Рассмотрим уравнение движения частицы в магнитном поле
d |
|
|
m dt |
q , B |
. (2.30) |
Прежде всего разложим скорость частицы на две составляющие:
|| |
|
, |
(2.31) |
||||
– так, как показано на рис.2.13; || |
– составляющая скорости, |
||||||
параллельная силовым линиям магнитного поля, || |
направлена |
||||||
по B или противоположно (в зависимости от угла |
между и |
||||||
B ); – составляющая, перпендикулярная силовым линиям. |
|||||||
Очевидно, |
, sin |
|
|
||||
|
|
cos |
|
|
. |
(2.32 а,б) |
|
|
|
||||||
|| |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя разложение (2.31) в уравнение (2.30), получаем
|
d || |
|
d |
|
|
|
|
m |
|
m |
|
q || , B q , B |
. |
(2.33) |
|
dt |
dt |
||||||
Первое слагаемое в левой части (2.33) – вектор, параллельный силовой линии, второе – вектор, перпендикулярный B . Первое слагаемое в правой части равно нулю, а второе – вектор, перпендикулярный B . Приравнивая друг другу – отдельно – векторы, параллельные B и перпендикулярные B , вместо (2.33) получаем два уравнения:
m |
d || |
|
0 |
|
, |
(2.34 а) |
|||
dt |
|
|
|
|
|||||
|
d |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
q , B |
. |
(2.34 б) |
|||
m dt |
|||||||||
|
|
||||||||
Из (2.34 а) следует
|| const |
. |
(2.35) |
Таким образом самый простой вариант движения частицы –
равномерное движение вдоль прямолинейной силовой линии, при этом || const, 0 .
Пусть теперь 0 . Интегрируя уравнение поперечного движения (2.34 б), получаем
|
|
|
, B |
|
|
|
m q r |
. |
(2.36) |
||||
|
|
|
|
|||
Отсюда следует |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r , B |
. |
(2.37) |
||
m |
||||||
|
|
|
|
|
||
Введем обозначение
|
q |
|
|
|
|
В |
|
B |
. |
(2.38) |
|
m |
|||||
|
|
||||
Тогда (2.37) приобретает вид: |
|
|
|
||
B , r |
|
. (2.39) |
|||
Это соотношение показывает (см. лекцию №I), что поперечное движение частицы представляет собой равномерное движение по окружности радиуса R r c угловой скоростью B , определяемой равенством (2.38). Величина
B |
|
|
q |
|
|
B |
(2.40) |
|
|
||||||
|
|
||||||
|
m |
||||||
|
|
|
|||||
называется также циклотронной частотой вращения частицы. PS.Эта величина не зависит ни от модуля скорости частицы, ни от угла между и B .
|
Таким образом, в общем случае движение заряженной частицы в |
||||||
|
однородном магнитостатическом поле представляет собой композицию |
||||||
|
равномерного движения частицы (со скоростью |
|| |
|
|
|||
|
) вдоль силовой |
||||||
|
|
|
|
|
|
B |
) в |
|
линии и равномерного вращения (с угловой скоростью |
|
|||||
|
поперечном (по отношению к |
B |
) направлении. Это движение по |
||||
|
цилиндрической спирали, ось которой параллельна силовым линиям |
||||||
|
(рис. 2.15). На рис. показаны радиус спирали R и шаг спирали |
h . |
|||||
В частных случаях ( 0, ) спираль вырождается в прямую, а при |
|
||||||
|
h 0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
в окружность ( |
). |
|
|
|
|
|
2.4. Закон всемирного тяготения. Принцип суперпозиции для ньютоновых гравитационных сил. Гравитационное поле.
Напряженность гравитационного поля. Принцип эквивалентности. Движение спутников. Первая космическая скорость. Вес тела.
В ньютоновой механике ( c ) гравитационное
взаимодействие определяется законом всемирного тяготения, открытым Ньютоном:
Любые две материальные точки взаимодействуют 
между собой силами гравитационного притяжения; 
эти силы направлены вдоль отрезка, 
соединяющего материальные точки, величина этих 
сил пропорциональна массам материальных точек 
и обратно пропорциональна квадрату расстояния 
между ними: 
F G m1m2 |
. (2.41) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
гр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В выражении для силы гравитационного взаимодействия (2.41) ,
- так называемые гравитационные массы, которые совпадают с известными нам инертными массами материальных точек. Коэффициент пропорциональности называется гравитационнойG 6,67постоянной:10 11
Н.м2/кг2
В векторной форме:
|
|
m1m2 |
r12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r |
|
r12 |
|
|
||||||
F2,1 |
G |
|
|
|
|||||||
r2 |
|||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
r |
, (2.42) |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
см. рис. 2.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гравитационные силы подчиняются принципу суперпозиции.
|
n |
|
F Fi |
(2.43) |
|
|
i 1 |
|
где Fi – сила, действующая на m со стороны m |
в отсутствие всех |
|
|
i |
|
остальных материальных точек.
Рассмотрим аналогию с электростатикой.
Отношение силы к массе материальной точки |
m не зависит от |
|||||
массы |
m |
и поэтому является силовой |
характеристикой |
|||
гравитационного поля. |
|
|
|
|
||
Эта величина |
|
|
F |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
m |
(2.44) |
|||
называется напряженностью гравитационного поля (поля силы тяжести). Ясно, что g g(r ) , время t здесь рассматривается как параметр. Очевидно, принцип суперпозиции можно сформулировать и на языке напряженностей;
вместо (2.43) будем иметь:
|
n |
|
g(r ) gi (r ) |
(2.45) |
|
i 1
Введем определение.
Свободным падением материальной точки (тела) называется ее движение под действием одной лишь силы тяжести (гравитационной силы).
Из второго закона Ньютона тогда следует, что напряженность гравитационного поля совпадает с ускорением g свободного падения частицы.
Пример 1. Рассмотрим планету радиуса R и массы M и будем
считать распределение массы по ее объему центрально- |
|
|||||
симметричным. Тогда на МТ |
m |
, находящуюся на расстоянии r |
||||
от центра планеты на высоте |
h |
над ее поверхностью, |
|
|||
действует сила тяжести |
|
|
|
|
|
|
F G Mm |
G |
Mm |
|
|
||
(R h)2 |
. |
(2.46) |
||||
r2 |
|
|||||
Ускорение свободного падения на высоте h:
g(h) G |
M |
(2.47) |
(R h)2 |
|