Задачник для Тигров |
60 |
Байесовский семейный спор или “капризная жена”. Муж и жена решают, куда пойти — на футбол ( ) или на балет ( ). Все осложняется тем обстоятельством, что жена может находиться в хорошем настроении (и тогда стремится быть вместе с мужем), а может и в плохом (и тогда видеть его не может). Короче, вот таблица игры. Строки соответствуют мужу, а столбцы — жене, чей выигрыш зависит от настроения ( , ):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3; |
2,0 |
1; |
1,3 |
|
0; |
0,2 |
2; |
3,1 |
Найдите все байесовские равновесия, предполагая, что настроения и наступают с равными вероятностями. Не забудьте про смеси.
Источник: БЗИ, NES. Задача 8.21.
Rendez-vous-1. Александра и Виктор живут на одной улице (считаем, что их места жительства являются случайными точками, равномерно и независимо распределенными на отрезке [−1, 1]). Для того, чтобы договориться о встрече, они сообщают друг другу, где живут, и встречаются ровно посередине между названными точками. Сообщения делаются одновременно и независимо и необязательно правдивы (но все же в пределах [−1, 1]). Полезность каждого из участников равна пройденному расстоянию, взятому со знаком “минус”.
1.Найдите оптимальный ответ Александры на правдивую стратегию Виктора (когда он в любом случае сообщает свое фактическое место жительства).
2.Докажите, что если каждый из участников будет играть, как Александра в п. 1, то получится байесово равновесие. Будет ли оно эффективным?
3.Разработайте механизм наподобие схемы Гровса, делающий равновесие ex-post эффективным.
Источник: БЗИ, NES. Задача 8.22.
ВАнтинаучно-Исследовательском Университете - Самая Маленькая Академия есть место только для одного студента. На это место претендуют два абитуриента: Петя и Вася.
Вступительные испытания проходят в два этапа: первый – обязательный, второй – по желанию абитуриента. Узнав свой результат после первого этапа каждый абитуриент решает, идти ли ему на второй этап или нет. При принятии решения ни один абитуриент не знает чужого результата. Итоговым результатом является последний результат.
ВАИУ-СМА зачисляется абитуриент с самым высоким итоговым результатом. Петя и Вася – последние двоечники, поэтому все их результаты – независимые равномерные на [0; 1] случайные величины.
1.Найдите равновесие Нэша.
2.Найдите равновесие Нэша, если после первого этапа абитуриенты узнают и свой, и чужой результаты
3.В каком случае в АИУ-СМА будет больше ожидаемый итоговый результат?
8.1Аукционы
Фигура, изображающая правосудие!-провозгласил аукционист.– Бронзовая. В полном порядке. Пять рублей. Кто больше?
Задача 8.23.
Общее решение аукциона первой цены Ценность лота для каждого из покупателей - случайная величина, имеющая функцию
плотности ( ). Игроки одновременно подают заявки с указанием цены покупки . Лот достается тому, кто указал наибольшую цену. Выигравший акцион платит названную им цену.
Найдите симметричное равновесие по Нэшу Задача 8.24.
Задачник для Тигров |
61 |
auction in which the highest bidder wins, and pays the average of all the other bids. Private values that are uniformly distributed on [0, 1]. The question asks for the symmetric Bayse-Nash equilibrium and best response to truthful bidding
Задача 8.25.
There is an auction with N players. Some painting is saling by auction. B is a bet for each player and this bet depends on player’s value V, i.e. Vi V[0;1] and B = f(Vi)
Задача 8.26.
Василий, покажите публике «Правосудие» В пассаже на Петровке на аукцион выставлена «Фигура, изображающая правосудие» (бронзовая,
в полном порядке). Тигр: Я в полный рост с весами в лапе. Ценность фигуры для каждого из двоих покупателей - случайная величина, распределенная равномерно на отрезке [0; 1] . Игроки одновременно подают заявки с указанием цены покупки . Фигура достается тому, кто указал наибольшую цену. Если игроки указали одинаковую цену , то их платежи равны
12 ( − ) .
а) Укажите количество типов каждого игрока; б) Пусть первый игрок использует линейную стратегию 1 ( 1) = 1 + . Найдите ожидаемый
выигрыш второго игрока, при условии, что ценность «Правосудия» для него равна 2 , а указал он цену 2.
в) Найдите равновесие по Нэшу, в котором оба игрока используют одинаковую линейную стратегию. Укажите среднюю выручку продавца в этом равновесии.
Задача 8.27. Аукцион второй цены
За право купить стулья работы мастера Гамбса на аукционе столкнулись покупателей. Для покупателя ценность стульев равна , причем 1 > 2 > ... > > 0 . Аукцион проходит по следующим правилам: покупатели одновременно предлагают цены, товар получает тот, кто назовет наибольшую цену. При этом победитель аукциона платит наивысшую цену, названную остальными (!) игроками (не ту, что назвал он сам!). Так, например, если были предложены цены 4, 2, 7, 1, 3, 5, то стулья достаются покупателю, назвавшему цену 7, а платит он 5.
Уточнение:
Если наивысшая цена была названа сразу несколькими игроками, то товар получает один из них равновероятно, а платит он эту самую наивысшую цену.
а) Представьте эту игру нормальной форме. Классифицируйте ее.
б) Верно ли, что стратегия = (декларировать свою истинную ценность стульев) нестрого доминирует остальные стратегии покупателя ?
в) Найдите как минимум 3 различных равновесия по Нэшу в чистых стратегиях Задача 8.28.
Аукцион первой и второй цены. На аукционе, в котором участвуют два покупателя, продается картина. Ценность ее для покупателя составляет , = 1, 2, где 1, 2 — независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1]. Информация об доступна только -му участнику. Игрок тайно заявляет цену и запечатывает заявку в конверт, на котором пишет свою фамилию.
1.Пусть картина достается тому, кто назвал наибольшую цену, каковую он и платит. Предполагая стратегии игроков такими, что размер заявки пропорционален субъективной ценности картины, найти байесовское равновесие. Будут ли игроки декларировать свои истинные оценки картины?
2.Тот же вопрос для аукциона “второй цены”, когда картина достается тому, кто назвал наибольшую цену, но платит он цену, заявленную проигравшим аукцион.
Источник: БЗИ, NES.