Сборник задач по высшей математике

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лучаем t2 =−ln |x|+C. Подставляя t =

, получим решение в виде

лучаем t2 =−ln |x|+C. Подставляя t =

, получим решение в виде

неявной функции

=2C −2 ln |x|.

=2C −2 ln |x|.

.pdf

Скачиваний:

324

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Ответы к главе

1.1.

−

cos x5 +C.

1.2. −

ln |1 −x4|+C.

1.3.

5 +

1.4.

2 arctg x

−

3 arcsin

+C.

5 x

2 x

x − x

1.5.

x5 −

+C.

1.6.

x3 +arctg x +C.

3x3

1.7. x −arctg x +C.

1.8.

x −

−2 ln |x|+C.

4/3

3/2

1/2

1.9. −

(3 −7x)

+C.

1.10.

(1−3x)

−

(1−3x)

+C.

1.11.

x +ln |1 +2x|+C.

1.12.

−

x +

ln |3 +2x|+C.

1.13.

arctg3 x +C.

1.14.

tg3 x +C.

+C.

1.16.

(1 +ln x)3/2 +C.

1.15.

ln x

1.17.

(1 +x3)

43 +C.

1.18.

(x3 −8)6/5 +C.

1.19.

+C.

1.20. etg x +C.

2 cos

1.21. −

1.22. −

+C.

(3 +cos 5x) 2 +C.

9(x3 +3x +1)3

2 +

1.24. ln(2xp

+x) +C.

1.23.

x −2

ln(

arcsin x2 +C.

1.25.

x2 +1 +C.

1.26.

1.27.

arcsin

+C.

1.28.

ln(2x 2

3) +C.

−

e−(x

+1) +C.

2 +

1.30.

1.29. arcsin

−

1.31. −cos ln x−+pC.

1.32. arctg(x +2) +C.

1.33. arcsin

x +1

+C.

2 +

1.35. −

1.34. ln

p2 x

3 x cos 3x

9 sin 3x

1.36.

2x sin x −x cos x +2 cos x +C.

1.37. (x +1)2 sin x +2(x +1) cos x +C.

1.38. −(x +2)e−x +C.

x +1

1.39.

sin 3x +

cos 3x +C.

1.40. (3x +1,5) sin 2x +1,5 cos 2x +C.

1.41. (x +0,5)e2x +C.

1.42. −(x2 +2x +2)e−x +C.

1.43. x2 sin x +2x cos x −2 sin x +C.

1.44.

sin 5x −

(3x +1) cos 5x +C.

1.45.

(2x +3) sin 3x +

cos 3x +C.

(6x +13) +C.

−

−3x.

1.46.

1.47. (x

3x) ln x

1.48. −

−

(3x

) ln x +C.

II. Математический анализ функций одной переменной

																																			4				3x				2
1.49. (x4 +3x2 −7x) ln x −																																	x			−			3x					+7x +C.
1.49. (x4 +3x2 −7x) ln x −																															4					−			2					+7x +C.
1.50.						x2							2				ln(3			+2)														x2			+					x	+					.		1.51. x tg x +ln																				cos x							+C.
1.50.		x22+1− 9															ln(3			+2)																	+						+					.		1.51. x tg x +ln																				cos x							+C.
		x22+1− 9																		xx									−						4						3				C												ln x									1			\|					\|
1.52.											arctg x −														+C.																				1.53. −																		−					+C.
																																																									2x2								4x2
						2																2																																			2x2								4x2
									1															1					1				−1								3				2													1												1			2				−1				2	5
1.54. а) −									1		t3 +C =−													1					1												2 −				2	;				б) −								1			t2 +C =−									1			2								3 +	5	;
1.54. а) −									3		t3 +C =−													3					x2												2 −				3	;				б) −								4			t2 +C =−									4			x3								3 +	4	;
																			p											+p										;
		в) −t +C =−																					1x+x2																				г)				1		t−31 +C =−															1				x				+			1					.
																																						2									1																	1											1
																																															4																	4											4p
																																															4																	4		p4		+		x	2				4p				5
1.55. −1.										1.56. .																	1.57. 1, −1, −1, −2.																																							p4				x
1.58.				1	(F(x; 2) −F(x; −3)) +C.																																				1.59.									1	(2F(x; 2) +3F(x; −3)) +C.
1.58.				5	(F(x; 2) −F(x; −3)) +C.																																				1.59.									5	(2F(x; 2) +3F(x; −3)) +C.
																																												§
																											21																									2			p													2.4.						π			.
																											21																									2								8 −1).														π

