Тема 1 (комбинаторика и классика)

Теория вероятностей и математическая статистика, 2011 г

Радионова М.В.

Задачи для самостоятельного решения

1. Какие из следующих событий достоверные:

А — «два попадания при трех выстрелах»,

В — «появление не более 18 очков при бросании трех играль­ных костей»,

D — «наугад выбранное трехзначное число не больше 1000»,

Е — «наугад выбранное число, составленное из цифр 1, 2, 3 без повторений, меньше 400»?

2. Какие из следующих событий невозможные:

А — «опаздывание ленинградского экспресса в субботние дни»,

В — «появление 17 очков при бросании 3 игральных костей»,

С — «появление слова «мама» при случайном наборе букв а, а, м, м»,

D — «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и крат­ного 9 числа при случайном однократном наборе ука­занных цифр»,

Е — «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и крат­ного 3 числа при произвольном однократном наборе указанных цифр»?

3. Укажите достоверные и невозможные события:

А — «появление не более 12 очков при однократном броса­нии двух игральных костей»,

В — «появление сразу 3 лайнеров над аэропортом»,

С — «попадание в мишень при 3 выстрелах»,

D — «появление в окошке счетчика трехзначного числа, составленного из цифр 1, 2, 3 и кратного 5».

4. Бросают две игральные кости. Событие ={сумма выпавших очков нечетная}, ={хотя бы на одной кости выпала единица}. Описать события , , .

5. Из колоды в 36 карт достали одну карту. Событие ={извлеченная карта-дама}, ={извлеченная карта- пиковой масти}, ={извлеченная карта-туз}. Что означает следующие события ,,, .

6. Из таблицы случайных чисел наугад взяли одно число. Событие ={выбранное число делится на 5}, ={выбранное число оканчивается на 0}. Что означают события , , .

7. Из множества супружеских пар наугад выбирают одну. Событие ={мужу больше 30 лет},={муж старше жены}, С={жене больше 30 лет}. Выяснить смысл событий , .

8. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события: А={орел на первой монете}, B={решка на первой монете}, C={орел на второй монете}, D={решка на второй монете}, E={хотя бы один орел}, F={хотя бы одна решка} G={один орел и одна решка}, H={ни одного орла}, K={два орла}. Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события: 1) А+С; 2) EF; 3) G+K; 4) BD.

9. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события: А={обнаружен один объект}, B={обнаружен хотя бы один объект}, C={обнаружено не менее двух объектов}, D={обнаружено два объекта}, E={обнаружено три объекта}, F={обнаружены все четыре объекта}, G={хотя бы один объект не обнаружен}, H={не менее трех объектов не обнаружено}, K={не обнаружено не более двух объектов}, L={хотя бы два объекта не обнаружены}. Указать, в чем состоят события: 1) A+B+D; 2) HL; 3) D+E+F; 4) BC. Выразить E, K, L, C в алгебре событий через элементарные (предварительно ввести эти события самостоятельно).

10. Относительно группы событий ответить на следующие вопросы: образуют ли они полную группу событий, являются ли несовместными, являются ли равновозможными. а) Испытание- бросание двух игральных костей, события: A={на обеих костях шестерки}, B={ни на одной кости нет шестерки}, C={на одной из костей выпала шестерка, на другой нет}, б) Испытание- передача в одинаковых условиях трех сообщений равной длины: A={искажено первое сообщение}, B={искажено второе сообщение}, C={искажено третье сообщение}.

11. Определите вероятности следующих событий:

А={при бросании монеты выпал ”орел”};

В={при бросании кубика выпала тройка};

С={при бросании кубика выпало четное число};

D={из колоды карт вытянули туза};

E={из колоды карт вытянули шестерку};

F={из колоды карт вытянули туза}.

Отв. P(A)=1/2, P(B)=1/6, P(C)=1/2, P(D)=4/36, P(E)=4/36, P(F)=8/9.

12. Для каждого из следующих событий найдите число всех равновозможных исходов, число благоприятных исходов и вероятность.

а) В урне 15 белых и 25 черных шаров. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

б) Из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?

в) Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?

г) Из 365 дней 2001 года случайно выбирается один. Какова вероятность, что он будет воскресеньем, если известно, что 2001 год начинается в понедельник?

