n 0 |
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|||
x x0 X . Интервал сходимости определяется из неравенства |
|
x x0 |
|
R , откуда |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 R, x0 R - интервал сходимости ряда |
|
|
an x x0 n . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
4. Свойства степенных рядов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть функция f x есть сумма степенного ряда f x an xn |
с интервалом |
||||||||||
сходимости R, R . Тогда говорят, что |
|
|
|
n 0 |
|
|
R, R в |
||||
f x р азлагает ся на |
|||||||||||
степенной ряд.
!!! Из теоремы Абеля следует, что степенной ряд мажорируем на любом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости
степенные ряды обладают рядом свойств, аналогичных свойствам многочленов.
Теорема 5
С.р. an xn мажорируем на любом отрезке r, r R, R (целиком
n 0
лежащем внутри интервала его сходимости)
Доказательство
Рассмотрим ч.р.
a |
0 |
|
|
|
a |
|
r |
|
a |
2 |
|
r 2 |
|
|
a |
n |
|
r n , (*) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Математический анализ. Модуль-4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем, что для ряда an xn при r R существует сходящаяся |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
положительная числовая мажоранта. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как r R по теореме Абеля ряд (*) сходится; |
|
|
|
|
|
|||||||
При x r, r ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
r ) для членов ряда |
an xn выполняется |
|
an xn |
|
|
an |
|
r n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
an xn мажорируем на r, r , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ч.т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствие. Степенной ряд сходится равномерно на всяком отрезке,
целиком лежащем внутри интервала сходимости (см. теорему Вейерштрасса).
Теорема 6
На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости сумма с.р. есть непрерывная функция.
Почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда
Теорема 7
С.р. можно почленно интегрировать на любом отрезке 0, x , где R x R . Интеграл суммы равен сумме интегралов членов ряда:
x |
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
a2 |
|
|
an |
|
xn 1 |
|
|
an xn dx |
a0 |
|
x2 |
|
|
x3 |
|
|||||
|
|
n |
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
1 |
||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
Теорема 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть функция |
f x р а з л а г а е т с я на R, R в с.р. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x an xn a0 |
a1x a2 x2 |
an xn . (**) |
||||||||||||
n 0
Тогда с.р.
2
Математический анализ. Модуль-4
nan xn 1 a1 2a2 x 3a3x2 nan xn 1 ,
n 1
полученный почленным дифференцированием ряда (**), имеет тот же интервал сходимости R, R , и функция f x на всем R, R имеет
производную f x nan xn 1 a1 2a2 x 3a3x2 nan xn 1
n 1
Доказательство
!!!По отношению к интегрированию и дифференцированию с.р. в пределах их интервалов сходимости ведут себя как многочлены.
!!!Повторно применяя теорему 8 получим, что функция f x бесконечно дифференцируема на R, R .
3