Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

324

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

		Ответы к главе

в) В качестве базиса можно взять e1 = 00			01 , e2 = 10	00 , e3 = 00	10 .
В этом базисе A =(2; 2; 3).
3.9. а) (2; 2; −4);	б) (2; −1; −2); в) (−1; −3; 5).
3.10. а) Линейно зависима;		б) линейно независима;
в) линейно независима; г) линейно зависима;
д) линейно зависима; е) линейно независима.
3.11. а) Ранг , в качестве базиса можно взять ~a1, ~a2, ~a3.
В этом базисе ~a4 =(0,5; 0,5; 0).
б) Ранг , в качестве базиса можно взять ~a1, ~a2, ~a3.
В этом базисе ~a4 =(7,75; −0,25; −2,5).
в) Ранг , в качестве базиса можно взять ~a1, ~a2.
В этом базисе ~a3 =(−1; 2), ~a4 =(−2; 3).
г) Ранг , в качестве базиса можно взять ~a1, ~a2, ~a3.
В этом базисе ~a4 =(0; −1; −2).
д) Ранг , в качестве базиса можно взять ~a1, ~a3, ~a5.
В этом базисе ~a2 =(1; −1; 0), ~a4 =(−2; 2,5; 1).
е) Ранг , в качестве базиса можно взять ~a1, ~a2, ~a3.
В этом базисе ~a4 =(−3; 5; −1), ~a5 =(−2; 0; 3).
3.12. а) a =−3;	б) a =2.	3.13. а) a 6=5;	б) a 6=2.

Глава

Матрицы и определители матриц. Системы линейных уравнений

Справочный материал и примеры решения задач

1. Вычислить определитель матрицы A путем разложения его по элементам какого-либо столбца (строки):

A =		0	−3	−5 .
		1	2	4
	−2		1	3

Решение. Будем раскладывать определитель матрицы по элементам первого столбца с учетом наличия в этом столбце нулевого элемента (чем больше нулевых элементов, тем меньше объем вычислений). Определитель матрицы вычисляется по формуле

det A = a11 A11 +a21 A21 +a31 A31 .

Здесь ai1 –– элементы первого столбца, а Ai1 –– их алгебраические дополнения (i = 1, 2, 3). Алгебраические дополнения вычисляются по формуле:

Aij = (−1)i+j Mij ,

где Mij –– соответствующие миноры. Минором Mij матрицы A называется определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j. Вычисляем нужные нам алгебраические дополнения:

−13

−32

−54

A11

= −14,

A31

= −2.

−

Отсюда det A

A11

2A31

10.

2. Вычислить матрицу A−1, обратную матрице A = 3

4 .

Решение. Для вычисления матрицы, обратной матрице второго порядка, существует следующая формула.

	Глава . Матрицы и определители матриц

a	b			1		d	b
Если A = c	d и det A =ad −bc 6=0, то A−1			=		−c	−a .
Если A = c	d и det A =ad −bc 6=0, то A−1			=	det A	−c	−a .
Отсюда получаем для данной матрицы:
	A−1 = −2	−3	−1 .
	1	4	2

Заметим, что правильность решения легко проверить, убедившись, что AA−1 =E, где E –– единичная матрица.

3.Вычислить матрицу A−1, обратную матрице A.

1 2 −1 A = 3 0 2 .

4 −2 5

Решение. Эту задачу можно решать двумя способами: методом присоединенной матрицы, основанным на вычислении алгебраических дополнений, и методом элементарных преобразований. Продемонстрируем оба метода.

Способ . Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A и ее определитель:

A11	= 4,	A12	= −7,	A13	= −6,
A21	= −8,	A22	= 9,	A23	= 10,
A31	= 4,	A32	= −5,	A33	= −6,

det A = a21 ·A21 +0 +a23 ·A23 = −4.

Составим присоединенную матрицу B, элементами которой являются алгебраические дополнения матрицы A:

B =	−8		−9	10	.
		4	7	−6
			−5			1
		4	−5	−6

Используя формулу для обратной матрицы A−1 = det A BT, получим

		1	4	−8	4
A−1 =	−	4	−7	9	−5 .
	−		−6	10	−6
Способ . Используем теперь метод элементарных						преобразова-

ний. Построим матрицу, полученную дописыванием справа от мат-

рицы A единичной матрицы:					−2			0 .
B = (A E) =	3			0	−2	0	1	0 .
		1	−	2	1	1	0	0
			−
\|

		4		2	5	0	0	1
		4		2	5	0	0	1

	I. Алгебра

С помощью метода Гаусса приведем матрицу, составленную из первых трех строк и столбцов, к единичной матрице. При этом преобразования над ее строками будем производить над строками всей матрицы B. Справа от матрицы указано, какие элементарные преобразования будут выполнены со строками на этом шаге. Римские цифры обозначают номера строк.