2.1.	.						5										2.2.										8 .								p										2.3.							3 (																						6
2.1.	.																2.2.										8 .																		2.3.							3 (																						6
2.5.		1	ln					.																		4 −2																			2.7. .																							2.8. .
		1															2.6.																				2.
	2
	2					2																																																	2
																																																							2
2.9. .																		2.10. .																											2.11.								1									t5dt =					63		.
2.9. .																		2.10. .																											2.11.							2										t5dt =							.
																																																				2														12
	1					16			dt								4																																					3R1
	1								dt								dz =								1.																																				dt			=ln 2.
2.12.									p					=																															2.13.
	2																																																										1 +t
	2											t																																															1 +t
						9											R3																																			R1
						R1											R3																																			R1
	1					R0					dt							π																																				π
2.14.																	=				.																								2.15.											.
																																																						8
	7							1			+				t	2		28																																				8
	1							1							t														5																							5																									π
2.16.					.												2.17.															.													2.18.										.													2.19.										.
2.16.				4	.												2.17.											56				.													2.18.							4			.													2.19.								12		.

2.20.а) 323 ; б) ; в) 643 ; г) 13 .

2.21.600 =6! −5!.

2.22. а) esin 1 −1 ≈1,3198;

б) 0,75;

в) 0,2402 ≈

ln2 2.

2.23. а)

F(15) −

F(7);

б)

F(10) −

F(4);

в)

F(14) −

F(6);

г)

F(11) −

F(2).

2.24. .

2.25. а)

(F(ln 5) −F(0));

б)

(F(8) −F(−8));

в) −

(F(1) −F(4));

г)

(F(2) −F(1)).

2.26. а) [180; 360]; б) [60; 280];

в) [180; 280].

2.27. [4; 12] (1 +x ¶ f ′(x) ¶1 +x +2x3 x +

¶ f (x) ¶x +

2.28. 2,5.

2.29. .

2.30. .

2.31. −1.

							Ответы к главе

2.32. а) A =15, B =21;						б) A =12, B =20.
2.33.	xmax =1,				xmin =2.	2.34.			6 =2 ·3. 2.35. 12 =4 ·3.			2.36. −2.
2.37.	5 =	6 +	9	.	2.38. 3 =		−26	.	2.39.	1	(F(6) −F(4)). 2.40. .
		3								2
2.41. −2.							−

3.1.. 3.2. Расходится. 3.3. Расходится.

3.4.		1			при p >1. Расходится при p ¶1.
3.4.	p −1				при p >1. Расходится при p ¶1.
3.5.	1	.		3.6.			π	.	3.7.			π2	.	3.8. Расходится.								3.9.			1	.	3.10.			1		.

	2						4					8													2					3
	2						4					8													2					3
		1												2. 3.14. −					π					π							π.
3.11.					. 3.12.				1.		3.13.									.	3.15.			p		.	3.16.
		120																	6
		120																	6						2
		π		. 3.18.					.	3.19. Расходится.
3.17.		p
3.17.		p	5
3.20. Расходится.									3.21. Расходится.
3.22.		1				при p <1, расходится при p ¾1.															3.23. Расходится.									3.24.			π		.
3.22.		1 −p				при p <1, расходится при p ¾1.															3.23. Расходится.									3.24.			2		.
		1 −p							3.26. 2,5( p5																			π					2
3.25. Расходится.																+1).						1	.	3.28.					.	3.29. −				1		.
															3			3.27.				1												1
															3			3.27.				ln 2						2						4
3.30. Сходится.									3.31. Сходится.								3.32. Сходится.								3.33. Расходится.
3.34. Сходится.									3.35. Сходится.								3.36. Сходится.								3.37. Сходится.
3.38. а) a =−1;									б) a =14;					в) σ=4;				г) σ=8.

Глава

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Справочный материал и примеры решения задач

В зависимости от вида правой части простейшие дифференциальные уравнения первого порядка y′ = f (x, y), разрешенные относительно производной, в зависимости от вида правой части можно разделить на несколько категорий. Проведем классификацию таких уравнений:

а) уравнения с разделяющимися переменными f (x, y)=g(x)h( y);

б) линейные уравнения f (x, y) =a(x) y +b(x);

в) уравнение Бернулли f (x, y) =a(x) y +b(x) yn, где n 6=1; г) однородные уравнения f (tx, ty) = f (x, y).

Задача 1. Решить уравнение y′+3x2 y =0.

