В саду растут четыре дерева: а)

game.9

б)

game.10

в)

game.11

г)

Найдите все равновесия по Нэшу; Найдите все равновесия по Нэшу, совершенные в подыграх; Задача 3.61.

Меньше подыгр - легче считать!

а) Укажите, сколько стратегий у каждого игрока; б) Переведите игру в матричную форму; в) Найдите равновесия по Нэшу;

г) Укажите, какие из найденных равновесий по Нэшу являются совершенными в подыграх. Задача 3.62.

Два игрока: Петя и Вася. Еще есть очень большая куча спичек откуда игроки вытаскивают случайным образом спички. Длина спичек – равномерна на [0; 1]. Игроки ходят по очереди: сначал Петя затем Вася. Делая свой ход каждый игрок знает всю предысторию игры. Ход игрока состоит в следующем: сначала игрок тянет одну спичку. Узнав ее длину, он решает тянуть ли ему вторую. Результат игрока – суммарная длина вытянутых им спичек, если она меньше единицы и ноль иначе. Т.е. сначала Петя тянет одну или две спички, а затем Вася, зная результат Пети, тянет одну или две спички. В игре побеждает игрок с наибольшим результатом.

1.Найдите равновесие Нэша совершенное в подыграх

2.Решите задачу для случая 3 игроков, для

3.1Доллар Рубинштейна

Задача 3.63.

Равновесия по Нэшу в модели Рубинштейна Саша и Маша делят доллар по Рубинштейну. Т.е. сначала Маша предлагает свой вариант

дележа, затем Саша соглашается или нет, если он не соглашается, то предлагает свой вариант и т.д. Доллар можно поделить в любой пропорции.

game.12

game.33

а) Приведите примеры равновесий по Нэшу, в которых:

-Маша предлагает поделить доллар поровну на первом шаге, а Саша соглашается

-Маша предлагает весь доллар Саше на первом шаге, а Саша соглашается.

-Игра оканчивается на втором шаге

б) Какие из Ваших примеров являются равновесиями, совершенными в подыграх? Задача 3.64.

Делим неделимый доллар! [Binmore, О]

Рассмотрите модель Рубинштейна с неделимым долларом (дисконт факторы игроков могут быть различными). Теперь либо весь доллар достается Саше (второму игроку), либо весь - Маше.

а) Постройте примеры совершенных подыгровых равновесий по Нэшу, в которых:

-Доллар достается Маше на первом шаге

-Доллар достается Саше на первом шаге

-Доллар достается Саше на втором шаге Задача 3.65.

Делим чуть-чуть делимый доллар Рассмотрите модель Рубинштейна, в которой доллар можно поделить только в пропорциях

(1 : 0) , (0 : 1) , (0, 7 : 0, 3) и (0, 4 : 0, 6) .

Постройте примеры совершенных подыгровых равновесий по Нэшу, в которых: - Доллар будет поделен в соотношении (0, 7 : 0, 3) на первом шаге - Доллар будет поделен в соотношении (0, 4 : 0, 6) на первом шаге - Доллар будет поделен в соотношении (0, 7 : 0, 3) на втором шаге Задача 3.66.

[LSE, 1998]

Саша и Маша делят доллар Рубинштейна. Сначала вариант дележа предлагает Саша, если Маша не согласна, то предлагает она. Если и Саша не одобряет машин дележ, то оба игрока получают нулевые платежи. Маша нетерпелива, ее дисконт фактор равен 23 .

а) Найдите равновесие по Нэшу, совершенное в подыграх; б) Найдите все равновесия по Нэшу;

в) Решите задачу в предположении, что на своем ходе Маша не может запросить себе долю больше той, что Саша запросил себе на первом ходе.

Задача 3.67.

Рассмотрите следующий вариант модели Рубинштейна.

У обоих игроков одинаковый дисконт-фактор. Число периодов неограничено. Если игрок соглашается с предлагаемым дележом, то игра окончена. Если игрок не соглашается с предлагаемым дележом, то с вероятностью 1 > > 0 игра оканчивается и никто не получает ничего, а с вероятностью (1 − ) - продолжается.