	1	−	2	1	1	0	0	II−3 ·I		1	−	2	1	−	1	0
		−	0	−2	0	1					−		−5	−		1
3			0	−2	0	1	0 −−−→−		0		−6		−5	−3		1
								III 4I
	4		2		0	0	−			0				1	4	2
	4		2	5	0	0	1			0		10 9			4	0

→		1	2	2	1	0	0
			−6	3	−3	−3		3 ·III
				5		1			0		6
	0			5		1	0		0	−	6
						5		−−→		−

		0	0		1		1		0		0
		0	0		1		1		0		0

Далее получим нули над главной диагональю:

0 III−53 II

0 −−−→

−5	−3		1	0 .
1	1	−	0	0


2	3		5	3
2	3		5	3

		1		2			1			1			0			0
II−	5	1		2			1														2 ·II
II−	2 III	0		6	−0					21		27				15					2 ·II
			−							3			5			3				−−→
−−−→			−							− 2					− 2					−−→
−−−→		0		0			2			− 2	−		2		− 2
											−
								1		2		1				1					0		0			1
										−12	−0				−21			−
						0				−12	−0				−21					27		−15 I−2 III
				→																					−−−→
				→				0		0		2				3					5	3			−−−→
								1		2	0				2,5			2,5				1,5				1
																	−								I+6 II
										−12	0			−21				27
				→ 0						−12	0			−21				27				−15			−−→
								0		0	2				3				5			−	3		−−→
									1	0					−	1				2		−	1			12 II
									1	0		0				1				2			1			1
										−12 0							−
							0			−12 0					−21 27							−15 −1
					→																				−−2 III→
					→				0	0		2			3					5			3		−−2 III→
																						0					−				−
																						0		1	0			7	−	9		5
																						1		0	0			4	−	4		4 .
																			→									3		5		3
																								0	1
																						0		0	1


																												2	−2			2

В правой части полученной матрицы мы видим матрицу, обратную матрице A:

A−		4	−4 4			4	−			−	.
		−1	2	−1				4	8		4
	1 =	7	9	5	= 1		−	7	−9	−	5
		2	−2	2	−		−			−
		2	−2	2
		3	5	3				6	10		6
		3	5	3				6	10		6

Глава . Матрицы и определители матриц

4. Решить следующую систему линейных уравнений:

2x1 +x2 −x3 −3x4 = 2,4x1 +x3 −7x4 = 3,

2x2 −3x3 +x4 = 1,

2x1 +3x2 −4x3 −2x4 = 3.

Ответ записать в векторной форме.

Решение. Составим расширенную матрицу данной системы уравнений и с помощью элементарных преобразований (методом Гаусса) приведем ее к ступенчатому виду.

4 0			1	−7		3		0 −2 3 −1			−1		0 −2		−3	−1	−1
	2 1	−1		−3		2	→		2 1	−1 −3	2	→		2 1	1	−3	2
		−					→			−		→
		− −								−
		− −								−
	0 2		3		1				0 2 3 1		1			0 0	0	0
	0 2		3		1	1			0 2 3 1		1			0 0	0	0	0 .

	2 3		4			3			0 2 3 1		1			0 0	0	0	0
	2 3		4		2	3			0 2 3 1		1			0 0	0	0	0

Попутно мы выяснили, что ранги основной и расширенной матриц системы совпадают (равны двум). Это свидетельствует о совместности системы. Из вида полученной матрицы следует, что неизвестные x1 и x2 можно выбрать в качестве базисных. В качестве базисных неизвестных рекомендуется брать неизвестные, соответствующие первым отличным от нуля элементам соответствующей строки матрицы, приведенной к треугольному виду. Оставшиеся неизвестные x3 и x4 берем в качестве свободных. Из второго уравнения выразим x2 через свободные неизвестные x3 и x4. Получим

1 3 1

x2 = 2 + 2 x3 − 2 x4. Подставляя это выражение в первое уравнение

и приводя подобные члены, находим x1 = 34 − 14 x3 + 74 x4. Полагая x3 =C1, x4 =C2, получаем

x1 = 34 −14 C1 + 74 C2, x2 = 12 + 32 C1 −12 C2.

Ответ можно теперь записать в векторной форме:

		x1				−4				4			4
							1			−	7			3	.
~x		x	3		C1		2		C2	−	2			2	.
			3								0
=	x4			=			1	+			0	+	0
=	x2			=			3	+			1	+		1
							0				1			0

Обратите внимание, что последний из векторов является частным решением исходной системы, а другие два –– это линейно независимые решения соответствующей однородной системы.