Сразу можно заметить, что одним из решений уравнения является функция y =0 (так называемое тривиальное решение). Далее будем искать решения, отличные от тривиального. Согласно приведенной классификации данное уравнение может быть отнесено к уравнениям с разделяющимися переменными, где f (x, y)=−3x2 y, g(x) =−3x2, h( y) = y. Для решения уравнения с разделяющимися переменными необходимо выполнить преобразования, в результате которых одна часть уравнения будет содержать только x, а другая –– только y:

		y′ = −3x2 y,	dy	= −3x2 y,	dy	= −3x2 dx.
			dx		y
Проинтегрируем обе части последнего уравнения
R	dy	= −3Rx2 dx,	ln \|y\| = −x3 +C0, y = ±eC0 e−x3 .
	y

Учитывая, что множитель ±eC0 является постоянной величиной, полученное решение можно записать в более простом виде y =Ce−x3 (постоянная C может быть как положительной, так и отрицательной). В случае если C =0, получим найденное вначале тривиальное

Глава . Обыкновенные дифференциальные уравнения

решение y =0. Таким образом, равенство y =Ce−x3 определяет все решения данного дифференциального уравнения.

Задача 2. Решить задачу Коши y′ +3x2 y =2xe−x3 , y(0) =9. Приведенное уравнение относится к классу линейных уравне-

ний, где

f (x, y) = −3x2 y +2xe−x3 , a(x) = −3x2, b(x) = 2xe−x3 .

Решение линейного уравнения можно выполнить методом вариации произвольной постоянной. Для этого на первом шаге решим вспомогательное уравнение с разделяющимися переменными, положив b(x) = 0, то есть уравнение y′ + 3x2 y = 0. Его решение известно из предыдущего пункта : y =Ce−x3 . На втором шаге считаем постоянную интегрирования C функцией от x и решение исходного уравнения будем искать в виде y =C(x)e−x3 . Теперь решение задачи сводится к нахождению неизвестной функции C =C(x). Подставив функцию y =C(x)e−x3 в исходное уравнение, получим

C′e−x3 −3x2Ce−x3 +3x2C(x)e−x3 = 2xe−x3 , C′e−x3 = 2xe−x3 .

В результате получаем уравнение для нахождения неизвестной функции C(x): C′ =2x, решение которого имеет вид C = x2 +C1. Таким образом, общее решение исходного уравнения y =(x2 +C1)e−x3 .

Использование начального условия y(0) = 9 позволяет найти значение неизвестной постоянной C1. Подставив в найденное общее решение x = 0 и y = 9, получим, что C1 = 9. Таким образом, решение задачи Коши имеет вид y =(x2 +9)e−x3 .

Задача 3. Решить уравнение xy′−2 y +x3 y2 =0.

Чтобы определить, к какому классу принадлежит данное уравнение, разделим его на x. Получим, что y′ = 2xy − x2 y2. Данное уравнение является уравнением Бернулли, где f (x, y) = 2xy −x2 y2,

a(x) = 2x , b(x) =−x2 и n =2. Очевидно, что y =0 является решением данного уравнения. Далее будем считать, что y 6=0. Чтобы решить уравнение Бернулли, надо обе его части разделить на yn и сделать

замену z = yn1−1 :

y′	2	1	−x2,	1
	= x	· y		z = y .
y2

II. Математический анализ функций одной переменной

Учитывая, что z′ = − y′ , получим линейное уравнение для функ- y2

ции z = z(x): z′ =−2xz + x2. Чтобы найти его решение, сначала решим соответствующее уравнение с разделяющимися переменными

z′ = −2xz . После разделения переменных и интегрирования получим, что z = xC2 . Считая далее, что C =C(x), получим уравнение для

функции C(x) (см. задачу )

C′	2C	2C	2
x2 − x3		= −x3	+x	,

Откуда следует, что

C(x) = 5 +C1,

и окончательно

y = x5 x2

5 +C1

C′	= x2		, C′ = x4.
x2
		x5	+C1
z =		5	+C1
		5
			x2
			x2
и	y =		0.

Задача 4. Решить уравнение y′= y2 −x2 . xy

Поскольку в данном случае выполнено условие f (tx, ty) = f (x, y), это уравнение относится к однородным уравнениям. Чтобы его решить, сделаем замену y =t(x)x. После подстановки в уравнение получим, что

t′x +t = t2 x2 −x2	,	t′x +t = t2 −1	,	t′x =	1 .
tx2		t			−t

Решая последнее уравнение методом разделения переменных, по-

Задача 5. Найти решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами y′′ −7 y′ +10 y =0, удовлетворяющее начальным условиям y(0) =−1 и y′(0) =−11.