Отв. а)3/8, б)10/33, в)4/7, г)52/365.

13. В денежно- вещевой лотерее на 100000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность:

1. вещевого выигрыша

2. денежного выигрыша

3. какого-либо выигрыша?

Отв. 1) 0,012, 2) 0,008, 3) 0,02.

14. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложить на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет? Отв. 24/25.

15. В кооперативном доме 93 квартиры, из которых 3 находятся на первом этаже, а 6- на последнем. Квартиры распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира, расположенная на первом или на последнем этаже? Отв. 84/93.

16. В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет: 1) выигрышный; 2) невыигрышный? Отв. 1)1/50, 2) 49/50.

17. Из 40 деталей, лежащих в ящике, три- бракованные. Из ящика наугад вынимают одну деталь. Какова вероятность того, что эта деталь окажется без брака? Отв. 37/40.

18. В мешке находятся жетоны с номерами от 1 до 15. Из мешка наугад вынимают один жетон. Какова вероятность того, что номер вынутого жетона не делится ни на 2, ни на 3? Отв. 1/3.

19. Из ящика, в котором находятся шары с номерами от 1 до 100, наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не имеет цифры 6? Отв. 0,81.

20. В кружке юных математиков 25 членов. Необходимо избрать председателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и секретаря. Сколькими способами можно образовать эту руководя­щую четверку, если одно лицо может занимать только один пост?

21. Школьная комсомольская организация, в которой насчи­тывается 150 членов, выбирает 6 делегатов на районную конферен­цию. Сколькими способами может быть избрана эта шестерка?

22. Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

23. В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?

24. В пионерском отряде 4 звена по 8 пионеров. Выбираются 4 делегата на дружинный сбор. Что можно сказать о числе случаев избрания в делегаты хотя бы одного представителя первого отряда?

25. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры могут повторяться?

26. Укротителю диких зверей предстоит вывести на арену цирка один за другим 5 львов и 4 тигров. Сколькими способами он может сгруппировать зверей так, чтобы ни разу два тигра не следовали один за другим?

27. В розыгрыше первенства страны по футболу приняло участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотые и серебряные медали?

28. В кафе предлагают 5 первых блюд, 6 вторых и 4 третьих. Сколькими способами можно составить обед?

29. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков (все уроки разные). Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

30. Сколькими способами можно разделить 6 шоколадок 14 лицам? (1 место – 1 плитка).

31. В группе 20 мальчиков и 20 девочек. Все умеют петь, танцевать, декламировать. Сколькими способами можно составить дуэты из учащихся групп?

32. Необходимо укомплектовать экипаж космического корабля в составе: командир корабля, I его помощник, II его помощник, 2 бортинженера, 1 врач. Командующая тройка может быть отобрана из 25 готовящихся к полёту лётчиков; 2 бортинженера – из 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля; врач – из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж корабля?

33. Из 30 последовательных натуральных чисел: 1, 2, 3, … 30 выбирают 3 числа так, чтобы их сумма была чётной. Сколько способов такого выбора?

34. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?

35. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько разных стартовых пятёрок может образовать тренер?

36. Имеются помидоры (п), огурцы (о) и лук (л). Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в различных долях 2 различных вида овощей? Записать все сочетания овощей в составляемых салатах. Отв. 3 вида салатов.

37. Боря идет на день рождения к одноклассникам, близнецам Алеше и Яше. Он хочет подарить каждому из них по мячу. В магазине остались для продажи 3 мяча разных цветов: белый, черный и пятнистый. Сколькими способами, купив 2 мяча, Боря может сделать подарки братьям? Отв.6 способов.

38. Ашот (А), Марат (М) и Сергей (С) могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые места в соревнованиях. Перечислить все возможные последовательности из имен мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в соревнованиях. Отв. 6 вариантов.

39. В магазине продают кепки трех цветов: белые (б), красные (к) и синие (с). Кира и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек? Отв. 9 вариантов.

40. По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрече участвовали: 1) 3 человека; 2) 4 человека; 3) 5 человек? Отв.1) 6; 2)12; 3) 20.

41. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник, а также четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые можно заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов. Отв. 8 разных обедов из двух блюд.