	I. Алгебра

5. Решить однородную систему линейных уравнений и найти для нее фундаментальную систему решений:

2x1 +x2 −x3 −3x4 = 0,4x1 +x3 −7x4 = 0,

2x2 −3x3 +x4 = 0,

2x1 +3x2 −4x3 −2x4 = 0.

Решение. После проведения элементарных преобразований ре-

шение однородной системы записывается в виде
		x1					−4					4
								1				7	,
~x		x	3			C1		2		C2	−2		,
			3					1				0
=	x4			=				1	+			0
=	x2			=				3	+			1
								0				1


см. предыдущую задачу. Векторы
			−		3						1
					1		и ~e2				7
~e1 = 2							и ~e2		= −2
					4						4
					1						0
					0						1
					0						1

образуют фундаментальную систему решений данной однородной системы уравнений. Тогда любое решение однородной системы можно представить в виде ~x =C1~e1 +C2~e2.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

1 0 6 A = 3 2 5 .

1 0 2

Решение. Вектор ~x 6= 0 и число λ называются соответственно

собственным вектором и собственным значением матрицы, если выполняется следующее равенство: A~x =λ~x. Собственные значения являются корнями уравнения det(A −λE) = 0, где E –– единичная матрица. Составим матрицу A −λE и вычислим ее определитель.

A −λE =	1 −λ	0	6	,
A −λE =	3	2 −λ 5		,
	1	0	2 −λ

det(A −λE) = (2 −λ)((1 −λ)(2 −λ) −6) = (2 −λ)(λ2 −3λ−4).

Корни полученного многочлена –– это λ1 =2, λ2 =−1, λ3 =4.

Глава . Матрицы и определители матриц

Найдем теперь собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1 =2. Для этого решим однородную систему уравнений с матрицей A −λ1 E:

A λ1 E =	−3		0	5 ,
−		1	0	6
−		1	0	0

после элементарных преобразований матрица приводится к виду

−0		0	6 .
	1	0	6
	0	0	0

Фундаментальная система решений соответствующей однородной системы состоит из одного вектора

0 ~a1 = 1 ,

который является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ1 = 2, а множество всех собственных векторов, соответствующих данному собственному значению, имеет

вид t~a1.

Вычислим теперь собственный вектор, соответствующий собственному значению λ2 =−1.

	−		2	0	6		2	0	6
Матрицу A	−	λ2 E =	1	0	3	приводим к виду	0	0	0
Матрицу A		λ2 E =	3	3	5	приводим к виду	0	3	−4 .

Фундаментальная система решений соответствующей однородной системы состоит из одного вектора

−9 ~a2 = 4 ,

который и является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ2 =−1, а множество всех собственных векторов, соответствующих данному собственному значению, имеет

вид t~a2.

Вычислим теперь собственный вектор, соответствующий собственному значению λ3 =4.

					I. Алгебра

	−			3	0	6			3	0	6
Матрицу A	−	λ3 E =		1	0 −2		приводим к виду		0	0	0
Матрицу A		λ3 E =	−3		−2	5	приводим к виду	−0		−2	11 .

Фундаментальная система решений соответствующей однород-

ной системы состоит из одного вектора

4 ~a3 = 11 ,

который и является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ3 = 4, а множество всех собственных векторов, соответствующих данному собственному значению имеет вид t~a3. Задача решена.

§. Операции над матрицами

1.1.Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C:

а) A				1			7	2			3	4	0		2A −3B;
а) A	−1 1							−2 , B		−1 0 4 , C					2A −3B;
	=			3			4	2	=		2	3	1	=
				3				2 1 6				2 1 9 0
б) A =				8			−3 4 1 , B =				−2 6 4 1 , C = A							−	2B.
		−5						7 0 4			−3 4 5 2							−
1.2. Даны					матрицы A и B.						Найдите матрицу					X , удовлетворяю-
щую матричному уравнению:												4 , B =		−2 0			5 ;
а) A +2X 4B =0, A =									6 −2			4 , B =		−2 0			5 ;
										2	−4	0			1	3	7
				−					0		8	2			4 5		3
									7		2	1 5				5	4 3 0
а) 5A +3X					−		B =0, A =		3 −2			4 −3 , B = 2					3 −2 1 .
					−				2		1	1	1		1		0 2 4