Чтобы решить уравнение, составим характеристическое уравнение λ2 −7λ+10 =0. Его корнями являются λ1 =2 и λ2 =5. Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y = C1eλ1 x +C2eλ2 x = C1e2x +C2 e5x .

Глава . Обыкновенные дифференциальные уравнения

Используя начальные условия для нахождения постоянных C1 и C2,

придем к системе уравнений

C1 +C2 = −1, 2C1 +5C2 = −11.

Решением системы являются C1 =2 и C2 =−3. Тогда решением дифференциального уравнения, удовлетворяющим начальным условиям, является функция y =2e2x −3e5x .

Задача 6. Решить линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами y′′ −6 y′ +34 y =0.

Чтобы решить данное уравнение, опять составим характеристическое уравнение λ2 −6λ+34 =0. Его корнями являются λ=3 +5i и λ=3 −5i. Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y = (C1 sin(x Im λ) +C2 cos(x Im λ))ex Re λ = (C1 sin 5x +C2 cos 5x)e3x .

Задача 7. Решить систему линейных уравнений

x˙ = 4x +3 y, y˙ = x +6 y.

Чтобы решить систему линейных уравнений, найдем собст-

венные значения и собственные векторы матрицы коэффициен-
тов A = 14	63 . Для этого составим характеристическое уравнение
det(A −λE) =0: 4 −1		λ	6 −3	λ	= λ2 −10λ+21 = 0.


Его корнями являются			λ = 3		и λ = 7. Для каждого из найденных

собственных значений решим однородную систему линейных уравнений (A −λE)~x =0. Для собственного значения λ=3 собственные

	3
векторы имеют вид ~u1 =C1	−1 . А для собственного значения λ=7
собственные векторы имеют вид ~u2 =C2		11 . Тогда общее решение

системы дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

y	= ~u1e3x +~u2e7x	= C1	−1 e3x	+C2	1 e7x ,
x			3		1
или
x = 3C1e3x +C2e7x		и y = −C1e3x +C2e7x .

II. Математический анализ функций одной переменной

§ . Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Найдите общие решения дифференциальных уравнений с раз-

деляющимися переменными:
а) xy′+ y =0;				б) x2 y′+ y =0;
в) (x +1) y′ +xy =0;				г) (2x +1) y′=2 y;
д) yy′ +x =0;				е) xyy′=1 −x2;
ж) y′ctg x + y =2;
				з) xy dy	=	py	2 +		1 dx;
и) x2 y2 y′+1 = y.
1.2. Решите задачу Коши:				б) xy′−2 y =0,
а) y′= y, y(−2) =4;								y(2) =12;
в) y′ =	y		, y(2) =6;	г) (1 +x2) y′ + y =0, y(1) =1.
	x +	1

1.3. Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию

а)

( y +1)′

+ey =0, y =0 при x =1;

б) y′=−y2, y =0 при x =2;

б) y′+ y2ex =0, y =1 при x =0;

г) 2 y′p

= y, y =1 при x =4;

д) x2 y′+ y2 =0, y =1 при x =−1.

1.4. Решите однородные дифференциальные уравнения:

а) xy′=x +2 y;

б) (x + y) dy +(x −y) dx =0;

в) x2 dy +( y2 −2xy) dx =0;

г) (xy −x2) y′= y2;

д) (x2 + y2) y′=2xy.

1.5. Решите линейные дифференциальные уравнения:

а) y′−

3 y

б) y′ +

2 y

e−x2

=x;

;

в) xy′+ y =ln x +1;

г) xy′

−

2 y =2x4;

д) x2 y′+xy +1 =0;

) dx

−

x dy =0;

е) (xy +e

ж) x ln x dy =(2 y +ln x) dx.

1.6. Решите уравнения Бернулли:

а) y′x + y =−xy2; 2

;

б) y′ +2 y = y2ex ;

в) y′ −xy =−y3e−x

г) x2 y′ = y2 +xy;

д) y′ +xy =xy3.

1.7. Решите задачу Коши:

а) x2 y′ =2xy

−

3, y =1 при x =

−

Глава . Обыкновенные дифференциальные уравнения

б) y′=	y2	−	y	, y =1	при x =−1;
б) y′=	x2	−	x	, y =1	при x =−1;

в) 3 y2 y′ + y3 =x +1, y =−1 при x =1.