42. Маше на день рождения подарили три букета цветов: из роз (р), астр (а) и гвоздик (г). В доме было две вазы: хрустальная (х) и керамическая (к). Маша пробовала установить каждый букет в каждую вазу. Перечислить все полученные сочетания букета с вазой. Отв. 6 сочетаний.

43. В каждую из трех ваз: хрустальную (х), керамическую (к) и стеклянную(с)- пробуют поставить по одному из двух имеющихся букетов цветов: из роз (р) и гвоздик (г). Перечислить все возможные варианты установки каждого букета в вазу.Отв. 6 вариантов.

44. У Аси есть любимый костюм, в котором она ходит в школу. Она надевает к нему белую, голубую, розовую или красную блузку, а в качестве “сменки” берет босоножки или туфли. Кроме того, у Аси есть три разных бантика (№ 1, 2, 3), подходящих ко всем блузкам.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов Асиной одежды.

б) Сколько дней Ася сможет выглядеть по-новому в этом костюме?

в) Сколько дней она будет ходить в туфлях?

г) Сколько дней она будет ходить в красной блузке и босоножках?

Отв. а) дерево с тремя уровнями, 24 вариантами: б) 24; в) 12: г)3.

45. Руководство некоторой страны решило сделать свой государственный флаг таким: на одноцветном прямоугольном фоне в одном из углов помещается круг другого цвета. Цвета решено выбрать из трех возможных: красный, желтый, зеленый?

а) Сколько вариантов такого флага существует?

б) Сколько из них флагов с кругом в верхнем правом углу?

в) Сколько флагов не желтого прямоугольного фона?

г) Сколько красных флагов с кругами в нижних углах?

Отв. а) дерево с тремя уровнями, 24 вариантами; б) 6; в) 16; г) 4.

46. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново- Борисово- Власово- Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисова во Власово можно дойти пешком или доехать на велосипедах. Из Власова в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или дойти пешком.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов похода.

б) Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы?

в) Сколько есть полностью не пеших вариантов?

г) Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?

Отв. а) дерево с тремя уровнями; б) 12; в) 2; г)8.

47. Из села Дятлова в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино - четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Дятлова в Першино через Матвеевское?

Отв. 12 способами.

48. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Отв. 30 способов.

49. Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из 3 видов. Сколько различных (по сочетанию видов овощей) вариантов салатов можно приготовить?

Отв. 120 или 20.

50. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?

Отв. 15 комбинаций.

51. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложил на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы, две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?

Отв. 180 различных костюмов.

52. Мама решила сварить компот из фруктов двух видов. Сколько различных (по сочетанию видов фруктов) вариантов компотов может сварить мама, есть у нее имеется 7 видов фруктов?

Отв. 21 вариант.

53. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.

а) Сколько всего стран могут использовать такую символику?

б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?

в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней зеленой полосой?

г) Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей красной полосами, расположенными рядом?

Отв. а)24, б) 6, в) 6, г) 12.

54. Сколько существует способов занять 1-е, 2-е и 3-е места на чемпионате по футболу, в котором участвуют: 1) 10 команд: 2) 11 команд?

Отв. 1) 720, 2) 990.

55. В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболов использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты.

а) Сколько команд участвовали в турнире?

б) Сколько команд играли в зеленых футболках?

в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?

г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?

Отв. а)25, б)5, в)20, г)16.

56. Завуч составляет расписание уроков. В пятницу в 7А классе должно быть 5 уроков, причем обязательно один сдвоенный урок- алгебра. Сколько различных вариантов расписания уроков может составить завуч на пятницу, если 3 оставшихся урока он комбинирует из литературы, истории и физики?

Отв. 24 варианта.

57. В контрольной работе будет пять задач- по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите:

а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы:

б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи;

г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.

Отв. а)100000, б)32768, в)32, г)8192.

58. Учащиеся 9 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 учащихся?

Отв. 522 фотографий.

Классическое определение вероятности

1. Телефонный номер состоит из 6 цифр. Какова вероятность, что в нем: а) все цифры различны; б) все цифры нечетные; в) все цифры различны и четные?

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков четная, причем на грани одной из костей появится шестерка.

   3. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет: а) одинаковое число очков; б) различное; в) сумма выпавших очков не менее 9.

   4. Какова вероятность того, что в выбранном наудачу трехзначном числе цифры: а)одинаковые; б) различные.