1.3. Найдите f (A), если A = 13												42	и f (x) =x2 −3x.
1.4. Найдите произведение матриц A и B:
а) A =		3 −2 , B = −5 2 ;
		1				5			3	1	−3 ;
б) A =		7			−3 , B = −1 5						−3 ;
		2				1			4	0	3
			2				4
в) A =			1				8				;
в) A =		3 −1 , B = 16 −32									;

Глава . Матрицы и определители матриц

г) A =	1 −2			−4 , B = 2 6 ;
	0		0		2			5		4
	2	−2			5		3			1
		−					2			0
		−	3					4		6
	1		3	0
д) A = 2			1 3		, B = −1 5 ;
		−						1		2		2
е) A =		−		1				1			2	2
е) A =	−3			1	7 , B		= 3			−2		−1 ;
	2		4		1
ж) A = −1 −1										−
ж) A = −1 −1					−3 , B =				2 −1 3 ;
	2			3	2				1			3 0
	0 −2				4				1 −2 3
							2							2
з) A =	1 2 −3				, B =	−1 ;					и) A =		−1 , B =
	€			Š		4								4
	5	2		4				3
к) A =	1 1 −3 , B = −2 ;
	1	0		3					5
л) A =							5		2		2
л) A =	1 2 −5				, B =		7		−0 1 ;
	€			Š

53 1

	5	−1			2	4
м) AT = 4	5	−1	, BT =	1		−3 .
1	3	2			6	3

€ Š

1 2 −3 ;

1.5. Найдите произведения A ·B и B ·A матриц A и B и установи-

те, как при этом меняются столбцы или строчки матрицы B:
а) A =	0 0		1 , B =	4 5		6 ;
	1	0	0	1	2	3
	0	1	0	7	8	9
	1	0	0	5	2	4
б) A =	0	1	0 , B =	1 0		3 .
	0	0	8	1	3	2

1.6. Используя результат предыдущей задачи, представьте матрицу B в виде произведения матриц A и X . В ответе укажите матрицу X и порядок сомножителей (B = A ·X или B = X ·A):

	342	211	645	645	211	342
а) A =	457	992	719 , B =	719	992	457 ;

	123	403	842	842	403	123

			I. Алгебра

	342	211	645	457	992	719
б) A =	457	992	719 , B =	342	211	645 ;
	123	403	842	123	403	842
	332	211	123	996	633	369
в) A =	457	992	719 , B =	457	992	719 ;
	123	403	842	123	403	842
	111	203	343	333	812	343
г) A =	209	121	514 , B =	627	484	514 .

	221	106	678	663	424	678

1.7. Возведите матрицу A в степень n:

5 −2 , n

а) A

−4 , n

б) A

−2

−1

в) A

−2 , n

10, n

15; г) A

1 , n

10;

−1

д) A =

1a , n –– произвольное натуральное число.

§ . Определитель и ранг матрицы

2.1. Найдите ранг матрицы:

	2	5	1							3	1	2
	1	2	0						9		3	6
а)	3	8 2 ;						б)	6 2 4 ;

	2	1 4 −3					7		3 1 1 0 −2
в)	4	15 8			7		1 ;	г)	1 5 0 2 −1 ;

	2	17 4		13 −9					0 1 3 3 −1
	1	3 −1							1		5 −2
	3	4		3					2		1		−3
	1	2		1					1			4	1
д)	1	−1		1 ;				е)	4		11		−7 ;
											−		−
							1								−1
	2 3 4				5		1		−1 −3					0	−1
	1 2		3		4		5			1		0		0			5
ж)	3 4 5			−	1		2 ;	з)	−2 −9				−	4 −2 ;
				−									−		−
	1 3			5	3		1					1 1		8	2
	4 5 6				3		3		5			18		8			1
	2 −1 −3					−4			−11			1 3			−0
и)	7 7			9			1	к)		3		1 5 2
и)	5 1		−1				7 ;	к)		2		−1 0 3				.

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.201983.02 Кб3Сам.работа №2.docx
#
26.03.2016155.91 Кб6санди таймс.docx
#
01.09.201942.55 Кб4Сара Брайтман.docx
#
29.08.2019540.18 Кб4сборник 2.rtf
#
09.11.2019200.19 Кб26Сборник Essay.doc
#
26.03.20161.04 Mб324Сборник задач по высшей математике.pdf
#
10.11.20193.13 Mб10Сборник инд.зад. по электронике.doc
#
13.11.20191.09 Mб28Сборник тестов по СГМУ.doc
#
02.06.2015364.24 Кб26Сборник+задач.Часть+2.pdf
#
02.06.20154.04 Mб48сборник_конституционное_право_и_политика.pdf
#
25.11.2019847.87 Кб25Сборник_практ.doc