Решите системы дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами ( . –– . ).
x˙ =2x + y,		x˙ =x		y,
1.8. ¨y˙ =3x +4 y.	1.9.	¨y˙ =		−4x + y.
			−

¨¨

1.10.	x˙ =−x +8 y,	1.11.	x˙ =x + y,
	y˙ =x + y.		y˙ =−2x +3 y.
	x˙ =x 3 y,		x˙ = x 5 y,
1.12. ¨y˙ =3x−+ y.		1.13. ¨y˙ =−x +−y.

x˙ =x −y +z,

1.14.y˙ =x + y −z, (одно из собственных чисел равно ).

˙z =2x −y

x˙ =x −2 y −z,

1.15.y˙ =−x + y +z,

˙z =x −z.

x˙ =2x −y +z,

1.16.y˙ =x +2 y −z, (одно из собственных чисел равно ).

˙z =x −y +2z

x˙ =3x −y +z,

1.17.y˙ =x + y +z, (одно из собственных чисел равно ).

˙z =4x −y +4z

Решите линейные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами ( . –– . ).
1.18. y′′+ y′ −2 y =0.	1.19. y′′ +4 y′+3 y =0.
1.20. y′′−2 y′ =0.	1.21. 2 y′′ −5 y′ +2 y =0.
1.22. y′′−4 y′ +5 y =0.	1.23. y′′ +2 y′+10 y =0.
1.24. y′′+4 y =0.	1.25. y′′′ −8 y =0.
1.26. y(4) −y =0.

II. Математический анализ функций одной переменной

Найдите решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям ( . –– . ).

1.27.y′′ −5 y′+4 y =0, y(0) =5, y′(0) =8.

1.28.y′′ +3 y′+2 y =0, y(0) =1, y′(0) =−1.

1.29.y′′ +4 y =0, y(0) =0, y′(0) =2.

1.30.y′′ +2 y′=0, y(0) =1, y′(0) =0.

1.31.Найдите общее решение дифференциального уравнения

сразделяющимися переменными

а) 3 y2 y′=g′(x);		б) 3 y2 y′=2xg′(x2);	в) y′=	g′(x)
					.
				(arccos y)′
1.32. Решите задачу Коши:
а) 3 y2 y′=g′(x), y(7) =2, если g(7) =3;			2, g(4) =1;
б) 3 y2 y′=2xg′(x2), y(2) = 2, если g(2) =
	g′(x)	−	−
в) y′ =		, y(3) =0, если g(3) =−2.
	(arccos y)′

1.33. Найдите общее решение однородного дифференциального

уравнения		xy			,
y′ = x +
		g	y
	y

		g′
если				x
а) g(z) =arcsin z;		б) g(z) =arctg z.

1.34. Проверьте, что общее решение y(x) линейного дифференциального уравнения y′ + p(x) y =q(x) имеет вид y(x) = y0(x) + ey(x), где y0(x) –– частное решение исходного уравнения, а ey(x) –– общее решение уравнения y′+ p(x) y =0.

1.35. Используя результат предыдущей задачи, найдите общее

решение y(x) линейного дифференциального уравнения:

а) y′+3 y =(4sin x )′ +3 ·4sin x ;

б) y′−	g′(x)		y =(cos x3)′ −	g′(x)		cos x3.
	g(x)			g(x)

1.36.При каких значениях k1 и k2 функция C1ek1 x +C2 ek2 x является общим решением уравнения y′′ −3 y′+2 y =0?

1.37.Найдите общее решение y(x) линейного дифференциального уравнения второго порядка y′′−3 y′ +2 y =(ex2 )′′ −3(ex2 )′ +2ex2 .

1.38.Найдите решение задачи Коши: y′′−4 y=(x2 g(x))′′−4x2 g(x), y(0) =3, y′(0) =4, если g(x) C2(R).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.201983.02 Кб3Сам.работа №2.docx
#
26.03.2016155.91 Кб6санди таймс.docx
#
01.09.201942.55 Кб4Сара Брайтман.docx
#
29.08.2019540.18 Кб4сборник 2.rtf
#
09.11.2019200.19 Кб26Сборник Essay.doc
#
26.03.20161.04 Mб324Сборник задач по высшей математике.pdf
#
10.11.20193.13 Mб10Сборник инд.зад. по электронике.doc
#
13.11.20191.09 Mб28Сборник тестов по СГМУ.doc
#
02.06.2015364.24 Кб26Сборник+задач.Часть+2.pdf
#
02.06.20154.04 Mб48сборник_конституционное_право_и_политика.pdf
#
25.11.2019847.87 Кб25Сборник_практ.doc