Сборник задач по высшей математике
.pdf
|
III. Функции нескольких переменных |
|
|
непрерывных функций x =g1( y) и x =g2( y), g1( y) ¶g2( y),
то двойной интеграл от функции f (x, y) по области G вычисляется повторным интегрированием по формуле:
|
|
RRG |
|
|
|
b |
g2( y) |
|
|
|
|
|
|
f (x, y) dx dy = Ra |
dy g1R( y) |
f (x, y) dx. |
|
|
|||||
|
1. |
|
интеграл |
|
+ |
|
по области |
|
|||
Задача |
|
Вычислите |
= |
x и y |
=RRG 2(x |
|
2 y) dx dy |
|
G, |
||
ограниченной линиями y |
|
|
2x −x. |
|
|
|
Изобразим область интегрирования на плоскости xOy:
|
III. Функции нескольких переменных |
RR
1.21.(2 y3 −x) dx dy; y =x +2, x =0, y =0.
DRR
Изобразите область D и найдите интеграл f (x, y) dx dy. Объ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
||
ясните совпадение ответов в п. а) и б) ( . –– . ). |
||||||||||||||
1.22. (x, y) =4x +1 |
а) D = 0 ¶x ¶3; 0 ¶y ¶x2 ; |
|||||||||||||
б) D =f 0 ¶y ¶9; p |
|
¶x ¶3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.23. f (x, y) =15 y |
|
|
|
а) D = 0 ¶x ¶1; x2 |
− |
1 ¶y ¶0 ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) D = 1 ¶y ¶0; 0 ¶x ¶ y +1 . |
|
|
|
|
||||||||||
1.24. f (−x, y) =5 y а) D ={0p¶x ¶3, x ¶y ¶x2}; |
||||||||||||||
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
9, p |
|
¶x ¶3}. |
|||
б) D ={ |
3 ¶y ¶0, |
|
|
|
y ¶x ¶3} |
|
{0 ¶y ¶ |
y |
1.25. f (x, y) =2x + y а) область D ограничена линиями x =3 y, x =0, y =1;
б) область D ограничена линиями y =3x, y =0, x =1.
1.26. а) Область D ограничена линиями x = 6 y, x = 0, y = 1; f (x, y) =x +2 y;
б) область D ограничена линиями y =6x, y =0, x =1; f (x, y) =
=2x + y.
RR
Найдите интеграл f (x, y) dx dy. Сравните результат с объе-
D
мом соответствующего тела ( . –– . ).
1.27.D ={0 ¶x ¶2; 0 ¶y ¶1}, f (x, y) =3.
1.28.D ={0 ¶x ¶2; 0 ¶y ¶x}, f (x, y) =3.
1.29.D ={0 ¶x ¶2; 0 ¶y ¶x}, f (x, y) =3 y.
1.30.D ={0 ¶x ¶2; 0 ¶y ¶x}, f (x, y) =3x.
1.31.D ={0 ¶x ¶2; −x ¶y ¶x}, f (x, y) =3 y.
1.32.D ={0 ¶x ¶2, −x ¶y ¶x}, f (x, y) =3x.
1.33.D ={0 ¶x ¶1; 0 ¶y ¶1 −x}, f (x, y) =6x.
1.34.D ={0 ¶x ¶1; 0 ¶y ¶1 −x}, f (x, y) =6 y.
1.35.D ={0 ¶x ¶1; 0 ¶y ¶1 −x}, f (x, y) =6(1 −x −y).
1.36.D ={0 ¶x ¶1; x −1 ¶y ¶1 −x}, f (x, y) =6x.
1.37.D ={0 ¶x ¶1; x −1 ¶y ¶1 −x}, f (x, y) =6 y.
1.38.D ={0 ¶x ¶1; x −1 ¶y ¶1 −x}, f (x, y) =6(1 −x −y).
Глава . Варианты контрольных работ |
|
|
|
Вариант
1.Найдите cos(~ac, ~b), если |~a|=3, |~b|=5, |~a +~b|=6.
2.Решите систему линейных уравнений и запишите общее решение этой системы в векторном виде:
x1 −3x2 −2x3 +x4 = −6,
2x1 −6x2 −2x3 +2x4 = −4, x1 −3x2 −x3 +x4 = −2.
3. При каком значении параметра a точки A(0; 3; −1), B(2; 8; 7), C(1; 0; 4 −a) и D(0; 8; 9) лежат в одной плоскости? (Исследуйте линейную зависимость или независимость векторов.)
4. Решите матричное уравнение
X |
· |
|
−3 |
− |
6 |
= −1 −4 . |
||
|
|
|
|
3 |
9 |
|||
|
|
|
2 |
|
5 |
− |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Вычислите минор M32 матрицы
−4 |
−2 |
1 |
2 |
||
|
2 |
3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
A= .
2 3 2 4
0 1 3 2
6.Найдите координаты точки, симметричной точке P(2; −1; 1) относительно плоскости x −y +2z −2 =0.
7.При каком значении параметра a матрица
2 |
1 |
−1 |
a −4 |
3 |
−1 |
0−1 3
имеет собственный вектор ~v =(2; 3; a −1)?
Вариант
1. Найдите длину проекции вектора ~a = (1; 2; 5; 1) на вектор
~b =(2; 1; 0; −2).
|
III. Функции нескольких переменных |
|
|
2. Решите систему линейных уравнений и запишите общее ре-
шение этой системы в векторном виде:
x1 −x2 +2x3 +3x4 = 10,
2x1 −2x2 +4x3 +3x4 = 11, x1 −x2 +2x3 +2x4 = 7.
3.При каком значении параметра a точки A(1; 2; 1), B(3; 6; 4), C(5; 9; a +3) и D(3; 2; 0) лежат в одной плоскости? (Исследуйте линейную зависимость или независимость векторов.)
4.Решите матричное уравнение
−2 |
4 X |
6 |
6 |
−−8 . |
−3 |
5 |
= 7 |
8 |
10 |
5.Вычислите алгебраическое дополнение A43 матрицы
A = |
|
0 |
2 |
4 |
0 |
−4 |
3 |
3 |
0 . |
||
|
|
2 |
0 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 −5 −2
6.Найдите координаты точки, симметричной точке P(1; 1; 1) относительно плоскости x +4 y +3z +5 =0.
7.При каком значении параметра a матрица
4 |
0 |
−1 |
a−−11 |
0 |
4 |
|
2 |
1 |
|
|
имеет собственный вектор ~v =(1; 3; a −2)?
Вариант
1.Найдите cos(~ac, ~b), если |~a|=4, |~b|=3 и |~a −~b|=2.
2.Решите систему линейных уравнений и запишите общее ре-
шение этой системы в векторном виде:
x1 −4x2 +2x3 +2x4 = −5,
2x1 −8x2 +2x3 +4x4 = −4, x1 −4x2 +x3 +2x4 = −2.