   5. В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже входят 5 человек. Независимо от других каждый может выйти с равными шансами на любом этаже, начиная со второго. Какова вероятность, что а) все выйдут на четвертом этаже; б) все пятеро выйдут на одном и том же этаже; в) все пятеро выйдут на разных этажах; г) все выйдут на девятом этаже?

   6. Водительское удостоверение имеет шифр, состоящий из 3 букв и 3 цифр. Чему равно общее число возможных водительских удостоверений, считая, что число букв русского алфавита, используемых для составления шифра,- 26, а буквы занимают первые три позиции шифра? Если шифр состоит только из 6 цифр, то чему в этом случае равно общее число всех возможных номеров удостоверений, если цифры в шифре: а) не повторяются, б) повторяются?

   7. Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 4 цифр. Оператор забыл код. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора пароля, если цифры в коде: а) не повторяются; б) повторяются? С какой вероятностью можно открыть замок с первой попытки?

   8. Задача преферансиста. Играют трое. Сдающий раздает по 10 карт каждому участнику и 2 карты остаются в “прикупе” (всего в преферансной колоде 32 карты- нет шестерок). Какова вероятность того, что в прикупе два туза?

   9. Из колоды, насчитывающей 36 карт, наугад извлекают 4 карты. Какова вероятность следующих событий: A={среди них окажется туз пик}; B={среди них окажется ровно один туз}; C={среди них окажутся ровно две бубновые карты}; D={среди них окажется хотя бы одна бубновая карта}, E={2 туза, 1 дама}, F={все карты одной и той же масти}, G={хотя бы 1 туз}, K={король и дама червовой масти}, M={один король и одна дама}, L={карты красной масти}?

   10. Имеется пять билетов стоимостью по рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что: а) все три билета стоят всего семь рублей; б) все три билета стоимостью по одному рублю.

   11. На столе 10 дисков, на пяти дисках записана музыка, на трех игры и на двух компьютерные программы. Наугад выбирают три диска. Какова вероятность событий А={в выборке окажутся только музыкальные диски}, B={на одном из дисков будет игра} и С={среди них будет 2 диска с программами}.

   12. В ящике имеется 5 красных шаров и 3 синих, шары отличаются только цветом. Наудачу достают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся: а) одного цвета, б) разного.

   13. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрывается 4 билета в театр. Какова вероятность событий А={среди обладателей билетов окажется одна женщина}, B={билеты получают одинаковое число мужчин и женщин} и С={в театр пойдут только мужчины}?

   14. Отдел рекламы решил поместить объявления в газетах. Денежных средств хватает только на 15 объявлений (в городе всего 25 газет). Сколько существует способов случайного отбора газет для помещения объявлений? Какова вероятность того, что в число отобранных попадут 15 газет, имеющих наибольший тираж?

   15. Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов. Экзаменатор задал ему 3 вопроса. Найти вероятность событий А={студент знает ответы на все вопросы} и B={студент ответил на два вопроса}.

   16. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию распределяются в 2 группы по 10 человек. Найти вероятность того, что а) двое наиболее сильных игрока будут играть в разных группах, б) четверо наиболее сильных попадут по два в разные группы.

   17. Пятитомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Найти вероятности событий А={тома стоят в должном порядке (упорядочены либо в порядке возрастания, либо в порядке убывания)} и В={первый и последний тома окажутся стоящими рядом}.

   18. В группе из десяти студентов есть две подруги. В каком случае вероятность, что они будут сидеть вместе, будет больше, если студенты сядут за круглый стол или с одной стороны прямоугольного стола.

   19. 12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным образом занимают очередь за учебниками в библиотеку. Какова вероятность, что между Ивановым и Петровым в образовавшейся очереди окажутся ровно 5 человек?

   20. В зрительном зале кинотеатра 500 мест. Какова вероятность, что при произвольном размещении в зале 490 зрителей пустыми останутся 10 первых мест второго ряда?

   21. В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов. Найти вероятность того, что занятыми оказались только два купе.

   22. По k ячейкам случайно распределяются k предметов. Найти вероятность, что все предметы попадут в одну ячейку.

   23. В чулане находятся 4 пары ботинок, все пары разных фасонов. Наудачу в темноте выбирают три ботинка. Какова вероятность, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные?